بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله به بررسی ارتعاشات آزادفمیکروتیرهاي چرخان بر مبناي تئوري کوپل تنش اصلاح شده و فرضیات تیر اویلرنبرنولی پرداخته شده است. روش انتقال دیفرانسیلیلفبر معادلات بدون بعد دینامیکیف موجود براي میکروتیرفچرخانفاعمال و فرکانسهاي طبیعی عرضیفآن محاسبه شده است. پس ازفآن نتایج حاضر با نتایج موجود در مقالات اعتبار سنجی شده است. سپس به بررسیفاثر سرعت چرخش، ضریب پواسون و نسبت ضخامت تیر بر پارامتر اثر اندازهي مادهفبر روي فرکانسهاي طبیعی محاسبه شده،فپرداختهفشده است. نتایج نشانف دهندهي این است که با کم شدن نسبت ضخامت تیر بهفپارامتر اثر اندازه،فتئوري کلاسیک فرکانسهاي عرضی کاملا متفاوتی را نتیجه میدهد؛فاین درحالی است که در نسبتهاي بالاترفاز ضخامت تیر بر پارامتر اثر اندازه،ففرکانسهاي عرضی حاصل شده از دو تئوري کلاسیک وفتئوري کوپل تنش اصلاح شده، بر یکدیگر منطبق می-گردندچفافزایش ضریب پواسون و سرعت چرخش نیز به ترتیب داراي اثر نرمشونده و سختشوندهفبرفروي فرکانسهاي عرضی پیش بینی شده توسط تئوري کوپل تنش اصلاح شده، دارند.
مقدمه
تجزیه و تحلیل میکروتیرهاي چرخان گام مهمی در مطالعهيف دینامیکی و ارتعاشاتی، شناخت و طراحی میکروسازههاي چرخان مانند میکروتوربینها میباشد. بر اساس تحقیقات نویسندگانفمقالهي حاضر،فمطالعات بسیار کمیفدر این زمینه انجام پذیرفته است. لذا به دلیل اهمیت پژوهشی و صنعتی این موضوع، در این مقاله به بررسی ارتعاشات آزاد فمیکروتیرهاي اویلرنبرنولی چرخان بر فمبناي تئوري کوپل تنش اصلاح شده، پرداخته میشود.فف دینامیک و ارتعاشات میکروتیرها با در نظر گرفتن پارامتر اندازه یکی از موارد پژوهشی مورد علاقهي محققین فدر دهههاي اخیر فبودهف است. تئوري کلاسیک نمیتواند به طور صحیح و دقیق رفتار ساختارهاي میکرو فرا پیشبینی کند که این مهم فناشی از نادیده گرفتن اثر اندازهي مواد فمیباشد. تئوري کوپل تنش اصلاح شده یکی از تئوريهاي مرتبه بالا جهت درنظر گرفتن اثرات مربوط به پارامتر اثر اندازهي ماده میباشد.فف در میان مطالعات بسیاري که در زمینهي استفاده از تئوريهاي مرتبه بالا جهت تحلیل فسازههاي میکرو انجام گرفته، بسیاري از نویسندگان بر اساس تئوري کوپل تنش اصلاح شده به مطالعهي میکروتیرهاي ثابت پرداختهاند. کنگ و همکاران ]ل[ تئوري کوپل تنش اصلاح شده را جهت محاسبهي فرکانسهاي طبیعی عرضی میکروتیرهاي اویلرنبرنولی استفاده نمودند. ایشان با صرف نظر از اثرات اینرسی جرمی رابطهي تحلیلی جهت محاسبهي فرکانسهاي طبیعی عرضی میکروتیرها ارائه نمودند. کی و وانگ ]ه[ به مطالعهي پایداري دینامیکی میکروتیرهاي تیموشینکوي ساخته شده از مواد درجهبندي شده بر اساس تئوري کوپل تنش اصلاح شده پرداختند.
آنها با بررسی تاثیر پارامترهاي اثر اندازه ماده و نسبت طول به ضخامت بر روي ناپایداري دینامیکی این میکروتیرها پرداختند. الشتی و ابوالقاسمی ]م[ فرمولاسیونی براي مطالعهي ارتعاشات آزادف میکروتیرهاي اویلرنفبرنولی براساس تئوري کوپل تنش ارائه نمودند. نتایج ایشان نشان فدهندهي فبالاتر بودن مقدار پیشبینی شده براي فرکانسهاي طبیعی توسط تئوري مورد استفاده نسبت به تئوري کلاسیک بود. انصاري و همکاران ]ت[ به مطالعه بر روي رفتارهاي ارتعاشی میکروتیرهاي پیزوالکتریک بر اساس کوپل تنش اصلاح شده پرداختند. آنها اثرات پیزوالکتریکفو پارامتر اثر اندازه بر روي فرکانس هاي طبیعی میکروتیر را به دست آوردند. ایشان ف]ز[ همچنین، کمانش تیرهاي عمودي اویلرنفبرنولی از مواد درجه بندي شده فدر مقیاس میکرو را بر پایهي تئوري کوپل تنش اصلاح شده بررسی کردند. دهرویه سمنانی و نیکخواه ]ذ[ اثر ضریب پواسون بر سفتی خمشی میکروتیر مدل شده بر اساس تئوري کوپل تنش اصلاح شده را مورد مطالعه قرار دادند. هی و همکارانف]غ[ روشیفجدید وابسته به اندازهفرافبراي میکرو صفحههاي مدرج براساس کوپل تنش اصلاح شده توسعه دادند. قنبري و بابایی ]ه[ براساس تئوري کوپل تنش اصلاح شده، به بررسی تحلیلی ارتعاشات آزادفتیر اویلرنبرنولی یکسر گیردار با جرم انتهایی پرداختند. نتایج ایشان نشان داد که افزایش جرم انتهایی باعث کاهش فرکانسهاي طبیعی میگردد. صالحی پور و همکاران ]ش[ براساس تئوري کوپل تنش اصلاح شده و الاستیسیتهي سه بعدي، مدلی فبراي استخراج فمعادلات فحاکم بر رفتار استاتیکی فوارتعاشاتیفصفحههايفمیکروننانو مدرج ارائه کردند. آنها تاثیر پارامتر اثر اندازه و شاخص گرادیان ماده بر روي فرکانسهاي طبیعی صفحه-هاي میکروننانو از مواد درجه بندي شدهفرا بررسی کردند.فف
تیرهاي چرخان یکی از شاخههاي اصلی تحقیق براي مهندسان مکانیک و دانشمندان است. بسیاري از محققان تحقیقات خودفرافبر روي دینامیک و ارتعاشات تیرهاي چرخانفدر ابعاد ماکرو فبر اساسف تئوري کلاسیک انجام دادند. آروین و بختیاري نژاد ]حل[ روابط کرنشنتغییر مکان غیر خطی فوننکارمن را براي به دست آوردن معادلات غیر خطی حاکم بر تیر اویلرنفبرنولی چرخان به کار گرفتند. آنها به تشکیل و بررسی پایداري مودهاي نرمال غیر خطی تیر مورد مطالعه با استفاده از روش مقیاسهاي چندگانه پرداختند. لاکاربونارا و همکاران ]لل[ فرمولاسیون دقیق تیرهاي چرخان را بر پایهي تئوري کوزرات براي میلهها ارائه فنمودند. آنها به مطالعهي تاثیر سرعت چرخش و نیروي کریولیس بر فرکانسهاي طبیعی عرضی، عرضی خارج از صفحه، پیچشیفو طولی پرداختند. مطالعات انگشت شماري نیز برروي ارتعاشات میکروتیرهاي چرخان صورت فپذیرفته است. دهرویه ]هل[ به بررسی ارتعاشات تیرهاي تیموشنکويفچرخان مدل شده بر اساس تئوري کوپل تنش اصلاح شده با استفاده از روش المان محدود پرداخت. او به بررسی تأثیر سرعت چرخش، ضریب رعنایی، گرفته شده است. سپس، با استفاده از روند مرسوم در روش انتقال دیفرانسیلی، فرکانسهاي طبیعی عرضی میکروتیرهاي چرخانفحاصل میشود. پس از اعتبار سنجی نتایج حاضر با مقالات موجود، به بررسی تاثیر نسبت ضخامت به پارامتر اثر اندازه، سرعت چرخش وفضریبف پواسون بر فرکانسهاي فطبیعی عرضی با مقایسهي نتایج تئوري کلاسیک و تئوري کوپل تنش اصلاح شده در کنار هم پرداخته می شود.
معادلات حرکت
شماتیک یک میکروتیر چرخان با شعاع روتورفR، عرضفb، ضخامتفhف و طولفLفکه با سرعت Ωفحول محور zفمیچرخد در شکل لفنشان داده شده است.فتغییرشکل محوري و عرضی بهترتیب با uفو wفنشان داده شدهاند.فف شعاع روتور و پارامتر اثر اندازه بر روي فرکانسهاي طبیعی پرداخت. نتایج نشان دهنده تأثیر بسیار مهم پارامتر اثر اندازه بر فرکانسهاي طبیعی بود. آروین ف]مل[ معادلات مرتبط با دینامیک میکروتیرهاي چرخان اویلر نبرنولی را بر اساس تئوري گرادیان کرنشی بهدست آورد. او با اعمال روش گلرکین بر معادلات بیبعد توانست فرکانسهاي طبیعی عرضی و طولی میکروتیر چرخان را محاسبه نماید.فدهرویه و همکاران ]تل[ فدر توسعه پژوهش پیشین خود،ف]هل[، فبه مطالعهي مشابهی اما با در نظر گرفتن ارتعاشات عرضی درون و خارج از صفحه-ي میکروتیرهاي چرخان پرداختند. مدل ارائه شدهي ایشان بر مبناي تیر تیموشنکو و بر پایهي تئوري کوپل تنش اصلاح شده بود. همانگونه که مشاهده میشود، فمطالعه بر روي میکروتیرهاي چرخان حوزهي جدیدي است که در این مقاله بهفآن پرداخته شده است. هدف اصلی این مقاله، محاسبهي فرکانسهاي طبیعی میکروتیر چرخان با استفاده از روش انتقال دیفرانسیلیفاست. دلیل آن را می-توان در این نکته پیدا نمود که کاربرد روش گلرکین نیازمند دانستن توابع پایهاي است که نه تنهافشرایط مرزي هندسی بلکه شرایط مرزي طبیعی را برآورده سازد. این توابع را میتوان براي تیرهاي اویلرنبرنولی بسیار ساده و به صورت شکل مود عرضی تیرهاي اویلرنبرنولیفساکنف در نظر گرفت، در صورتی که پیدا نمودن چنین توابعی براي تیرهاي تیموشنکوي ساکن فبسیار سخت و پیچیده فاست. لذا روش انتقال دیفرانسیلی فبهکار گرفته شده تا بتواند در پژوهشهاي آتی براي میکروتیرهاي تیموشنکوي چرخان به کار بسته شود. فف معادلات بیبعد حرکت از مرجع ]مل[ فاستخراجفشدهاند، بهفاین شکلفکه از سه پارامتر مرتبط با تئوري گرادیان کرنش، تنها پارامتري که مرتبط با تئوري کوپل تنش اصلاح شده می باشد غیرصفر در نظر معادلهيفبیبعد مرتبط با حرکت عرضی میکروتیر و معادلهي بی-بعد مشخص کنندهي تغییر شکل استاتیکی میکروتیر و شرایط مرزي مربوطه بهصورت زیر میباشند ]مل[ففف
گریز از مرکز بوده و فتغییر شکل محوري دینامیکی حولفتغییرشکل استاتیکیف فمیباشدچف با حل معادلهي دیفرانسیل - م - و استفاده از شرایط مرزي در رابطهي - تژ، معادلهي تعییرشکل استاتیکی بهصورت زیر حاصل می شود
روش انتقال دیفرانسیلی انتقال دیفرانسیلیفیکی از روشهاي پرکاربرد براي حل سریع معادلات دیفرانسیلی عادي با خطاي محاسباتی اندك و سرعت همگرایی سریع است. یکی از مزایاي این روش، توانایی به کار بردن معادلات دیفرانسیلی غیر خطی هم در معادلات دیفرانسیل فو هم در شرایط مرزي میباشد.فدر ضمن روش مذکور با ارائه حل نیمهتحلیلی امکان رسم شکل مودهاي طبیعی را نیز میدهد.فف این روش توسط ازگوموس و کایا ]زل[ جهت تحلیل تیرهاي تیموشنکوي چرخان در ابعاد ماکرو بهکار گرفته شده است.
