مقاله حل دینامیک معکوس ربات استوارت - گاف باروش کار مجازی

بخشی از مقاله

*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***

حل ديناميک معکوس ربات استوارت -گاف باروش کار مجازي

چکيده
اين مقاله يک روش سيستماتيک را براي حل ديناميک معکوس ربات استوارت گاف با استفاده ازاصل کار مجازي و مفهوم ماتريس هاي ژاکوبين ارائه مي کند که توسط آن معادلات ديناميکي حرکت بدست مي آيند.در اين مقاله نشان داده مي شود که حل ديناميک يک ربات مي تواند به يک دستگاه ٦ معادله خطي با ٦ مجهول کاهش يابد. در پايان يک الگوريتم محاسباتي براي حل ديناميک معکوس ارائه و تعدادي مسير براي حرکت پلتفرم متحرک شبيه سازي شده است .
واژه هاي کليدي : ديناميک ،-ربات استوارت گاف ،-ربات موازي و کار مجازي
مقدمه
يک ربات موازي معمولا از يک پلتفرم (صفحه ) متحرک و يک پايه ثابت تشکيل شده که اين صفحه و پايه توسط چند بازو به هم متصل مي شوند. بدليل آرايش حلقه بسته اين ربات ها، تمام مفاصل به صورت مستقل قادر به حرکت نيستند . در حالت کلي تعداد مفاصل بکار گرفته شده با تعداد درجات آزادي ربات . برابر است .
با وجود اينکه سينماتيک ربات هاي موازي به طور وسيعي مورد مطالعه قرار گرفته شده ، مقاله هاي نسبتا کمتري در مورد ديناميک ربات هاي موازي مي توان يافت .ايجاد مدل ديناميکي براي يک ربات به چند دليل حائز اهميت مي باشد .اول اين که مدل ديناميکي براي شبيه سازي کامپيوتري ربات استفاده مي شود.بسياري از مصنوعات با استفاده از همين مدل ديناميکي و بدون نياز به سيستم واقعي آزمايش هاي خود را انجام مي دهند.دوم اين که مي توان از مدلي ديناميکي براي بوجود آوردن روش هاي کنترلي مناسب بهره برد و سوم اين که مدل ديناميکي ، تمامي نيروها وگشتاورهاي عکس العملي مفاصل ، که براي تعيين اندازه لينک ها و ياتاقان ها لازم مي باشند را بدست مي دهد.
تحليل ديناميکي ربات هاي موازي با وجود حلقه هاي زنجيره اي چند تايي (multiple closed-loop chains )کاري پيچيده محسوب مي شود . نگرش هاي متعددي نظير، ،معادلات نيوتون اويلر [٣-١]، معادلات لاگرانژ[٦-٤] و اصل کار مجازي [١٢-٧] براي حل ديناميکي اين نوع ربات ها پيشنهاد شده است . .يک مطالعه مقايسه اي از ديناميک معکوس ربات با هندسه حلقه بسته را مي توانيد در کار Linو Song [١٣] پيدا کنيد. دراين مقاله از اصل کار مجازي براي حل ديناميک معکوس ربات استوارت -گاف بهره گرفته شده است .
روش استفاده شده در اين مقاله نظير روش Zhang و Song [١٢] و همچنين Wang و Gosselin [١٤] مي باشد در اين مقاله به جاي استفاده از ماتريس هاي سرعت و سرعت زاويه اي پاره اي از ماتريس هاي ژاکوبين لينک ها بهره گرفته شده است .که در نهايت منجر به معادلات ديناميکي بسته تري نسبت به روش هاي ديگر مي شود .
در ادامه هندسه يک ربات استوارت -گاف را بيان مي کنيم . سپس سينماتيک معکوس و ماتريس ژاکوبين لينک ها محاسبه شده و معادلات ديناميکي حرکت فرموله مي شوند.در نهايت يک الگوريتم محاسباتي براي حل ديناميک معکوس ربات ارائه مي شود. اگر چه در اين مقاله از ربات استوارت -گاف استفاده شده است اما اين روش براي ساير ربات هاي موازي نيز قابل تعميم است .
سينماتيک
ربات استوارت -گاف نشان داده شده در شکل (١)داراي ٦ بازو با ک طول متغيير مي باشد. هر بازو از يک سيلندر و يک پيستون که بوسيله يک مفصل رفت و برگشتي (prismatic joint) به هم متصل شده اند، تشکيل مي شود. انتهاي هر بازو توسط يک مفصل کروي به پلتفرم (صفحه متحرک بالايي ) و توسط يک مفصل م يونيورسال به پايه ثابت پاييني متصل مي شود. هر مفصل رفت و م برگشتي توسط يک محرک هيدروليکي يا يک موتور DC حرکت م مي کند. ن دستگاه مختصات (A)x,y,z روي پايه ثابت و دستگاه ن مختصات (B)x,y,z را روي پلتفرم قرار داده مي شود . در ضمن آ يک دستگاه محلي مانند (C)xi,yi,zi را بر روي بازو قرار داده که مبداي آن بر روي نقطه Ai، محور Zi آن در راستاي نقاط Ai تا Bi ، محور Yi آن موازي با ضرب خارجي بردار يکه در راستاي Zi و Z و محور Xi آن از قانون دست راست بدست مي آيد . ب براي سهولت مبدا فريم B در مرکز جرم پلتفرم (نقطه P) قرار گرفته و .مکان پلتفرم با بردار مکان P و ماتريس دوران ARB مشخص مي شود.. ماتريس دوران متشکل از سه دوران φ حول محور X ثابت ، φحول محور Y ثابت و φ حول محور Z ثابت مي باشد که ب به صورت زير نشان داده مي شود :

سرعت زاويه اي پلتفرم عبارت است از

و شتاب زاويه اي آن

در ادامه مکان ، سرعت و شتاب بازوها ، بر اساس مکان ، سرعت و ج شتاب پلتفرم بدست مي آيد.

تحليل مکان
با توجه به شکل (١) معادله برداري براي هر بازو را مي توان به شکل زير نوشت

حل معادله (٤) براي si مي دهد :

از آنجا که هر بازو توسط يک مفصل يونيورسال به پايه متصل ي شود ، دوران آن به صورت مناسبي بوسيله دو زاويه اويلر بيان ي شود.همان طور که درشکل (٢) مشاهده مي شود مختصات حلي بازوي iام متشکل از يک دوران به اندازه φ حول Z
تيجه مي دهد (′Xi′Yi′Zi ) و يک دوران به اندازه θ حول ′Yi
تيجه مي دهد (Xi YiZi ).که ماتريس دوران بازوي iام در زير آمده است :

ا برابر قرار دادن ستون سوم ماتريس بالا با si داريم :

ا حل معادله (٨) براي θ و φداريم :

مختصه هاي i مي باشند.
معادلات (٥) و (٩) جهت و زواياي اويلر بازوي iام را بر اساس کان پلتفرم بيان ميکند.همان طورکه در شکل (٣) مشاهده مي نيد هر بازو از يک سيلندر(لينک ١) و يک پيستون (لينک ٢) شکيل شده است .که در آن e١ فاصله بين Ai و مرکز جرم سيلندر ام و e٢ فاصله بين Bi و مرکز جرم پيستون iام مي باشد.مراکز رم سيلندر و پيستون عبارت اند از:

حليل سرعت
رعت مرکز يک مفصل کروي Bi از مشتق سمت راست معادله ٤) بر حسب زمان بدست مي آيد:

انتقال Vbi به دستگاه متصل به بازوي iام نتيجه مي دهد

سرعت B همچنين ميتواند در ترمهاي سرعت زاويه اي بازوي iام بيان شود که براي اين منظور از سمت چپ معادله (٤) مشتق مي گيريم :

ضرب داخلي طرفين معادله (١٤) در s i مي دهد

از آنجايي که بازوي i حول محور طولي خودش نمي چرخد

ضرب خارجي طرفين معادله (١٤) در si مي دهد :

معادله (١٥) سرعت خطي پيستون را نسبت به سيلندر و معادله (١٦) سرعت زاويه اي بازوي iام را مشخص ميکند. سرعت هاي مراکز جرم سيلندر و پيستون با مشتق گيري از معادله (١٠) و (١١) بدست مي آيد :

تحليل شتاب (
شتاب نقطه Bi بوسيله مشتق گيري از معادله (١٢) بدست مي آيد:

بيان Vbi در فريم بازوي iام مي دهد : (٢٠) bi%ُّi Vbi=iRAV
تاب نقطه Bi همچنين مي تواند در ترم هاي شتاب زاويه اي ازوي iام ،توسط مشتق گيري از معادله (١٤) بدست آيد :

رب داخلي طرفين معادله (٢١) در isi مي دهد :

ز آنجايي که بازوها حول محور خودشان دوران ندارند رب خارجي طرفين معادله ميدهد :

معادله (٢٢) شتاب خطي پيستون را نسبت به سيلندر و معادله
٢٣) شتاب زاويه اي بازوي iام را بيان مي کند. شتاب مراکز جرم يلندر و پيستون بوسيله مشتق گيري از معادلات (١٧) و (١٨)
دست مي آيد :

اتريس ژاکوبين لينک
رحله اصلي در فرموله کردن معادلات حرکت ، بدست آوردن اتريس ژاکوبين ربات و لينک ها مي باشد.فرم ماتريسي معادله
١٢) مي شود :

که X%p يک بردار ٦ عضوي شامل سرعت هاي خطي و زاويه ي پلتفرم مي باشد.و Jbi يک ماتريس به شکل زير است :

بر مبناي تقارن و سيستم مختصات انتخاب شده ،ماتريس هاي اينرسي پلتفرم و ماتريس هاي ٦ بازو قطري مي باشند.
معادلات حرکت
اصل کار مجازي به صورت زير قابل بيان است

در معادله (٤٣) نيروهاُّي و همچنين تغييرمکان هاي مجازي آنها ، ٢در مختصات بازو بيان مي شتغونيدير.مکان هاي مجازي در معادله (٤٣) بايستي با قيدهاي سينماتيکي اعمال شده توسط مفصل ها مطابقت داشته باشد.
بنابراين لازم است که تغيير مکان هاي مجازي بالا را به مجموعه اي از تغيير مکان هاي مجازي تعميم يافته نسبت دهيم .براي ربات استوارت -گاف داريم :

با قرار دادن معادله (٤٤) ،(٤٥) و (٤٦) در (٤٣) داريم :

از آنجاييکه معادله (٤٧) براي هر Xp قابل قبول است.

معادله (٤٨) بيان کننده ديناميک ربات استوارت -گاف مي باشد .توجه کنيد که در معادله (٤٨) نيروها-گشتاورها در مرکز جرم هر لينک نوشته مي شوند. بنابراين اگر يک نيرو-گشتاور خارجي در نقطه اي غير از مرکز جرم اعمال شود بايستي آن نيرو-گشتاور را در مرکز جرم محاسبه کرده و سپس وارد معادلات حرکت شود. ش با قرار دادن معادلات (٣٨) و (٣٩) در معادله (٤٨) و ساده سازي آنها خواهيم داشت