بخشی از مقاله
چکیده
در این پژوهش فرکانسهای طبیعی نانو تیر دوار تیموشنکو به روش مربع سازی دیفرانسیلی مورد بررسی قرار میگیرد. به منظور افزایش دقت، از مدل تیر تیموشنکو استفاده میشود که عبارات اینرسی دورانی و تغییر شکل برشی را در نظر میگیرد؛ بر خلاف تئوری تیر اویلر برنولی که در آن از هر دو مورد آنها صرف نظر میشود. جهت بررسی تأثیرات مقیاس نانو، ابتدا به صورت اجمالی تئوری الاستیسیته غیر محلی ارینگن بررسی میشود و سپس معادلات نانو تیر تیموشنکو دوار با توجه به تأثیرات مقیاس نانو و دورانی بودن مسئله استخراج میگردد.
پس از بیبعد سازی معادلات با استفاده از پارامترهای بی بعد معرفی شده، معادلات به فرم مربعسازی دیفرانسیلی بازنویسی و با بهرهگیری از روش ذکر شده حل میشود و فرکانس های طبیعی استخراج میگردد. برای محاسبه فرکانس-های طبیعی، حالتهای مختلفی در نظر گرفته میشود که در آن تغییرات شعاع توپی، سرعت دورانی، تغییر شکل برشی و عبارتهای بیبعد نانو مورد بررسی قرار میگیرد.
برای اعتبارسنجی نتایج، با به سمت صفر میل دادن عبارت غیرمحلی نانو، مسئله با تیر تیموشنکو دوار، با صفر در نظر گرفتن سرعت دورانی، با نانو تیر تیموشنکو و با صفر فرض کردن عبارات مربوط به تئوری تیموشنکو، با نانو تیر اویلر دوار مقایسه میشود که در هر مورد تطابق قابل قبولی مشاهده میگردد.
.1 مقدمه
با توجه به سرعت پیشرفت علم و افزایش نیازهای بشر به ابزارها و دستگاه ها، این انتظار میرود که ماشین آلات روز به روز سبکتر و کوچکتر شود و در عین حال کارایی آنها افزایش یابد. به همین منظور استفاده از قطعاتی در ابعاد نانو در کاربردهای مختلف بهویژه در صنعت نانو الکترومکانیک مطرح میشود که این استفاده مستلزم انجام محاسباتی برای فرمولاسیون و علمی کردن این بهرهوری میباشد؛ از آنجا که این قطعات اکثراً به صورت دینامیکی یا به طور کلی حرکتی به کار برده میشوند لازم است که برای طراحی هرچه بهتر به خصوصیات و ویژگی های ارتعاشی این قطعات توجه شود.
در چند سال اخیر به دلایل ذکر شده مدل کردن ساختارهای نانو علاقهمندان بسیاری را به خود جذب کرده است. برخی از زمینه های مورد پژوهش، زمینههای مکانیک و مکاترونیک میباشد و از کاربردهای آن میتوان موتور نانو رباتها و نانو توربینها را نام برد ؛ البته این گونه مسائل به طور گستردهتری در علوم دیگر همچون شیمی، الکترونیک و مسائل حرارتی مشاهده می-شوند.
در این زمینه بهدلیل وجود اثرات مقیاس کوچک، علم مکانیک محیطهای پیوسته کلاسیک نمیتواند کاربردی داشته باشد. با وجود برخی تلاشهای پراکنده با استفاده از معادلات محیط پیوسته و الاستیسیته با مشتقات مرتبه بالاتر در قرن 19 و در نیمه اول قرن 20 اثرات نانو ساختارها تا آن زمان بهدست نیامد. از سال 1960 یک اتفاق بزرگ رخ داد و آن آثار انتشار یافته بسیاری در زمینه میکرو ساختارها بود که زمینه ساز مطالعات برروی نانو ساختارها گردید 5] الی .[12 بعد از آن ارینگن یک نظریه ساده به نام شیب تنش به-دست آورد
در اوایل سال 1990، آیفانتیس و همکارانش با لاپلاس روابط ساختاری الاستیک خطی را برای کرنش گسترش دادند
اسکس و گیتمن [16] نشان دادند که نظریه آنها با نظریه ارینگن و آیفانتیس×یک نظریه واحد است.×تکامل تاریخی تئوری الاستیسیته غیرمحلی و همچنین استخراج معادلات آن به طور کل در یک مقاله توسط اسکس و آیفانتیس گردآوری شد
ارینگن و همکارانش نظریه مکانیک محیطهای پیوسته غیر محلی را بیان کردند 18]و19و.[20 این نظریه در میان نظریه های محیطهای پیوسته وابسته به اندازه بهطور گسترده در تحلیل بسیاری از مسائل از جمله در انتشار امواج، جابهجایی و نقاط تکین ترک مورد استفاده قرار گرفته است
امروزه تلاش زیادی برای تجزیه و تحلیل ارتعاش نانوتیر دوار با استفاده از تئوری الاستیسیته غیرمحلی ارینگن صورت گرفته است
پرادهان و مورمو با بهکار بردن یک مدل تیر غیرمحلی توانستند ویژگیهای ارتعاش خمشی نانو تیر اویلر یکنواخت دوار را بهدست آورند. آنها فرکانس طبیعی نانوتیر غیرمحلی را با استفاده از روش مربع سازی دیفرانسیلی تعیین و اثرات مقیاس کوچک، سرعت زاویهای و شعاع توپی را بر ویژگیهای ارتعاشی نانوتیر بررسی کردند
مورمو و ادهیکاری به بررسی ویژگیهای ارتعاشی مسئله مشابهی پرداختند، با این تفاوت که دیواره کربنی برای آن در نظر گرفته شد
نارندار و گوپالاکریشنان رفتار انتشار امواج را در تیرهای اویلر برنولی به عنوان مدل نانو لولههای یکنواخت دوار مورد بررسی قرار دادند
لویا و رویز به بررسی ویژگیهای ارتعاشی خمشی یک نانو تیر دوار غیر یکنواخت پرداختند×و نشان دادند در مرجع [23] شرایط مرزی مربوط به سر آزاد نانوتیر بهدرستی انتخاب نشده است
ترابی و همکاران ویژگی های ارتعاشی نانو تیر تیموشنکو با نیروی محوری ثابت را بهدست آوردند .[26] تفاوت پژوهش انجام شده با پژوهشهای مشابه پیشین، وجود دوران و اثرات حاصل از آن در مسئله است که این اثرات در سرعتهای دورانی مختلف مورد بررسی قرار خواهد گرفت و نتایج حاصل ارائه میگردد.
.2 تئوری الاستیسیته غیرمحلی ارینگن
در الاستیسیته کلاسیک، تانسور تنش در هر نقطه مادی، تابعی از تانسور کرنش در همان نقطه مادی میباشد. در تئوری الاستیسیته غیرمحلی ارینگن، تانسور تنش در هر نقطه از محیط مادی، توسط یک معادله انتگرالی به تانسور کرنش تمام محیط مادی وابسته میباشد. به عبارت دیگر معادله ساختاری تئوری الاستیسیته غیرموضعی به صورت انتگرالی بیان میشود. میتوان فرم دیفرانسیلی معادله ساختاری الاستیسیته غیر محلی را از فرم انتگرالی آن بهدست آورد:
که در آن C تانسور مرتبه چهار الاستیسیته میباشد. پارامتر e0 a به پارامتر ابعاد کوچک یا پارامتر غیرمحلی مشهور است. e0 یک پارامتر مادی است که با تطابق نتایج نظریه الاستیسیته غیرمحلی با نتایج آزمایش یا شبیهسازی تعیین میشود. بنابراین میدان تنش غیرمحلی ارینگن برحسب کرنشها حاصل میشود.
.3 استخراج معادلات دیفرانسیل نانو تیر تیموشنکو دوار2
همانگونه که در شکل - 1 - مشاهده میشود یک نانو تیر به طول L در نقطه O به یک توپی صلب به شعاع R متصل شده است. سر دیگر نانو تیر آزاد می باشد و توپی مرکزی با سرعت دورانی در حال چرخش میباشد. در این بخش با استفاده از تئوریهای الاستیسیته غیر محلی و تئوری تیر تیموشنکو میتوان معادلات حاکم بر نانو تیر تیموشنکو دوار را نوشت.
شکل .1 نانو تیر تیموشنکو دوار
3,1 معادلات نانو تیر تیموشنکو دوار
.4 بی بعد سازی معادلات
با استفاده از پارامترهای بیبعد، معادلات حاکم بر مسئله و شرایط مرزی مسئله را به صورت ساده شده و بیبعد میتوان نوشت.
