بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله به بررسی دینامیک معکوس ربات استوارت در کلیترین حالت طراحی با استفاده از روش نیوتن-اویلر میپردازیم. با توجه به اینکه محاسبات کمتری در روش نیوتن-اویلر وجود دارد در نتیجه این روش برای دینامیک معکوس بسیار کارآمدتر است. با استفاده از این روش میتوان به یک دستگاه معادله خطی، دست یافت. در ادامه پس از شبیهسازی مسیر حرکت ربات با حل این دستگاه معادلات نیروهای لازم برای هر موتور محاسبه میشود. در انتها برنامهای اجرایی برای یک مسیر خاص تدوین شده است. نتایج شبیهسازی ارائه شده در این بخش طبیعت تغییرات نیروهای محرک در پلتفرم استوارت را نشان میدهد.
واژه های کلیدی:ربات استوارت- دینامیک معکوس- روش نیوتن اویلر
مقدمه
با گسترش روز افزون استفاده از رباتها در کاربردهای مختلف، نیاز به مکانیزمهایی که محدودیتهای رباتهای سری را نداشته و ویژگیهای خاصی نظیر دقت بالا، شتاب زیاد و قابلیت حمل بار زیاد را داشته باشند، بیش از پیش حس میشود. به همین دلیل در دهه-های اخیر استفاده از رباتهای صنعتی با زنجیرههای سینماتیکی بسته یا همان رباتهای موازی در فرایندهای تولید، رشد قابل توجهی کرده است. رباتهای موازی از تعدادی زنجیرهی سینماتیکی بسته تشکیل شدهاند که در واقع صفحه متحرک ربات را به پایه متصل میکنند.در مقایسه با ربات های سری با زنجیرهی سینماتیکی باز، مدلسازی دینامیکی ربات های موازی به دلیل ساختار زنجیرهی سینماتیکی بسته و قیود سینماتیک دارای پیچیدگیهای ذاتی می-باشند.
با این وجود مدلسازی دینامیکی این رباتها به منظور کنترل، بسیار حائز اهمیتاست. خصوصاً به دلیل دقت موقعیتدهی بالا و عملکرد دینامیکی مناسب رباتهای موازی، مدلسازی دینامیکی آنها از ضروریات اساسی است. در سالهای گذشته تحقیقات بسیار زیادی در زمینه مدلسازی دینامیکی رباتهای موازی صورت گرفته است. یکی از محبوبترین رباتهای موازی که معمولا به عنوان شبیهساز پرواز با شش درجه آزادی مورد استفاده قرار میگیرد، مکانیزم استوارت است .[1]فیچر 1 با افزودن نیروهای دینامیکی و گرانش توانست مدل دینامیک معکوس این ربات را بدون در نظر گرفتن جرم لینکها و اصطکاک مفصلها ارائه دهد .[ 2] مرلت2 دیگر ابعاد طراحی پلتفرم استوارت را در نظر گرفت .[3] او همچنین نمونهی آزمایش ربات استوارت را ساخت و تحلیلهایی در زمینهی ژاکوبین، حل سینماتیک و معادلات دینامیک در حالت کلیتری نسبت به فیچر انجام داد.
دو3 و یانگ4 دینامیک معکوس را با استفاده از روش نیوتن-اویلر با فرض ناچیز بودن اصطکاک مفصلها و لینکها و ممان اینرسی جرمی ناچیز حل کردند .[ 4] ژنگ5 و همکارانش معادلات دینامیکی حرکت ربات استوارت را با استفاده از روش لاگرانژ گسترش دادند .[5] لیو6 و همکارانش نیز به گسترش سیستم دینامیکی و بیان معادلات برای کنترل با استفاده از انتقال معادلات به فضای مفاصل پرداختند .[6] گوسلین 7 نیز از روش نیوتن-اویلر برای دینامیک معکوس استفاده کرد و به این موضوع اشاره کرد که محاسبات موازی به راحتی برای این مسئله به علت ماهیت ساختار موازی ربات قابل استفاده است .[7] مقالات و مطالعاتی که بر روی سینماتیک پلتفرم استوارت انجام شده است، در مقایسه با دینامیک آننسبتاً بسیار اندک است. از مقالات آشکار است که پژوهش در زمینه دینامیک و کنترل پلتفرم استوارت هنوز به طور کامل انجام نشده است. اگر چه فرمول دینامیکی از کنترل انجام شده است اما نتایج در مورد رفتار دینامیکی آن بسیار کم هستند.
معرفی ربات استوارت
مطابق شکل 1 مکانیزم استوارت از یک پایه، یک عملگر نهایی و بازوهای رابط تشکیل شده است. نحوی قرارگیری بازوهای رابط به گونهای است که تشکیل حلقههای بسته سینماتیکی میدهند. ربات استوارت، مکانیزمی با شش درجه آزادی است که دو پلتفرم آن با شش لینک محرک کشویی توسط مفاصل کروی به یکدیگر متصل شدهاند. این ساختار، گسترش یافتهی ربات پیشنهاد شده توسط استوارت در سال 1965 است. در نهایت دو ساختار 6-SPS و 6-UPS برای این ربات در نظرگرفته شد. براساس این ساختار نیاز نیست که تمام مفاصل را جداگانه به حرکت واداشت. لذا میتوان مفاصل را به دو دستهی مفاصل فعال و غیر فعال تقسیمبندی نمود.
دینامیک
دینامیک مستقیم و معکوس رباتها دو مسئله اساسی در حرکت رباتها به شمار میآیند. در رباتهای سری حل دینامیک مستقیم آسان و دینامیک معکوس مشکل میباشد. در صورتی که در ربات-های موازی دینامیک مستقیم مشکلتر از دینامیک معکوس میباشد. دلیل این امر آن است که در رباتهای موازی حل معادلات دینامیک مستقیموابسته به معادلات سینماتیک مستقیم ربات بوده که عموماً پاسخ تحلیلی ندارد و دارای چندین جواب میباشند.معادلات اویلر-لاگرانژ و نیوتن-اویلر به طور گسترده برای تحلیل معادلات دینامیک رباتهای موازی استفاده میشوند. در روش لاگرانژ توصیف فیزیکی ربات با لاگرانژین که ترکیبی از انرژی جنبشی و پتانسیل است، نوشته میشود. سپس با مشتقگیری از لاگرانژین برحسب مختصههای عمومی، معادلات دینامیکی حرکت ربات بدست میآیند. در صورتی که در روش نیوتن-اویلر برخلاف روش لاگرانژ پس از یافتن سرعتها و شتابهای خطی و زاویهای ربات مستقیماً و بدون مشتقگیری میتوان با استفاده از معادلات نیوتن-اویلر معادلات دینامیک را بدست آورد . به عبارت دیگر محاسبات کمتری در روش نیوتن -اویلر وجود دارد. در نتیجه روش نیوتن- اویلر از نظر عددی بسیار کارآمدتر برای دینامیک معکوس و روش اویلر-لاگرانژ مناسب-تر برای یافتن فرم بستهی معادلات دینامیک مستقیم ربات میباشند.
دینامیک معکوس
در دینامیک معکوس هدف یافتن نیروی محرکهای کشویی با معلوم بودن مسیر مجری نهایی8 میباشد. با توجه به اینکه در دینامیک معکوس مسیر مجری نهایی معلوم است، پس معادلات دینامیک را در فضای کاری بیان میکنیم. موقعیت نقاط پلتفرم ثابت و متحرک، جرم و اینرسی پلتفرم متحرک و لینکها کاملاً دلخواه و وابسته به طراحی ربات است. در بررسی معادلات دینامیک لینک ها صلب فرض شدهاند.در این مقاله مفاصل متصل به پلتفرم پایینی و بالایی کروی9 میباشد. لذا لینک میتواند حول محورش نیز دوران محوری داشته باشد، که تاثیر آن در دینامیک ربات موجب عدم کنترل درجه آزادی غیرفعال لینک میشود.
سینماتیک و دینامیک یک لینک
در این بخش به بررسی سینماتیک و دینامیک یک لینک میپردازیم. سپس توزیع نیروی وارد شده از هر لینک به پلتفرم بدست میآید. بدین منظور اولین گام، تعیین موقعیت، سرعت و شتاب نقاط اتصال هر یک از لینکها به پلتفرم متحرک برحسب مختصات فضای کاری ربات است. هریک از لینکها را به صورت مجزا از ربات در نظر می-گیریم.
سینماتیک یک لینک
دستگاه مختصات ثابت10 متصل به پلتفرم پایینی و دستگاه مختصات متحرک11 متصل به پلتفرم بالایی را در نظر میگیریم. لینک ربات که در شکل 2 نشان داده شده است، شامل دو قسمت میباشد که یکی متصل به پلتفرم پایینی و دیگری متصل به پلتفرم متحرک است.لازم به ذکر است که به منظور سهولت در فهرست علائم نمادهای مورد استفاده شده در معادله دینامیک آورده شده اند. نقطهی اتصال پلتفرم به لینک Si نسبت به دستگاه ثابت برابر است با:
که در آنsi مکان مفاصل کروی پلتفرم بالا در دستگاه محلی است.همانطور که در شکل 2 نشان داده شده است، بردار لینک Li ازتفاضل بردارهای موقعیت نقطهی رأس پلتفرم متحرک و موقعیت نقطهی رأس پلتفرم ثابت بدست میآید:
Li Si Si - 2 - معادلهی 2 در واقع معادلهی سینماتیک ربات استوارت میباشد. طولبردار لینک برابر است با:
در نتیجه بردار یکه راستای لینک به صورت زیر است:
مشتق زمانی بردار لینک برحسب سرعت صفحهی متحرک برابر است با:
سرعت لغزشی بین دو قسمت لینک نیز از ضرب داخلی بردار سرعت لینک و بردار یکهی لینک بدست میآید.l L.n - 7 - مولفهای از بردار سرعت لینک که عمود بر لینک، مرتبط با سرعتزاویهای لینک میباشد، به صورت زیر بدست میآید.با توجه به اینکه لینک نمیتواند دورانی حول محور خودش داشته باشد، با ضرب خارجی معادلهی 8 در n میتوان سرعت زاویهای لینک را به صورت زیر بدست آورد:
همچنین میتوان بردار سرعت لینک را بر حسب سرعت زاویهای لینک به صورت زیر نوشت:
بردار شتاب لینک را میتوان با مشتقگیری زمانی از معادلهی 5بدست آورد.همچنین میتوان بردار شتاب لینک را بر حسب شتاب لغزشی مفصل پریسماتیک l و شتاب زاویهای لینک یافت که برابر است با:
همانطور که گفته شد، با توجه به اینکه لینک هیچ دورانی حولمحور خودش ندارد، با سادهسازی معادلهی 13 خواهیم داشت:
اکنون با در نظر گرفتن مولفهی شتاب در امتداد لینک توسط ضرب داخلی آن با n ، بردار شتاب لغزشی بین دو قسمت لینک بدست خواهد آمد.
با ضرب خارجی معادلهی 14 در n داریم:
با توجه به روابط فوق سرعت و شتاب هر لینک مشخص گردید. پارامترهای سینماتیکی و دینامیکی لینک به ناچار باید به یک دستگاه ثابت موازی با دستگاه ثابت جهانی انتقال یابند. دستگاه مختصات محلی متصل به قسمت پایینی/ بالایی لینک که مبدا مختصات آن در مفاصل کروی است، در نظر میگیریم. همانطور که در شکل 2 نشان داده شده است، محور x آن در راستای لینک می-باشد. محور y و محور z بر روی صفحهای است که عمود بر محور x میباشد. انتقال از دستگاه متحرک محلی لینک پایینی/ بالایی به دستگاه ثابت محلی لینک با ماتریس انتقال T انجام میگیرد. با فرض اینکه مرکز جرم قسمت پایینی و بالایی لینک در راستای لینک میباشد، میتوان نوشت:
که در آن r1 و r2 فاصلهی مرکز جرم تا مفاصل کروی هستند. اکنون میتوان شتاب مرکز جرم قسمت پایینی و بالایی لینک را بدست آورد.
معادلات دینامیک یک لینک
معادلات حرکت برای یک لینک منجر به 6 معادله میشود. همانطور که در شکل 3 دیاگرام آزاد لینک نشان داده شده است، Fs نیروی مفصل کروی میباشد که با تجزیهی آن نیروی مفصل کروی در راستای لینک Fsa و نیروی مفصل کروی در راستای عمود بر لینک Fsn میباشد.
معادلهی اویلر برای جسم صلب به صورت زیر میباشد :
با توجه به دیاگرام آزاد و نوشتن معادلات تعادل اویلر حول مفصل کروی داریم:
که در آن G بردار شتاب گرانش است. با نوشتن فرم فشردهی معادلهی 23 خواهیم داشت:
