بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله، تحلیل ارتعاشات غیرخطی یک میکروتیر از جنس ماده همگن که بر روي بستر الاستیک تحت تاثیر بار محوري فشاري قرار دارد مورد بررسی قرار میگیرد. در این راستا، معادله دیفرانسیل با مشتقات پاره اي حاکم برحرکت بر راستاي جانبی - عرضی - میکروتیر با استفاده از روش گالرکین به معادله دیفرانسیل معمولی تبدیل میشود. سپس با ا ستفاده از روش غیرخطی هی، جوابی تحلیلی-تقریبی براي ارتعاشات غیرخطی میکروتیر استخراج میگردد. با استفاده از تئوري تنش کوپل اصلاح شده، پاسخ میکروتیر، شامل محاسبه دامنه ارتعاشات و فرکانسهاي طبیعی خطی و غیرخطی محاسبه میشوند. اثر تغییر پارامترهاي مختلف مهندسی و مشخصات مکانیکی میکروتیر مانند سفتی بستر الاستیک و مقدار بار محوري فشاري در شکل پاسخ دینامیکی میکروتیر بر فرکانسهاي طبیعی خطی و غیرخطی مورد بررسی قرار میگیرد.
.1 مقدمه
در کاربردهاي مهندسی سازههایی را که یکی از ابعاد هندسی آنها نسبت به دو بعد دیگر بسیار بزرگ باشد، به صورت تیر مدل میکنند .
تیرها توانایی تحمل بارهاي عرضی را دارا بوده و تحت بار عرضی دچار خمش میشوند. تیر یکی از اجزاي اساسی در بسیاري از سازههاي مهندسی است. بسیاري از سازههاي پیچیده را میتوان به عنوان تیر مدل کرد. ارتعاش تیرها با دامنه کوچک را میتوانعموماًً با استفاده از معادلات خطی بررسی کرد. با استفاده از اصل برهم نهی در سیستمهاي خطی میتوان حالتهاي پیچیدهتر را به صورت ترکیبی از حالتهاي سادهتر در نظر گرفت. این موضوع سبب میشود که روشهایی قدرتمند و کلی براي بررسی سیستمهاي خطی وجود داشته باشد. اما زمانی که دامنه ارتعاشات کوچک نباشد و یا سایر عوامل موثر در سیستم مانند میرایی را نتوان به شکل خطی مدل کرد، مدلهاي خطی اعتبار خود را از دست میدهند. امروزه تقاضاهایی که براي بهبود طراحی سازهها وجود دارد، مانند کارکرد در سرعتهاي بالاتر، وزن کمتر و انعطافپذیري بیشتر، باعث پیدایش ارتعاشات با دامنههاي بزرگ در بسیاري از سازههاي مهندسی شده است. این موضوع به خصوص در مورد سازههاي فضایی مصداق دارد .
براي بررسی رفتار ارتعاشی چنین سازههایی لازم است از نظریه ارتعاشات غیرخطی استفاده شود. امروزه با توجه به افزایش امکانات محاسباتی، استفاده از تحلیل ارتعاشات غیرخطی در بسیاري از زمینههاي مهندسی مکانیک رایج شده است. علاوه بر ارتعاشات با دامنههاي بزرگ، بسیاري از عوامل دیگر نیز میتوانند باعث رفتار ارتعاشی غیرخطی در سازهها گردند. این عوامل را براي سیستمهاي پیوسته میتوان به سه دسته کلی عوامل غیرخطی مادي، اینرسی و هندسی تقسیم کرد
اثرات غیرخطی مادي در موادي که در آنها رابطه بین تنش و کرنش را نمیتوان به صورت خطی و با استفاده از قانون هوك مدل کرد اتفاق میافتد. اثرات غیر خطی اینرسی از وجود جرمهاي متمرکز و یا گسترده ناشی میشود و در تابع انرژي جنبشی سیستم ظاهر میشود. اثرات غیرخطی هندسی به علت تغییر شکلهاي بزرگ و یا روابط هندسی غیرخطی بین اجزاي سیستم به وجود میآیند عموماًو توسط رابطه غیرخطی بین کرنش- جابجایی بیان میشوند. اثرات غیرخطی هندسی در تابع انرژي پتانسیل سیستم ظاهر میشوند.
در صورت وجود عوامل غیرخطی در سازهها، رفتارهاي فیزیکی جالبی اتفاق میافتد که با نظریه سیستمهاي خطی قابل پیش بینی و توضیح نیست. از جمله ویژگیهاي سیستم یرخطی میتوان به واﺑﺴﺘﮕﻲ فرکانس ارﺗﻌﺎش به دامنه، جهش1، ارﺗﻌﺎﺷﺎت زیر هارمونیک2 و فوق هارمونیک3 اشاره کرد. این پدیدهها هم در سیستم هاي یک درجه آزادي و هم در سیستمهاي با بیش از یک درجه آزادي امکان وقوع دارند .اما برخی از پدیدهها مانند تشدید داخلی4، تشدید ترکیبی5، اشباع6، پاسخ غیر تناوبی به تحریک تناوبی با وﺟﻮد ﻣﻴﺮاﻳﻲ در سیستم و آشوب7 ، مختص سیستمهاي غیرخطی با بیش از یک درجه آزادي است.
ارتعاشات هندسی غیرخطی را میتوان به دو دسته کلی ارتعاشات با تغییر شکل بزرگ اما کرنش کوچک8 و ارتعاشات تحت کرنش محدود9 تقسیم کرد. طبق فرضیات فونﻛﺎرﻣﻦ تنها جملات غیرخطی ناشی از خیز عرضی تیر در روابط کرنش- تغییر مکان در نظر گرفته میشوند و از جملات غیرخطی ناشی از تغییر شکل طولی صرف نظر میشود. اما مدل فون کارمن تمام اثرات غیرخطی هندسی را مدل نمیکند و کرنشها در این مدل هم چنان کوچک فرض میشوند.
مرسوم است که ارتعاشات آزاد غیرخطی میکروتیر بصورت نیمه تحلیلی بررسی گردد. با فرض تغییرات زمانی حرکت به صورت ارمونیک، شکل مد غیرخطی در طی دوره حرکت تغییر نمیکند. اما نشان داده شده است که شکل مد ارتعاش تیرها و ورقها در دامنههاي بزرگ براي بیشتر شرایط مرزي تغییر میکند
بنابراین فرض ارتعاش به صورت هارمونیک نمیتواندکاملاً صحیح باشد. اما در بسیاري از موارد با تقریب هارمونیک بودن ارتعاش نتایج دقیقی بدست میآید. از این فرض به طور گستردهاي در بررسی ارتعاشات غیرخطی تیر استفاده شده است. به وسیله آزمایش نشان داده شده که رفتار تغییر شکل در مقیاس هاي میکرونی، به اندازه ﺑﺴﺘﮕﻲ دارد. این رفتار توسط تئوريهاي متداول مکانیک قابل بررسی نیست و از تئوري تنش کوپل جهت توصیف اثر اندازه10 استفاده میشود.
در این مقاله، تحلیل ارتعاشات آزاد غیرخطی یک میکروتیر از جنس ماده همگن که بر روي بستر الاستیک تحت تاثیر بار و بار محوري فشاري قرار دارد مورد بررسی قرار میگیرد. در این راستا، معادله دیفرانسیل با مشتقات پاره اي حاکم برحرکت بر راستاي جانبی - عرضی - میکروتیر با استفاده از روش گالرکین به معادله دیفرانسیل معمولی تبدیل میشود. سپس با ا ستفاده از روش غیرخطی هی، جوابی تحلیلی-تقریبی براي ارتعاشات غیرخطی میکروتیر استخراج میگردد.
با استفاده از تئوري تنش کوپل اصلاح شده، پاسخ سیستم شامل محاسبه دامنه ارتعاشات و فرکانسهاي طبیعی خطی و غیرخطی میکروتیر محاسبه میشوند. اثر تغییر پارامترهاي مختلف هندسی و مشخصات مکانیکی میکروتیر، سفتی بستر الاستیک و مقدار بار محوري فشاري در شکل پاسخ ینامیکی میکروتیر شامل فرکانسهاي طبیعی خطی و غیرخطی مورد بررسی قرار میگیرد.
.2 تعریف مسئله و مدلسازي ریاضی آن
در شکل 1 یک میکروتیر با طول l که بر روي بستر الاستیک با سفتی k قرار گرفته نشان داده شده است. این میکروتیر در دو انتهاي خود بار محوري فشاري p را تحمل میکند .
شکل :1 میکروتیر با طول l بر روي بستر الاستیک با سفتی k تحت تاثیر بار محوري p در دو انتهاي خود
معادله حرکت میکروتیر ایزوتروپیک در حالت کلی به صورت زیر میباشد :
