بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله یک مدل غیر خطی هندسی جدید به جهت بررسی ارتعاشات غیر خطی کوپل شده محوري- پیچشی یک رشته حفاري ارائه شده است. رشته حفاري که به عنوان یک تیر اویلر- برنولی عمودي همراه چرخش محوري با ضریب رعنایی بالا توصیف میشود، تحت نیروهاي مختلفی از جمله نیروي گسترده ناشی از وزن خود، نیروي عکس العمل سطح و گشتاور اصطکاکی مقاوم از طرف سازند قرار دارد. از آنجایی که هندسه مدل تاثیر زیادي بر سختشدگی هندسی1 تیر دارد، هدف این پژوهش یافتن اثر کوپلشدگی غیرخطی محوري- پیچشی بر میزان سختشدگی هندسی رشته تحت شرایط کاري مختلف است.
در اینجا، سختشدگی هندسی رشته حفاري با استفاده از یک مدل غیر خطی نسبتا دقیق به دست آمده است که در آن دورانهاي بزرگ هر مقطع رشته و همچنین روابط غیر خطی کرنش- جابجایی و اثرات میرایی ناشی از حرکت رشته در سیال حفاري در نظر گرفته شده اند. براي حل نهایی دستگاه معادلات نیز براي اولین بار از روش مود شکلهاي مفروض2 استفاده شده است.براي درك بهتر اثرات غیر خطی، نتایج حاصل از این مدل با نتایج حاصل از یک مدل خطی متناظر مقایسه شده است. تحلیلها نشان میدهد که بعد از وقوع اولین دوره چسبش- لغزش3، تفاوت زیادي بین نتایج حاصل از دو مدل به وجود میآید که این اختلاف با افزایش ضرایب اصطکاك مته- سازند و یا نیروي وزن بر روي مته افزایش مییابد.
واژههاي کلیدي:رشته حفاري، ارتعاشات غیر خطی، کوپل شدگی محوري- پیچشی، روش مود شکلهاي مفروض، چسبش- لغزش
مقدمه
تیرهاي الاستیک که در معرض نیروهاي محوري قرار میگیرند از خود تغییراتی در میزان سختی محوري و پیچشی نشان میدهند که این پدیده ناشی از حضور اثر سختشدگی هندسی [1] - که خود ذاتًا پدیدهاي غیر خطی است - میباشد. این موضوع در زمینه دینامیک سازهها قبلا به روشهاي مختلف توسط افراد مختلفی همچون بانرجی و دیکنز [2]، تریندید و سامپایو [3] بررسی شده است. این اثرات در دینامیک رشتههاي حفاري به وضوح مشاهده میشوند و در نتیجه پرداختن به آن در مورد رشتههاي حفاري اهمیت ویژهاي می-یابد. ارتعاشات رشتههاي حفاري با استفاده از مدل هاي پارامتر متمرکز یا مدلهاي پیوسته تحلیل میشوند، [5] و [6] که در آنها از ترمهایی غیرخطی به جهت توصیف نیروها و گشتاور مقاوم ناشی از اندرکنش مته و سازند استفاده میشود.
محققانی همچون ییجیت و کریستوفو یک مدل جرم متمرکز از رشته حفاري با هدف بررسی ارتعاشات کوپل خمشی-پیچشی رشته حفاري ارائه نمودند [5] که در ادامه کار خود، کوپلینگ محوري را نیز به وسیله یک معادله حرکت محوري دیفرانسیلی ساده شده پارامتر متمرکز در مدل خود اعمال نمودند. [7] ریچارد،ِگَرمی و دتورنِی نیز ارتعاشات خود تحریک چسبش- لغزش رشته حفاري را به وسیله یک مدل پارامتر متمرکز با در نظر گرفتن حرکت کوپل شده محوري و پیچشی بررسی کردند. [6] همچنین تریندید، والتر و سامپایو [4] یک مدل غیر خطی پیوسته به جهت بررسی اثرات سختشدگی هندسی در ارتعاشات کوپل محوري- خمشی رشته حفاري ایجاد نمودند. آنها سپس در ادامه کار خود ارتعاشات پیچشی رشته را نیز به کمک روش اجزاي محدود بررسی کردند. [8]
در این مقاله ارتعاشات کوپل محوري- پیچشی رشته حفاري به وسیله یک مدل غیر خطی جدید بررسی میشود که در آن ترمهاي کوپلشده تا مرتبه سه حضور دارند که در نتیجهي آن اختلافات زیاد کمی و کیفی بین مدل غیرخطی و خطی مشاهده میشود. همچنین اهمیت استفاده از مدل پیوسته به نسبت مدلهاي گسسته که تقریبی هستند، به خوبی معلوم میگردد. رشته حفاري بر اثر وزن خود نیز تحت نیروي گسترده قرار دارد که منجر به نرمشدگی هندسی قسمت پایینی رشته بر اثر نیروي فشاري عکسالعمل سطح میشود. به جهت حل دستگاه معادلات حرکت سیستم نیز براي هر دو مدل خطی و غیرخطی از روش مود شکلهاي مفروض براي اولین بار بهره گرفته شده است.
مزیت بزرگ این روش در امکان حل تحلیلی- تقریبی دستگاه معادلات دیفرانسیلی جزئی است. با ارائه توابع قابل پذیرش که فقط تابع متغیر مکانی هستند میتوان به یک دستگاه معادلات دیفرانسیلی معمولی رسید و سپس آن دستگاه را به روشهاي عددي معمول حل نمود. خطاي این روش به نسبت سایر روشهاي تقریبی موجود مثل روش اجزاي محدود و غیره بسیار کمتر است. با در نظر گرفتن تعداد بیشتري جمله در عبارت تابع قابل پذیرش بازهم به دقت حل افزوده میشود.مدل خطی را میتوان از مدل غیر خطی با صرف نظر کردن از ترم هاي سخت شدگی هندسی به دست آورد. تفاوتهاي موجود در پاسخ دو مدل موجود به ویژه عبارت سرعت زاویهاي مته حفاري در هنگام محاسبه نیروها و گشتاور عکس العمل سازند بسیار تاثیرگذار است. این تفاوتها به ویژه در زمان شبیه سازي طولانیتر چسبش-لغزش خود نمایی بیشتري میکنند.
مدل سازي غیر خطی
در قسمت مدل سازي ابتدا روابط کرنش- جابجایی غیر خطی بیان میشود، سپس با استفاده از آنها عبارات انرژي جنبشی و کرنشی به علاوه عبارات کار خارجی وارد بر سیستم به دست میآید. با اعمال اصل تغییرات و استفاده از روش مود شکلهاي مفروض صورت نهایی دستگاه معادلات دیفرانسیلی حاصل میگردد.
روابط کرنش- جابجایی
رشته حفاري به صورت یک تیر عمودي با ضریب رعنایی بالا با سطح مقطع به صورت تو خالی با قطر خارجی و قطر داخلی با طول در حالی که هنوز تغییر شکلی نیافته فرض میشود. در هنگام جاسازي رشته داخل چاه حفاري جابجاییها و تغییر شکل-هایی در آن به وقوع میپیوندد. - شکل - 1در این مدل تنها جفت شدگی جابجاییهاي محوري- پیچشی لحاظ شده است. هر نقطه از رشته حفاري که در وضعیت مکانی اولیه قرار دارد تحت بردار میدان جابجایی به وضعیت ثانویه تغییر شکل یافتهاي منتقل میشود:
متغیرهاي مکانی، وبه گونه اي هستند که و میباشد. تانسور کرنش لاگرانژین به شرح زیر است]٩:[
در نتیجه اجزاي کرنش براي هر مقطع از رشته به شرح زیر است:
عبارات انرژي جنبشی و کرنشی و اعمال اصل تغییرات
با تعریف بردار به عنوان بردار سرعت براي هر مقطع از رشته، انرژي جنبشی سیستم برابر است با:
که در آن چگالی رشته فولادي و مساحت مقطع رشته است. انرژي کرنشی سیستم نیز از رابطه زیر حاصل میگردد.که در آنمدول الاستیک یانگ ومدول الاستیک برشی است.با جاگذاري عبارات کرنشها در رابطه - 5 - و صرف از نظر از توان-هاي بالاتر از سه در عبارت غیر خطی حاصله انرژي کرنشی میشود: - 6 -
که در آن معادل ممان اینرسی سطح میباشد. کار خارجی وارد بر سیستم نیز از سه عامل مختلف نیروي وزن محوري رشته ، اثرات میراسازي سیال بر حرکت رشته [8] و نیز گشتاور اصطکاکی وارده از طرف سازند بر مته تشکیل میشود که به ترتیب معادل هستند با:
که در رابطه - 7 - چگالی سیال حفاري است. لازم به ذکر است که در اینجا نیروي شناوري وارد بر رشته در محاسبه وزن ظاهري آن در نظر گرفته شده است. در همین رابطه کار ناشی از نیروي میرایی سیال به صورت ضرایب میرایی ریلی متناسب با جرم4 بابراي حرکت محوري وبراي حرکت پیچشی سیستم لحاظ شده است.در رابطه - 7 - نیز باید دقت شود که کار خارجی گشتاور اصطکاکی سازند صرفاً در محل مته یعنی بر سیستم اعمال میگردد.گشتاور روي مته نیز با رابطه - 8 - معادل سازي میشود: - 8 -
این رابطه توسط کروزر و کاست [10] معرفی شده است. ضریبی مربوط خواص برندگی مته و هم وزن روي مته میباشد.اصل همیلتون بیان میدارد که تغییرات مجموع کار و انرژي سیستم در زمان مجازي معادل صفر است. یعنی:
در رابطه - 9 - کار نیروهاي ناپایستار میباشد. با جایگذاري عبارات انرژي و کار خارجی در رابطه - 9 - و مرتب سازي ترمها بر حسب جابجایی هاي مجازي و معادله حرکت غیر خطی سیستم به شرح زیر به دست میآید:
در رابطه - 10 - کوپلینگ ارتعاشات پیچشی و محوري به خوبی مشهود است. در گام بعد، شرایط مرزي این دستگاه معادلات باید تعیین شود. بر اساس مکانیزم جاگذاري رشته در داخل چاه، به هنگام پایین آوردن رشته یک تغییر شکل استاتیکی اولیه محوري ثابت در آن به وجود میآید که این تغییر شکلِ مستقل از زمان را با عبارت میتوان محاسبه نمود. اما پس از جاگذاري رشته فرض میشود که دو انتهاي رشته در مکان خود ثابت میمانند. در حرکت پیچشی نیز فرض میشود که بخش بالایی آن با سرعت ثابت دوران کرده و بخش پایینی آن در محل مته میتواند آزادنه ارتعاش کند.
که در رابطه - 12 - ترمهاي و توابعی قابل پذیرش5هستند که شروط مرزي هندسی را ارضا کرده و در کل بازه به اندازه مرتبه - یعنی تعداد جملات مفروض براي هر مجهول - مشتق پذیرند. همچنین توابع و توابعی مجهول هستند که از حل دستگاه معادلات دیفرانسیلی معمولی به دست میآیند. در این پژوهش مقادیر توابع قابل پذیرش بدین صورت تخمین زده میشود:
که در آن ها مود شکلهاي طبیعی تیر دوسر گیردار در ارتعاشات محوري و ها مود شکلهاي طبیعی تیر یک سر گیردار-یک سر آزاد در ارتعاشات پیچشی هستند. این مود شکلها بر هم عمودند. در این شبیه سازي فقط از دو مود شکل اول براي هر دو نوع حرکت استفاده شده است.
شبیه سازي و نتایج
به جهت فهم هرچه بیشتر اثرات سخت شدگی هندسی و همچنین کوپل شدگی محوري- پیچشی تعدادي شبیه سازي و مقایسه بر روي هر دو مدل غیر خطی و خطی انجام شده است. طول رشته معادل، قطر خارجی آن ، قطر داخلی ، چگالی رشته، چگالی سیال، مدول یانگ معادل، مدول برشی برابر ، وزن روي مته،ضریب اصطکاك و ضرایب میرایی میباشند.رشته در معرض سرعت دورانی در بالاي خود توسط میزدوار قرار دارد. معادلات حرکت توسط کد نویسی عددي براي مسایل سخت به روش رانج-کوتا حل شدهاند. پاسخ این سیستم به صورت مجموعی از مودشکلهاي مختلف ارتعاشی طبیعی آن با احتساب ضرایب مناسب فرض میشود.همچنین به علت وجود نیروي اجباري محوري پیوسته در رشته به تعداد مود شکلهاي زیادي برا همگرا شدن جواب نیاز است که این باعث دشواري حل میشود. یک راه براي حل این مشکل معرفی یک مود شکل اجباري در پاسخ به صورت است.مودهاي مفروض عبارتند از:
در شکل - 2 - مشاهده میشود که جابجایی محوري نقطه اي از رشته در محل در مدل خطی تقریبا به صورت هارمونیک یک نواخت تغییر میکند، کاهش تدریجی دامنه موجود در این نمودار ناشی از حضور اثرات میرایی سیال حفاري میباشد. اما در
