بخشی از مقاله
چکیده
ضریب همبستگی رتبهاي موزون - شکلی ازضریب همبستگی رتبهاي اسپیرمن میباشدکه درسال2005 میلادي توسط سورزوپینتوداکاساتا مورد بررسی قرارگرفته است. برخلاف ضریب اسپیرمن که تمامی رتبهها را با یک درجه ازاهمیت مورد بررسی قرا رمیدهد، در اینجا با استفاده از یک تابع خطی فاصلهي بیندو رتبه را وزن میدهد. البته توابع وزنی دیگري نیزقابل استفاده هستند که ما در اینجا از همان تابع خطی استفاده خواهیم کرد. آنها همچنین توزیع ، با فرض استقلال بردارهاي رتبهاي را نیز بررسی کردند. همچنین جدولی از مقادیر بحرانی بهمنظور آزمون با معنی بودن تفاوت یک مقدار معین ضریب از صفر نیزتهیه شد و یک عدد از اعداد قابل استفاده براي این اندازهي جدید معرفی گردید. دراینجا ابتدا این اندازهي جدید - ضریب همبستگی موزون - را تعریف میکنیم و در ادامه فرض استقلال بین دو بردار رتبهاي را کنار گذاشته و توزیع را در حالت کلی بررسی می-کنیم. بدین منظور از علامات وبحثهایی شبیه به آنچه رویمگارت، وان زوییت و شورك در اثبات برهان 2.1درکتاب سالنامهي آمار ریاضی بهکاربردند [4]، استفاده می کنیم. در پایان اثبات خواهیم کرد که داراي توزیع حدي نرمال است.
.1 ضریب همبستگی رتبهاي موزون
در این قسمت اندازه موزون ازهمبستگی را توصیف میکنیم. رتبهي مشاهدهي امj از سري اول دادههاي جفتی خواهد بود، که به صورت مشاهده شدهاند و بهعنوان رتبهي مشاهده ام از سري دوم جفت مشاهدات میباشد. بدست مقداري است که ازمحاسبهي ضریب همبستگی خطی از رتبههاي جفتی میآید:
کاملاً مشخص است که با استفاده ا زاین فرمول تنها به مقدار تفاوت بین رتبههاي جفتی وابسته است. براي مثالاگر=2 باشدمقدار فرقی نمیکندکه 1,3باشد یا هرمقدار دیگري به فرم2,2 . پینتوداکاستا و سورز اندازهي فاصلهاي دیگري را بهشکل زیر پیشنهادکردند: .بنابراین اندازهي موزن همبستگی به صورت زیرخواهدبود:
تحت فرض استقلال بین دوبردارازرتبهها،مقدارموردانتظارصفرخواهدبود. - این مطلب در]اثبات شده است - .این مطلب همان خاصیت مطلوب براي ضریب همبستگی است. تحت فرض استقلال خواهیم داشت:
.2توزیع حدي
دریک شبیه سازي نشان داده شده است که دریک حالت خاص - استقلال دوبردار رتبهاي - ، اینآمارهيجدیددریک نقطه به منحنی نرمال نزدیک می شود. درادامه به صورت رسمی توزیع رادرحالتکلّی - بدون درنظرگرفتن فرضاستقلال - بررسی خواهیمکرد.درشکلتوزیع براي14و 15ترسیم شده است. - اولین شکل،توزیع تخمینی وبعدي توزیع دقیق رانشان می دهد - . همچنین توزیع حدي براي 20 و40 مشاهده نیزترسیم شدهاست.ازبررسی نمودارها اینطوربه نظر میرسدکه حداقل دراین موردخاص،آمارهي با افزایش مقدار ، منحنی نرمال رامی پوشاند. به عبارت دیگر، با افزایش توزیع تمایل بیشتري به توزیع نرمال دارد.رامیتوانبهصورت زیرنوشت:
