بخشی از مقاله
خلاصه
تئوری پلاستیسیتهی کلاسیک در برآورد مقاومت شکست مواد قادر به پیشبینی اثرات اندازهی مشاهده شده در آزمایشات نمیباشد. تئوری پلاستیسیتهی گرادیان کرنشی، با استفاده از یک مقیاس طولی غیرفیزیکی که از طریق انطباق با نتایج آزمایشگاهی تعیین میشود، پیشبینی موثری از اثرات اندازه و برآورد صحیح مقاومت شکست مواد دارد. تئوری پلاستیسیتهی گرادیان تنشی که اخیرا پایهریزی شده است، میتواند اثرات اندازه را با استفاده از یک مقیاس طولی فیزیکی - متوسط فاصلهی بین موانع نابجاییها - اعمال کند.
در این تحقیق، تئوری پلاستیسیتهی گرادیان تنشی از طریق نوشتن زیربرنامه UMAT، وارد فرآیند تحلیل در نرمافزار اجزای محدود آباکوس میشود و با استفاده از تحلیل میکروتیر صحتسنجی میگردد. سپس، ترک مود I برای برآورد میدانهای تنش نوک ترک تحلیل میشود. نتایج حاصل نشان میدهند که این تئوری قادر است میدان تنش نوک ترک را حتی در فاصلهی نزدیکتری به نوک ترک نسبت به تئوری پلاستیسیتهی گرادیان کرنشی، به طور مناسب پیشبینی کند.
1. مقدمه
مکانیک شکست شاخهای از علم مکانیک است که به مطالعهی نحوه گسترش ترک میپردازد. در این علم برای محاسبهی میدانهای اطراف ترک از روشهای تحلیلی مکانیک جامدات استفاده میشود تا در نهایت مقاومت مواد در برابر شکستگی سنجیده شود. پدیدهی شکست، فرآیندی است که در مقیاس ریز رخ میدهد و میتواند تعیین کنندهی رفتار یک سازهی کاربردی در عمل باشد.
در دانش موادشناسی نوین، مکانیک شکست نقش مهمی در بهبود عملکرد مکانیکی مواد ایفا میکند. این علم با محاسبهی تنشها و کرنشها، با استفاده از تئوریهای الاستیسیته و پلاستیسیته، سعی میکند تا تاثیر نقصهای میکروسکوپیکی موجود در کریستالهای مواد واقعی را در خرابی ماکروسکوپیکی کل جسم بررسی کند و مهمترین بخش آن، پیشبینی نحوه گسترش ترک میباشد.
مکانیک شکست نخستین بار توسط گریفیث در طول جنگ جهانی اول و به منظور توضیح شکست مواد ترد نظیر شیشه، توسعه یافت. او در آزمایشات خود مشاهده کرده بود که تنش مورد نیاز برای شکستن یک تکه شیشه بزرگ حدود 100 مگاپاسکال است، در حالی که از نظر تئوریک تنش مورد نیاز برای شکستن پیوند اتمی بین اتمهای تشکیلدهنده شیشه حدود 10000 مگاپاسکال است.
او همچنین در آزمایشات خود بر روی فیبرهای باریکی از شیشه متوجه شده بود که با کاهش ضخامت فیبر شیشه، تنش شکست افزایش مییابد. او از این مشاهدات به وجود اثرات اندازه در مقاومت مواد پی برده و به این نتیجه رسیده بود که این کاهش شدید مقاومت، ناشی از وجود نقصهای میکروسکوپیکی در ساختار کریستالهای ماده است.
آزمایشات مربوطه، برای اندازهگیری میدانهای اطراف نوک ترک که عموماً به منظور سادگی و مشخص بودن مسیر گسترش ترک بر روی یک نمونه دو عنصره الاستیک و الاستوپلاستیک انجام مییابند، نشان دادهاند که در حضور جریان پلاستیک، در سطح مشترک دو ماده ترک شکافی ایجاد میشود. برای ایجاد یک ترک شکافی لازم است که تنش نرمال بر سطح ترک در نوک ترک حداقل برابر یک دهم مدول برشی ماده باشد که این مقدار برای فلزات عادی حدوداً 10 برابر تنش تسلیم ماده است.
تئوری پلاستیسیته کلاسیک که شامل اثرات اندازه نمی باشد حداکثر تنش در نوک ترک را کمتر از حداقل مقدار لازم برای ایجاد ترک شکافی پیش بینی می کند .[1] بنابراین بایستی از روش های دیگری که تنش بزرگتری را در نوک ترک پیش بینی کنند استفاده شود. در مرجع [2]، مرور جامعی از اثرات اندازه - هم داخلی و هم خارجی - در رفتار مکانیکی ارائه شده است.
یکی از روشهای لحاظ اثرات اندازه، استفاده از تئوریهای پلاستیسیتهی گرادیان کرنشی میباشد 3] و .[4 در این تئوریها فرض بر این است که اثرات اندازه ناشی از نابجاییهای هندسی ضروری - GND - میباشند و برای لحاظ کردن آن در فرمولبندی از یک پارامتر مقیاس طولی استفاده میشود.
از آنجا که رفتار پلاستیسیته مواد با حرکت نابجاییها در ماده ارتباط دارد، لذا استفاده از یک ابزاری که با استفاده از مدلسازی حرکت نابجاییها، میدانهای نوک ترک را پیشبینی کند ضروری به نظر میرسید. این کار در مراجع 5] و [6 و با استفاده از پلاستیسیته نابجاییهای منفصل - DDP - برای حل مساله مقدار مرزی ترک مود I صورت پذیرفته است. اما با توجه به اینکه آنالیزهای بر مبنای دینامیک نابجاییها بسیاز هزینهبر بوده و برای مسایل با مقیاس بزرگ قابلیت کاربرد ندارند، بهتر است که با استفاده از این روش، فرمولبندیهای جدیدی در مقیاس ماکرو ایجاد شود. یکی از این تئوریها، با عنوان تئوری پلاستیسیته گرادیان تنشی به تازگی توسعه یافته است. در این تئوری از فاصله متوسط موانع نابجایی به عنوان پارامتر مقیاس طولی استفاده میگردد.
مدلهای پلاستیسیتهی کلاسیکذاتاً مستقل از اثرات اندازه میباشند و در نتیجه قادر به پیشبینی اثرات اندازهی مشاهده شده در آزمایشات نمیباشند. در روش پلاستیسیتهی گرادیان تنشی که به تازگی توسعه یافته و یک روش بر پایهی نابجاییها میباشد، عملکرد گرادیان تنش بر روی پیکربندی نابجاییهای منبع-مانع، منجر به پیشبینی اثرات اندازه در ماده میشود.
در این روش برخلاف روش گرادیان کرنشی که در آن تاثیرات اندازه به نابجاییهای هندسی ضروری نسبت داده شدهاند، تاثیرات اندازه به موانع نابجاییها که کنترلکنندهی جریان سختشدگی هستند نسبت داده میشود. بعلاوه بر خلاف روش گرادیان کرنشی که در آن مقیاس طولی فیزیکی وجود ندارد، روش گرادیان تنشی با یک مقیاس طولی فیزیکی تعریف شده - متوسط فاصلهی موانع نابجاییها - شروع میشود و سپس مکانیک نابجاییها بدون دخالت هیچ پارامتر دیگری، پاسخ ماده نسبت به گرادیان تنش را - که به صورت جریان پلاستیک خود را نشان میدهد - تغییر میدهد.
تئوری پلاستیسیته ی گرادیان تنشی که فرمول بندی آن در مرجع [7] آورده شده است قبلا توسط چاکراوارتی و کرتین بر روی مسئلهی خمش خالص میکروتیر اعمال شده و کارایی آن برای این مسئله به اثبات رسیده است. ولی نحوه عملکرد این تئوری بر روی مسئله ترک تا به امروز مشخص نشده است با توجه به اینکه نحوه گسترش ترک یکی از اصلی ترین اهداف علم مکانیک شکست است بایستی تئوری پلاستیسیته ی گرادیان تنشی به عنوان یکی از روش های علم مکانیک شکست قادر به پیش بینی مناسب تنش های اطراف نوک ترک باشد. هدف اصلی از این مطالعه، بررسی نحوه عملکرد تئوری پلاستیسیته ی گرادیان تنشی بر روی مسئله ترک و پیش بینی میدان های تنش اطراف نوک ترک با استفاده از این تئوری می باشد.
2. تئوری پلاستیسیتهی گرادیان تنشی
برای اعمال مکانیسم پلاستیسیتهی گرادیان تنشی در مدل ساختاری پیوسته، جملات مربوط به گرادیان به صورت زیر وارد تنش تسلیم ماده میشوند:
مقیاس طولی مورد استفاده در مدل میباشد. گرادیان در هر نقطه با استفاده از رابطهی زیر محاسبه میشود.
-تنش موثر ومولفه های تانسور تنش انحراف آور میباشند.
با توجه به اینکه مدل پیوسته، نمایندهی همگن از یک ماده با مقیاس طولی داخلی میباشد، نمیتواند برای مقیاسهای در حد مقیاس طولی ماده بکار گرفته شود برای حل این مشکل گرادیان تنش، - x, y - ، در هر نقطه بایستی بیانگر گرادیان متوسط در محدودهی L باشد.
بنابراین: در میانگین گیری فوق فرض بر آن است که تغییرات غیرخطی میدانهای تنش در محدودهی Lobs کوچک هستند.
در شکل 1، تصویر شماتیک اجزاء محدود دوبعدی در محاسبهی متوسط گرادیان تنش نشان داده شده است. در هر نقطه - که در مدل اجزاء محدود همان نقاط گوس خواهند بود - مرزهای x Lobs / 2 ، y Lobs / 2 و همچنین نقاط گوس داخل این مرزها شناسایی شده و سپس متوسط گرادیان
شکل - 1 تصویر شماتیک نحوهی محاسبهی متوسط گرادیان تنش معادل در اجزاء محدود دوبعدی برای هر نقطهی انتگرالگیری گوس. ناحیهی هاشور خورده مساحتی است که گرادیان در آن متوسطگیری میشود همانطور که مشخص است تنها نقاط گوسی که داخل محدوده قرار دارند در متوسط گیری شرکت داده میشوند.
اخیراً، عملکرد رایطه - 2 - توسط شیشوان و قدوسیفر برای مسائل با موقعیتهای پیچیدهی تنش مورد ارزیابی قرار گرفته و عدم کارایی این رابطه تایید شده است. بدین منظور، آنها پیشنهاد دادهاند که مستقیماً از گرادیان تانسور تنش و یا گرادیان تانسور تنش انحرافآور برای تعیین گرادیان تنش در محدودهی L استفاده شود که در این حالت گرادیان تنش به صورت یک تانسور مرتبه سوم خواهد بود. سپس با استفاده از ناورداهای این تانسور مقدار مناسبی برای محاسبه می شود .
دو رابطه پیشنهادی آنها عبارتند از:
رابطه اول:
در این رابطه از گرادیان تانسور تنش انحرافآور استفاده شده است
رابطه دوم:
در این رابطه از قسمت انحرافآور تانسور گرادیان تنش استفاده شده است
