بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
کنترل ربات پاندول معکوس دوچرخ با استفاده از مد لغزشي آبشاري
چکيده – مدل ديناميکي پيچيده و ذاتاً ناپايدار ربات پاندول معکوس دو چرخ ، کنترل اين وسيله را مشکل ساخته است . در اين مقاله ابتدا مدل غيرخطي ربات پاندول معکوس استخراج شده است و سپس از رويکرد تحليلي مد لغزشي که يک روش کنترلي مقاوم است ، جهت پايدارسازي زاويه ي حفظ تعادل بر روي يک سطح شيب دار استفاده شده است . سطح لغزش مورد استفاده در روش پيشنهادي به صورت آبشاري و بر پايه ي کنترل ساختار متغير انتخاب گرديده است . در اين روش سيستم به دو زير سيستم تقسيم و سه سطح لغزش درنظر گرفته شده است . سطح لغزش اول شامل متغيرهاي حالت زير سيستم اول ، سطح لغزش دوم شامل سطح لغزش اول و يکي از متغيرهاي حالت زير سيستم دوم و سطح لغزش آخر شامل سطح لغزش دوم و متغير حالت باقيمانده مي باشد. کنترل کننده ي نهايي بر اساس قضيه لياپانوف طراحي شده و پايداري مجانبي سيستم را تضمين مي کند. در انتها با در نظرگرفتن اغتشاشات وارد بر سيستم عملکرد مناسب کنترل کننده ي ارائه شده با استفاده از شبيه سازي کامپيوتري نشان داده شده است .
کليد واژه پايداري لياپانوف، ربات پاندول معکوس دوچرخ ، کنترل غيرخطي ، مد لغزشي آبشاري.
١- مقدمه
ربات پاندول معکوس دوچرخ به دليـل معـادلات دينـاميکي زيرفعالِ غيرخطي و پيچيده به يکي از مسائل محبـوب در دنيـاي کنترل تبديل شده و در سالهاي اخير توجه بسياري از محققـين را به خود جلب کرده است . اين وسيله که از ترکيـب يـک ربـات سيار و پاندول معکوس ساخته شده يک وسيله ورزشي محسـوب مي شود[١] و علاوه بر آن در صنايع و براي اهدافي چون حمـل و گيـرد[٢].
نقل انسان، بار و ... مورد استفاده قـرار مـي ناپايـداريِ ذاتي اين ربات موجب شده که از ديدگاههاي متفـاوتي بـه حفـظ تعادل اين وسيله پرداخته شـود. کنتـرل کننـدههـايي کـه بـراي پايداري اين ربات دوچرخ طراحي شده را مي توان به دو دسـته ي کنترلکنندههاي خطي و کنترل کنند هاي غيرخطي تقسيم کرد.
در [٣] پس از بدست اوردن يک مدل رياضـي از يـک ربـات دوچرخ يک کنترل کنند ي خطي PID براي کنترل ايـن وسـيله طراحي کردهاند. در سال ٢٠٠٦ با ترکيب کنترل کنندهي PID با شبکه عصبي يک کنتـرل کننـدهي خطـي هوشـمند اسـتفاده و 1 کنترل کننده ي طراحي شده بصورت آزمايشگاهي مورد بررسـي قرار گرفت [٤]. در [٥], [٦] از روش خطي سـازي فيـدبکي بـراي کنترل سرعت و حفظ تعادل ربات دو چرخ اسـتفاده شـده اسـت .
در مقاله ي [٦] براي بهينه سازي بهرههاي کنترلي از روش LQR استفاده شده است . هرچند در اين مقالات عمل کنترل به خـوبي انجام شده اما کنتـرلکننـدههـاي خطـي داراي محـدوديت هـاي فراواني بوده و روش مقاومي به حساب نمي آيند.
کنترل کنندههاي غيرخطي طراحي شده براي کنتـرل زاويـه حفـظ تعـادل ربـات پانـدول معکـوس دو چـرخ بـه دو دسـته ي هوشمند و کلاسيک تقسيم مي شوند. کنترلکنندههاي هوشـمند عموماً از روشهاي غيرتحليلي براي کنترل زاويه ي تعادل استفاده مي کنند[٧-١٠]. از آنجايي که در اين مقاله رويکردهـاي تحليلـي مدنظر بوده از بررسي آنها صرف نظر مـي کنـيم . در [١١], [١٢] از يک کنترل کنند ي غيرخطي تطبيقي جهت قرار دادن زاويه ي حفظ تعادل روي يک مقدار از پيش تعيـين شـده اسـتفاده شـده است و نشان داده شده که کنترلکنندهي طراحي شـده در برابـر اغتشاشات خارجي و عدم قطعيت ها مقاوم است . در [١٣], [١٤]
از کنترل کنند ي غير خطي پسـگام تطبيقـي بـراي کنتـرل ايـن وسيله ي دوچرخ استفاده شده و در [١٥] با اشاره به اين موضوع که کنترل کنند ي پسگام را نمي تـوان بـه تنهـايي بـر روي يـک پاندول معکوس اعمال کرد، از يک رويتگـر سـرعت بـراي بهبـود عملکرد کنترل کنند ي پسگام تطبيقي استفاده شده است . عـلاوه بر اين ها مقالات زيادي از انـواع مدلغزشـي بـراي کنتـرل ربـات دوچرخ استفاده کرد اند[٢٠-١٦]. در [١٧] از مدلغزشي مرتبه بالا اســتفاده شــده اســت . در مقالــه مــذکور روش کنترلــي پــس از خطي سازي مدل غيرخطي ، بر رويربات اعمال شده که اين امـر موجب کاهش دقت و افزايش عدم قطعيت هـاي وارد بـر سيسـتم مي شود. در [١٨] با طراحي يک رويتگر اغتشاش غيرخطـي پـس از تخمين اغتشاشات وارد بر سيستم از کنتـرل مدلغزشـي بـراي کنترل زاويه حفظ تعادل استفاده شده است . رويتگر اغتشاش يک سيستم مکانيکي بوده و موجب افزايش متغيرهاي حالت و مرتبـه سيستم و در نتيجـه ي آن افـزايش پيچيـدگي و کـاهش قابليـت اطمينان مي شود.
در اين مقاله با استفاده از روش مدلغزشي و استفاده از مـدل مرجع و غيرخطي ربات، کنترلکنندهاي مقاوم طراحـي مـ شـود که بخوبي مي تواند تعادل ربات پاندول معکوس را حفظ کنـد. در طراحي مدلغزشي سطوح لغزش بصورت آبشاري و در سه مرحلـه انتخاب شدهاند. يکي از ويژگي هاي مهم کنترل کنند ي ارائه شده در ايــن ســاختار، ســادگي و عملکــرد بــالاي آن اســت . نتــايج شبيه سازي کامپيوتري انجام شده در اين مقاله عملکرد مطلوب و مقاوم کنترلکنندهي پيشنهادي را نشان مي دهد.
٢- مدل ديناميکي
براي بدست آوردن مدل رياضي پاندول معکـوس چـرخدار از روشهاي مختلفي استفاده شده است . در اين مقالـه از مـدل بـه دست آمده از روش لاگرانژ استفاده مـي شـود. شـکل ١ نمـايي از ربات پاندول معکوس را نشان مي دهـد کـه در راسـتاي x و بـر روي سطح شيب داري با زاويه ي شيب ... درحال حرکت است .
در اين شـکل l فاصـله بـين مرکـز جـرم (COG) و مرکـز چرخ هـا، r شـعاع چـرخ، زاويـه حفـظ تعـادل پانـدول، اصطکاک بين چرخها و زمين ، گشـتاور اغتشـاش وارد بـر دو چرخ و u ورودي کنترلي و نيروي گشتاور اعمـالي بـه چـرخهـا جهت حرکت ربات مي باشد. لازم به ذکر است که علاوه بر اين هـا ربات با زاويه تغيير مسير مي دهد و از آنجايي که هدف از اين مقاله حفظ تعادل ربات پاندول معکوس است ، اين زاويـه ناديـده گرفته شده است . معادلات رياضي حاکم بر سيستم با اسـتفاده از روش لاگرانژ به صورت معادله (١) و (٢) قابل استخراج است .
که در آن:
و جرم چرخ ها، جرم پاندول معکـوس، اينرسـي چرخشي چرخ ها، اينرسـي چرخشـي پانـدول معکـوس و g نيروي گرانش است .
با حل معادله (١) و (٢) معادلات حاکم بـر سيسـتم پانـدول معکوس دوچرخ را مي توان به فرم متعارف معادله (٣) نوشت :
در معادلــه فــوق متغيرهاي حالـت و توابع غيرخطي هستند که بـه راحتـي از معادلـه (١) و (٢) قابـل استخراج هستند.
٣- طراحي کنترل کننده
در اين مقاله براي کنترل زاويه حفـظ تعـادل ربـات از روش مدلغزشي استفاده شده اسـت . در حالـت کلـي کنتـرل کننـدهي مدلغزشي در دو مرحله طراحي مـي شـود. مرحلـه ي اول انتخـاب سطح لغزش به گونه اي است که با قرار گرفتن متغير بـر روي آن پايداري تضمين شود و مرحله دوم طراحي کنترل کننده بنحـوي که تضمين کند، متغير حالت روي سطح يا سـطوح لغـزش قـرار مي گيرد. نحو ي انتخاب سطح لغـزش نـوع مدلغزشـي را تعيـين مي کند. در اين مقاله براي تعيين سـطح لغـزش مناسـب از روش آبشاري اسـتفاده شـده اسـت . بـا در نظـر گـرفتن معادلـه ي (٣)،
ماننـد متغيرهـاي متغيرهاي حالـت حالت دو سيستم که بـه طـور جداگانـه در فـرم کانونيکـال قـرار دارند، رفتار مي کننـد. بنـابراين بـا در نظـر گـرفتن ايـن دو زيـر سيستم مي توان ابتدا سطح لغزش اوليه را به گونه اي انتخاب کرد که زير سيستم اول پايدار شود سـپس سـطوح بعـدي بگونـه اي انتخاب شود که که با حفظ پايـداري سـطوح قبـل پايـداري کـل سيستم را ممکن سازد. به اين ترتيب سطح لغزش اول با در نظر گرفتن متغيرهاي زير سيستم اول به شکل زير انتخاب مي شود:
سطح لغزش دوم شامل سطح لغزش اول و يکي از متغيرهاي زير سيستم دوم مي باشد (معادل (٥) را ببينيد).
به همين ترتيب سطح لغزش سوم شامل سطح لغزش دوم و متغير حالت چهارم است (معادل (٦)).
با توجه به سطح لغزش اول و دوم، سطح لغزش سوم تمـامي متغيرهاي حالت را شامل مي شـود در نتيجـه نيـازي بـه انتخـاب سطح لغزش ديگري نيست . در معـادلات (٤) – (٦) ضـرايب ١ k، k٢ و k٣ ضرايب مثبت و ثابتي هسـتند. بـراي سـطوح لغـزش فوق مي توان توابع لياپانوف را به صورت زير تعريف کرد:
طبق قضيه لياپانوف اگر مشتق توابـع لياپـانوف فـوق منفـي شود، سيستم پايدار و متغيرهاي حالت روي سـطوح لغـزش قـرار مي گيرند. بنابراين کنترل کنندهها بايد بگون اي طراحي شوند کـه اين مهم فراهم آيد. براي يک سيستم ربـات زيـر فعـال بـا تعـداد محرکهاي کم طراحـي چنـدين قـانون کنترلـي ممکـن نيسـت بنابراين قانون کنترلي کلي بايد بگونـه اي طراحـي شـود کـه هـر کدام از زيرسيستم ها و سطوح پايداري خود را حفـظ کننـد[٢١].
بدين منظور قـانون کنترلـي کلـي ، بصـورت معادلـه (٨) در نظـر گرفته شد.
که با توجه به آن مشتق تابع لياپانوف به صورت زير مي شود.
حال مي توان ورودي کنترلي را بصورت معادله ي (١٠) و (١١) در نظر گرفت :
و
کـه بـا جايگـذاري معـادلات (١١) و (١٠) در (٩) ، معادلـه (١٢) به دست مي آيد:
با توجه به معادله (١٢) و قضيه ي لياپانوف مـ تـوان نتيجـه گرفت که است . همگرا شدن به اين معناست کــه متغيرهــاي مختلــف آن نيــز برابــر صــفر اســت . بنــابراين خواهد شد. به اين ترتيب کنترل کننـدهي مـد لغزشي موجب همگرايي دو سطح لغزش مي شود. به طـور مشـابه همگرا شدن باعث صفر شدن مي شود. بنابر ايـن قانون کنترلي کلي موجـب همگرايـي بـه تمـامي سـطوح لغـزش مي شود. در نتيجه سطوح لغزش انتخاب شـده پايـداري مجـانبي کل سيستم را تضمين مي کند.
٤- شبيه سازي
به منظور بررسي کنتـرلکننـدهي طراحـي شـده، نتـايج بـه دسـت آمـده در محـيط سـيمولينک Matlab شـبيه سـازي شـد.
جدول ١ مقدار نامي پارامترهاي مختلف ربـات پانـدول معکـوس دوچرخ را که در شبيه سازي انجام شده مورد استفاده قرار گرفتـه است ، نشان مي دهد.
همچنين براي بررسي مقاوم بودن کنترلکننـده نسـبت بـه اغتشاشـات خـارجي ، اصـطکاک وارد بـر سـطح و گشـتاور اغتشاش وارد برچرخ مطابق مقاله [٢٠] به صورت ترکيبـي از اصطکاک متغير و اصطکاک کولني در نظر گرفته شـد (معادلـه (١٣) و (١٤) را ببينيد).
