مقاله اعمال شرط مرزی ورودی در شبیه سازی جریان سطح آزاد در مدل عددی OpenFOAM

بخشی از مقاله

*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***

اعمال شرط مرزی ورودی در شبیه سازی جریان سطح آزاد در مدل عددی OpenFOAM

خلاصه:
اعمال صحیح شرایط مرزی از مهمترین نکات در استفاده از یک مدل عددی برای شبیهسازی جریان میباشد. اعمال شرط مرزی جریان ورودی در مدلسازی عددی جریان سطح آزاد با استفاده از معادالت ناویراستوکس- معموالً از نظر عددی به صورت تقریبی در مدل عددی اعمال می گردد . در تحقیق حاضر مدل عددی OpenFOAM مورد استفاده قرار گرفته شده و در خصوص اعمال شرط مرزی ورودی در این مدل عددی از راهکاری برای اعمال بهتر شرط مرزی ورودی استفاده شده است به نحوی که تراز سطح آب در مقطع ورودی متغیر بوده و توسط مدل عددی محاسبه میشود. عالوه بر این به منظور اعمال جریان وروید در حالت کامالً توسعهیافته، معادله سادهای برای پروفیل سرعت در مقطع ورودی بدست آمده که نیاز به اعمال بازه طوالنی در ورودی برای رسیدن به جریان توسعهیافته را منتفی میسازد. نتایج مدل عددی برای جریان متغیر تدریجی در کانال مستقیم و جریان در محل یک آبگیر جانبی با نتایج تحلیلی و آزمایشگاهی موجود مقایسه شده و عملکرد مناسب ترفندهای بکار گرفته شده، تأیید شده است.
کلمات کليدی:مدلسازی عددی، جریان سطح آزاد، شرایط مرزی جریان ورودیکامالً توسعه یافته، OpenFOAM

-1مقدمه

در سالهای اخیر که به دلیل افزایش هزینههای مطالعات آزمایشگاهی و پیشرفت قابل توجه کامپیوترها، استفاده از مدلهای عددی برای شبیهسازی جریان محبوبیت بسیار زیادی یافته است، مدل های عددی زیادی توسط محققین توسعه داده شده و در تحقیقات و محاسبات مهندسی مورد استفاده قرار گرفته است. اعمال صحیح و مناسب شرایط مرزی یکی از نکات کلیدی در توسعه و استفاده از یک مدل عددی میباشد. در خصوص شبیهسازی جریان سطح آزاد نیز این امر یکی از مواردی است که باید در استفاده از مدلهای عددی مورد توجه ویژهای قرار گیرد، تا ضمن اعمال شرایط مرزی به صورت هماهنگ با فیزیک مسئله، هزینههای محاسباتی نیز تا حد امکان کاهش یابد. با توجه به طبیعت جریان در رژیم زیر بحرانی جریان در کانال های روباز، الزم است در مرز ورودی یکی از دو مقدار دبی جریان یا تراز سطح آزاد به مدل معرفی گردد کهمعموالً استفاده از شرط مرزی دبی معلوم برای مقطع ورودی ارجحیت دارد. از طرفی در مدل های عددی سهبعدی که مبتنی بر حل معادالت نویر-استوکس میباشند و حالت عمومی نیز دارد، اعمال این شرط مرزی به آسانی در دسترس نیست.

عالوه بر این در برخی مطالعات مانند بررسی جریان در آبگیر جانبی الزم است جریان ورودی پیش از رسیدن به محل اتصال به صورت کامالً توسعه یافته درآمده باشد که برای اعمال این وضعیت در مدل عددی سهبعدیمعموالً، از یک توزیع سرعت ثابت در مقطع ورودی استفاده شده و طول قسمت ورودی به اندازهای طوالنی در نظر گرفته میشود که جریان قبل از رسیدن به محل مورد مطالعه به حالت کامالً توسعه یافته رسیده باشد. استفاده از این روش به دلیل حضور کانال ورودی طوالنی باعث افزایش هزینه های محاسباتی میشوند.

در تحقیق حاضر از مدل عدی متنباز OpenFOAM استفاده شده است. این نرمافزار یک مدل عددی برای دینامیک سیاالت محاسباتی است که قادر به مدلسازی طیف وسیعی از مسائل معادالت دیفرانسیل جزئی میباشد. این نرم افزار به صورت منبع باز و آزاد موجود میباشد. این مطلب به این معناست که کد آن به صورت رایگان در اختیار همه قرار دارد و به سهولت از شبکه جهانی اینترنت قابل دریافت است. عالوه بر آن به علت آزاد یا باز بودن منبع مذکور امکان بررسی تمامی جنبه های کد نویسی از جمله تغییر و توسعه آن برای کاربر فراهم خواهد بود.
این نرم افزار با تعدادی حل گر از پیش ساخته مثالهای کاربردی و کتابخانه ارائه گردیده است که میتواند به عنوان یک بسته مدلسازی معمولی مورد استفاده قرار گیرد. در نرم افزار OpenFOAM از روش حجم محدود جهت گسسته سازی فضای دامنه و تبدیل معادالت دیفرانسیل به معادالت جبری استفاده میشود. برای حل جریانهای دو فازی، آشفته و تراکم ناپذیر در حالت غیر دائمی در این نرم افزار از حل گر interFoam استفاده میشود.

معادلهی حرکت به صورت رابطه ی )1( است.

که در آن بردار سرعت، p فشار،  لزجت دینامیکی،  چگالی و Fs نیروی کشش سطحی است که فقط در سطح آزاد وجود دارد. معادلهی پیوستگی نیز به صورت رابطهی )2( تعریف میشود.

ردیابی سطح آزاد در OpenFOAM با استفاده از روش VOF یا روش حجم سیال انجام میشود. از طریق معادالت انتقال، موقعیت سطح آزاد با استفاده از کمیت اسکالر  که کسر حجمی سیال نامیده میشود، تعیین میگردد. اگر برای یک سلول این کسر برابر با صفر باشد سیالی در آن وجود نخواهد داشت. همچنین اگر کسر مورد نیاز برابر با یک باشد بدین معناست که تمام حجم سلول از سیال اشغال شده است. سطح آزاد در سلول هایی تعریف میشود که برای آنها مقدار کسر مورد نظر بین صفر تا یک باشد.

معادله وابسته به زمان تغییرات عبارت است از:

وقتی که معادلهی )3( با معادله پیوستگی ترکیب شود، معادله ای بدست خواهد آمد که تغییرات زمانی را با در نظر گرفتن قانون بقای جرم ارائه میدهد.

در روش VOF با اینکه بقای جرم لحاظ میشود، اما از طرفی دیگر محاسبهی انحنا با استفاده از کسر حجمی بسیار مشکل است. تالش هایی برای رفع این ضعف صورت پذیرفته است. با این حال همچنان این موضوع به صورت یک مشکل باقی مانده است.

در نرم افزار OpenFOAM یک ترم اضافه با عنوان تراکم ساختگی به رابطه ی انتقال کسر حجمی افزوده میشود. از نظر فیزیکی روش کار به این صورت است که یک فشار بر روی سطح آزاد اعمال میشود تا اینکه از پراکندگی سطح آزاد جلوگیری شود. بدین ترتیب معادله انتقال به فرم رابطه ی )5( در میآید.

که در آن u r سرعتی ست که برای اعمال فشار ساختگی بر روی سطح آزاد وارد می شود. این کمیت با عنوان Calpha در نرم افزار OpenFOAM معرفی شده است .]1[

بیشترین کاربرد نرم افزار OpenFAOM در مدلسازی جریانهای تک فاز و چند فاز در علم مکانیک جامدات و انتقال حرارت بوده و توجه کمتری نسبت به شبیهسازی جریان دو فازی در کانالهای روباز با استفاده از این نرم افزار وجود داشته است.

مدلسازی شکست سد به صورت دوبعدی و سه بعدی در حضور یک مانع در پایین دست سد، یکی از مثالهای آماده ای است که در نرم افزار وجود داشته و به طور مفصل به آن پرداخته شده است .]2[

لوبوسکو و همکاران) 2111( 1 جریان بر روی یک سرریز پله ای را با OpenFOAM شبیهسازی کردند .]3[ در این مدل، در محل مقطع ورودی در باالدست سرریز پله ای، شرط دیوار گذاشته شده و یک مخزن آب همانند مدلسازی شکست سد، قرار داده شده است.

در رابطه با جریان زیر بحرانی در کانال، فرشته پور و همکاران )1331( با استفاده از OpenFOAM الگوی جریان در شیب شکن قائم را به صورت سه بعدی شبیهسازی و با نتایج آزمایشگاهی و عددی موجود مقایسه کردند ]4[ در این تحقیق به عملکرد بهتر مدل آشفتگی realizable k نسبت به مدل آشفتگی RNG k اشاره شده است. لذا در این تحقیق نیز از همین مدل استفاده شده است فوربو و همکاران) 2113( 1 نیز به مقایسهی تمامی مدلهای آشفتگی از نوع RANS بکار رفته در OpenFOAMرا برای بررسی ناحیهی جدایی بر روی یک تپه پرداختند و با نتایج آزمایشگاهی مقایسه کردند. نتیجه این بود که دو مدل آشفتگی RNG k  و realizable k  عملکرد قابل قبول و بهتری نسبت به بقیه مدل ها داشتند .]5[

در این مطالعات، عمق جریان در مرز ورودی در باالدست به دو قسمت آب و هوا تقسیم بندی و شرط سرعت ورودی به عنوان شرط مرزی دوم به آنها اعمال شده است. در نتیجه، عمق باالدست کانال ثابت خواهد بود که با اصول جریان زیر بحرانی همخوانی ندارد و بهکارگیری شرط مرزی دبی جرمی در ورودی نیز این مشکل را حل نمیکند. از آنجایی که هیچ راهنمایی برای مدلسازی جریان زیر بحرانی در OpenFOAM به گونه ای که در مرز ورودی کانال روباز، تنها شرط دبی اعمال شده باشد و عمق آب متغیر باشد، مشخص نشده است، در این تحقیق از ابزار جانبی بنامSWAK4FOAMاستفاده شده است تا شرایط مرزی در ورودی به نحوی اعمال گردد که نواقص مورد بحث را نداشته باشد. به کمک این ابزار میتوان معادالت دلخواه را در ورودی اعمال کرد .]6[ ضمن آنکه اعمال معادله سرعت کامالً توسعه یافته نیز به کمک همین ابزار امکانپذیر خواهد شد.

در ادامه ضمن معرفی و تشریح روش بکار گرفته شده، نتایج مدل عددی برای شبیهسازی سهبعدی پروفیل جریان متغیر تدریجی در یک کانال مستقیم و همچنین شبیهسازی جریان در محل یک آبگیر جانبی ارائه شده و با مقایسه نتایج با داده های تحلیلی و آزمایشگاهی موجود، صحت نتایج تأیید شده است.

-2 اعمال شرط مرزی ورودی در OpenFOAM

-1-2 توزیع سرعت یکنواخت در مقطع ورودی

شرط مرزی دبی ورودی با استفاده از ابزار SWAK4FOAM به صورت توزیع سرعت برای فاز آب اعمال میشود. این مقدار سرعت در هر مرحله، از تقسیم مقدار دبی بر مساحت ناحیهی تشکیل شده از فاز آب در مقطع ورودی محاسبه میشود. با توجه به این نکته که مقدار کسر حجمی  برای فاز آب، عدد یک و برای فاز هوا عدد صفر میباشد، مقدار عمق آب در مقطع ورودی از رابطهی )6( محاسبه میشود.

در این رابطه، y بیانگر عمق هر ذره نسبت به بستر و H معادل ارتفاع سطح آزاد در مقطع ورودی خواهد بود. به دلیل اینکه مقدار کسر حجمی در سطح آزاد بین صفر و یک میشود، به میزان نصف اندازه متوسط یک سلول محاسباتی در جهت عمق به مقدار H اضافه میشود. مقدارH در هر مرحله محاسبه شده و در رابطه))7برای توزیع یکنواخت سرعت در ورودی برای فاز آب قرار داده میشود. بدین ترتیب برای فاز هوا نیز در یک مقطع ورودی با عرض B سرعت ناچیزی برابر با 105 متر بر ثانیه در نظر گرفته میشود.

-2-2 توزیع سه بعدی سرعتکامالً توسعه یافته در ورودی

در جریان کامالً توسعه یافته میتوان توزیع سرعت را با یک معادله توانی2 معادلسازی کرده و فرض شود که این قانون برای توزیع سرعت در تمام عمق و عرض کانال روباز بکار برده میشود .]7[ این رابطه در کانال روباز در جهت عمق و یا عرض کانال به صورت رابطه )8( خواهد بود.


که در آن، U بیانگر سرعت و U max سرعت ماکزیمم در مقطع است. X max فاصلهی محل ایجاد ماکزیمم سرعت در مقطع تا دیواره یا کف کانال به ترتیب در جهت عرض و یا عمق کانال و X بیانگر فاصله از دیواره و یا کف کانال است. توان ثابت N نیز با توجه به نوع جریان برای رابطهی توانی مشخص میشود.

بنا بر این در کانالی به عرض B در جهت مختصاتی z و عمق H در جهت مختصاتی y، توزیع سرعت در عمق کانال در z=B/2 به صورت رابطه )3( در اختیار است:

با توجه به اینکه در حالت کامالً توسعه یافته، برای هر توزیع توانی سرعت در راستای عرض مقطع در عمق y، سرعتهای بیشینه در z=B/2 واقع میشوند، به راحتی مشخص میشود که مقدار این سرعت بیشینه برابر خواهد بود با مقداری که از رابطه )3( محاسبه میشود. در نتیجه، برای توزیع سرعت در جهت عرض کانال، قانون توانی به فرم رابطه )3-4( بدست میآید.

که مقادیر ثابت mو nبا توجه به نوع جریان مشخص میشوند. انتگرال گیری دوگانه از رابطه )11( به معادلهی )11( منجر میشود.


با مشخص بودن مقدار دبی ورودی، ماکزیمم سرعت از رابطه )11( محاسبه شده و بدین ترتیب میتوان توزیع سرعت را در حالت کامالً توسعه یافته در اختیار داشت که این رابطه در کل مقطع ورودی کانال به صورت رابطهی )12( خواهد بود.

این رابطه با استفاده از ابزار کمکی SWAK4FOAM در نرم افزار OpenFOAM برای مقطع ورودی کانال اعمال میشود. به کمک این ابزار، رابطه توزیع سرعت )12( در نرم افزار اعمال میشود.



-3 مدل سازی جریان سطح آزاد در OpenFOAM

مدل سازی با استفاده از حل گر interFoam انجام شد که در آن از الگوریتم تکراری PISO برای کوپل معادالت سررعت و فشرار استفاده میشود. برای شبیه سازی جریان سطح آزاد در نرم افزار، از مدل آشفتگی realizable k  استفاده میشود. جهت ساخت و مرش بندی کارتزین غیر یکنواخت از ابزار blockMesh در خود نرم افزار استفاده شد. برای ترمهای مشتق زمان از طرح گسسرته سرازی مرتبره اول اویلر و برای ترمهای گرادیان و الپالسین از طرح درونیابی Gauss linear استفاده شد. برای ترمهای دیورژنس نیز طرح مرتبه اول Gauss upwind بکار گرفته شد. هم چنین از معیار پایداری کورانت جهت محاسبه حداکثر گام زمانی استفاده شد.

-1-3 جریان سطح آزاد در کانال مستقيم

برای مدل سازی مسئله با توزیع سرعت یکنواخت در مقطع ورودی، یک کانال مستقیم با مقطع مستطیلی شرکل، شریب صرفر، طرول 51 متر، عرض 3 متر، ارتفاع 1 متر، ضریب زبری مانینگ 1/114 و دبی ورودی 3 متر مکعب بر ثانیه در نظر گرفته میشود. در این حالت، عمرق بحرانی برابر با 1/47 متر بدست میآید که در خروجی کانال به عنوان شرط مرزی عمق در پایین دست در جریان زیر بحرانری لحراظ مریشرود. برای این منظور شبکه محاسباتی به دو بلوک جداگانه تقسیم میشود به نحوی که ارتفاع بلوک پایینی معادل عمق بحرانی بوده و بلروک براالیی تا ارتفاع کل کانال در نظر گرفته میشود. در این حالت در مقطع خروجی، شرط گرادیان صفر برای همهی پارامترهای جریان در خروجی آب و شرط اتمسفر برای خروجی هوا در نظر گرفته میشود. مبدأ مختصات در گوشهی کرف ورودی کانرال فررض شرد. جهرات x ، y و z بره ترتیب برای طول، عمق و عرض کانال به کار گرفته شدند.

4

در نرم افزار OpenFOAM زبری جدارهها با پارامتر k s یا عدد نیکوراتزه1 به عنوان طول مشخصه ارتفاع زبری در مرز کانال مشخص میشود. برای جریان با عدد رینولدز باال این پارامتر با کمک رابطه ی لگاریتمی )13( محاسبه میشود .]8[

که در آن C و R به ترتیب بیانگر ضریب شزی و شعاع هیدرولیکی بوده که ضریب شزی به صورت با عدد مانینگ مرتبط میشود.

. آزمون کفایت ریزی شبکه با مقایسه توزیع سرعت در عمق مقطرع برا رابطرهی لگراریتمی صرورت گرفت مطابق شکل )1( مدل سازی با 56251 سلول محاسباتی متشکل از 75، 51 و 15 سلول به ترتیب در جهات طول، عمق و عرض کانال مناسبتررین و بهینهترین نتیجه را در بر خواهد داشت که شبکه محاسباتی در جهت عمق به صورت غیر یکنواخت در نظر گرفته شده است.

همچنین پروفیل تغییرات سطح آزاد با نتایج حاصل از روش عددی گام به گام مستقیم مقایسه شد کره مطرابق شرکل )2( از همراهنگی بسیار خوبی برخوردار بود.