بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله براساس تئوری الاستیسیته غیرمحلی ارینگن، ارتعاشات نانو لوله کربنی تک جداره دوار با وجود تنش اولیه مورد بررسی قرار می گیرد. معادلات حاکم برحرکت تئوری غیر محلی تیر اویلر برنولی و شرایط مرزی مربوطه با استفاده از روش انرژی استخراج و سپس با استفاده از روش تبدیل دیفرانسیلی فرکانس های طبیعی نانو لوله کربنی دوار محاسبه می شوند.
در این مقاله اثر مقیاس کوچک، تنش اولیه، سرعت زاویه ای و شعاع هاب بر رفتار ارتعاشی نانو لوله کربنی دوار بررسی می شود. مشاهده می شود که با افزایش بار فشاری و کششی، فرکانس طبیعی نیز به ترتیب افزایش و کاهش می یابد. همچنین میزان فرکانس با افزایش سرعت زاویه ای و اثرات غیرمحلی، کاهش می یابد اما به میزان شعاع هاب وابسته نمی باشد.
.1 مقدمه
علم نانو و نانوتکنولوژی با کشف نانولوله های تک جداره ابتدا در سال 1991 توسط ایجیما و چند لایه در سال[1] 1993 ، مسیری تازه در علم مواد، مهندسی، علم طب، الکترونیک، مواد زیستی و تولید انرژی برای حرکت به سمت یک انقلاب صنعتی باز کرد. نانو لوله-های کربنی و صفحه های گرافیتی دو نوع از نانو مواد هستند که پتانسیل عظیمی در طراحی سنسورهای جدید،کشف گاز و مواد کامپوزیت دارند و توجه تعداد زیادی از انجمن های علمی و محافل دانشگاهی را برانگیخته اند. نانو لوله های کربنی، استوانه هایی متشکل از مولکول های کربن با ساختار شش ضلعی منظم و تناوبی بوده و دارای خواص مکانیکی، حرارتی و الکتریکی جدیدی هستند که استفاده از آنها را در گستره وسیعی از کاربردها نظیر چرخدنده های مولکولی،نانو لوله های حامل سیال،سیستم های نانوالکترومکانیکی و دستگاه انتقال دارو[2]ممکن می سازد.
بیشتر کاربردهای این سازه ها بستگی به درکی دقیق از رفتار مکانیکی آنها دارد.بنابراین تجزیه و تحلیل آنها به زمینه ای جذاب در پژوهش های اخیرتبدیل شده است. از آنجا که نانولوله های کربنی بسیار کوچک هستند، اندازه گیری مستقیم خواص مکانیکی آنها بسیار دشوار است. بنابراین شبیه سازی محاسباتی به عنوان یک ابزار قدرتمند برای مطالعه خواص آنها مطرح است که خود به سه دسته شبیه سازی دینامیک مولکولی،شبیه سازی مکانیک محیط پیوسته و مدل سازی تجربی تقسیم می شود.با توجه به اینکه شبیه سازی مولکولی و مدل سازی تجربی بسیار گران قیمت و در حین حال فرآیندی پیچیده و زمان بر هستنداخیراً، تئوری محیط پیوسته مکانیکی به طور گسترده و موفقیت آمیزی برای مطالعه رفتار مکانیکی نانولولههای کربنی از قبیل تحلیل کمانش، انتشار موج و ارتعاشات به کار گرفته می شود.
تئوری های محیط پیوسته، شامل تئوری های کلاسیک و غیرکلاسیک همچون تئوری غیر محلی ارینگن، تئوری تنش سطح،تنش کوپل و گرادیان کرنش می باشند.مورمو و آدهیکاری به بررسی پاسخ ارتعاشی طولی غیرمحلی نانو لوله های کربنی پرداختند.
تانگ و همکاران ارتعاش آزاد نانولوله های کربنی با سطح مقطع متغیرکه نانوذره ای بر رأس آن قرار دارد را بررسی کردند.[4]یانگ و همکاران ارتعاشات آزاد غیرخطی نانولوله های کربن تک جداره را رب مبنای روش هندسه غیرخطی وُن کرمَنا ارائه کردند.
آن ها با لحاظ کردن اثرات تغییر شکل برشی عرضی و لختی دورانی نانولوله کربنی را به عنوان یک نانوتیر در قالب تئوری تیموشنکو مدل کردند.هریچ و همکاران با استفاده از تئوری تیر تیموشنکو و اویلر-برنولی، انتشار موج در یک نانولوله کربنی را بررسی کردند.
ارتعاشات اجباری نانولوله های کربن تک جداره با دو تکیه گاه ساده با بار هارمونیک متحرک توسط سیمسک براساس تئوری غیر محلی تیر اویلر-برنولی مورد بررسی قرار گرفت.[7] و مورمو و آدهیکاری به بررسی تحلیل ارتعاشات نانولوله کربنی دوار با تنش اولیه با تئوری اویلر برنولی براساس روش مربعات دیفرانسیلی پرداختند.به اذعان مورمو با روش مربعات دیفرانسیلی نمی توان فرکانس های طبیعی بالا را برای اثرات مقیاس کوچک بیشتر از 0/4 بدست آورد.
بنابراین در تحقیق حاضر، روش تبدیل دیفرانسیلی که یک روش نیمه تحلیلی- نیمه عددی است برای حل معادلات حاکم و بدست آوردن فرکانس های طبیعی استفاده می شود. این روش ابتدا در سال 1986 در مسائل مهندسی مطرح شد و برای حل معادلات اولیه خطی و غیرخطی در تحلیل مدارهای الکتریکی بکار رفت
تبدیل دیفرانسیلی یک روش عددی مبنی بر سری تیلور است که سرعت بالا و دقت مناسبی در همگرایی داده ها دارد.در این مقاله، ارتعاشات غیرمحلی نانولوله کربنی تک جداره با وجود تنش اولیه مورد مطالعه قرار می گیرد.معادلات حاکم بر حرکت تئوری غیر محلی تیر اویلر برنولی و شرایط مرزی مربوطه با استفاده از روش انرژی استخراج می شود. سپس با استفاده از روش تبدیل دیفرانسیلی فرکانس های طبیعی سیستم دوار بدست خواهد آمد و اثرات پارامترهای مختلف همچون مقیاس کوچک، سرعت زاویه ای و شعاع هاب مورد بررسی قرار می گیرد.نتایج بدست آمده نشان می دهد که فرکانس طبیعی به سرعت زاویه ای، بار اولیه و اثر مقیاس کوچک وابسته است و تغییرات شعاع هاب بر روی فرکانس طبیعی اثری ندارد.
.2 روش تبدیل دیفرانسیلی
تبدیل دیفرانسیلی k امین مشتق تابع با یک متغیر در x x0 به صورت رابطه - 1 - بیان می شود و تبدیل معکوس آن به صورت رابطه - - 2 بیان می شود.[10] در روابط - 1 - و - 2 - ، y - x - تابع اصلی و Y - k - تابع تبدیل یافته است:
جدول .1 روابط اساسی تبدیل دیفرانسیلی
جدول .2 روابط اساسی تبدیل دیفرانسیل شرایط مرزی
.3 تحلیل نانولوله کربنی دوار با استفاده از تئوری الاستیسیته غیرمحلی
مدل الاستیسیته غیرمحلی توسط ارینگن در سال 1972 ارائه شد.[11]براساس این مدل تنش وارد شده به یک نقطه در ابعاد نانو وابسته به کرنش در تمام نقاط جسم است. معادلات بنیادین برای جسم الاستیک خطی غیر محلی همگن به صورت معادله - 3 - بیان می شود.
در این معادله Cijkl تانسور مدول الاستیسیته و ij و kl به ترتیب تانسور های تنش و کرنش و e0 a ضریب غیرمحلی ارینگن - اثر مقیاس کوچک - است.مطابق شکل .1 - الف - یک نانو لوله کربنی به طول / که در نقطه 2 به یک هاب مولکولی به شعاع U متصل و درانتهای دیگر دارای تکیه گاه ساده است با سرعت زاویه ای ثابت دوران می کند.این نانولوله به صورت یک تیر اویلر-برنولی که درراستای محور دارای تنش اولیه است در نظر گرفته می شود که بصورت یک بعدی در شکل - .1ب - نشان داده شده است.
شکل.1 نانولوله کربنی دوار - الف - سیستم نانولوله کربنی دوار - ب - سیستم نانولوله کربنی دوار با تنش اولیه در حالت یک بعدی، معادله - 3 - به شکل معادله - 4 - در می آید که - مدول یانگ نانو تیر است.
- برای تیر اویلر برنولی، میدان جابجایی بصورت روابط - 5 - و - 6 - تعریف می شود.
- کرنش طولی بر حسب جابجایی عرضی نیز بصورت رابطه - 7 - نوشته می شود.
- فرض می شودکه نانولوله کربنی، تحت تنش محوری اولیه o - 8 - می باشد.نیروی محوری اولیه به صورت معادله - 8 - بدست می آید.
-با ترکیب روش انرژی و تئوری تیر اویلر-برنولی برای نانولوله کربنی دوار تحت بار اولیه رابطه زیر حاصل می شود.
