بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله، یک سیستم دینامیکی شامل مشتق کسري ر یمان لیوویل را معرفی و جوابهاي تقریبی این سیستم را با استفاده از روش عددي گراند-وال تقریب می زنیم. پایداري این سیستم را نیز مورد بررسی قرار می دهیم و در پایان، کارایی روش ارائه شده را به کمک حل عددی بررسی می کنیم.
واژه های کلیدی: مشتق کسری ر یمان لیوویل ، پایداري، سیستم دینامیکی لورنز
١مقدمه
سیستم هاي دینامیکی کار برد فراوانی در رشته های مهندسی و علوم پایه دارد که یکی از کار بردهای این مسئله را در زمینه هوافضا و مکانیک می توان بیان کرد - ]١[، ]٢. - [ در این بخش برخی از مفاهیم و تعار یفی که در بخش های بعدی مورده استفاده قرار می گیرد را بیان می کنیم. مشتق کسري ر یمان لیوویل براي - t - به صورت زیر بیان می شود:
و همچنین می توان مشتق کسري ر یمان لیوویل را با استفاده از تفاضلات پسرو و پیشرو به صورت رابطه - ٢ - و - ٣ - بیان کرد که این روابط منجر به تعریف مشتق کسري گراند-والد ١ می شود. مشتق کسري چپ و راست گراند-والد براي x - t - بهترتیب به صورت زیر بیان می شوند - ]٣[، ]۴: - [
٢ سیستم دینامیکی لورنز ٢
در این بخش، نمونه اي از سیستم هاي دینامیکی متناهی البعد مطرح می شود، بیشتر این سیستم ها پر آوازه بوده و به عنوان ستارگان سیستم هاي دینامیکی نامیده می شود که یکی از این سیستم ها، سیستم دینامیکی لورنز می باشد و این سیستم یکی از نمونه هاي آشوب است و سیستم لورنز براي مدل کردن حرکت دینامیکی یک سیال جوي استفاده شده است و معادلات دینامیکی این سیستم به صورت زیر نوشته می شود:
که در این سیستم ٢٨ ; c = ٣٨ b = ;١٠ a = در نظر گرفته شده است. حال ا گر روابط - ۴ - و - ۵ - را در دستگاه معادلات - ۶ - جایگذاري کنیم به یک دستگاه معادلات غیر خطی می رسیم که به ازاء مقادیر مختلف مجموعه جوابها در شکلهاي ١ رسم شده است. در شکل ١ مدار - x - t - ; y - t - ; z - t - - را ملاحظه می کنید که به طور عددي با استفاده از روش تقریبی گراند-والد محاسبه شده اند که این مدارها داراي رفتار آشوبناك هستند به این معنی که در آن ها حساسیت نسبت به شرط اولیه مشاهده می شود همچنین این مجموعه به عنوان فرکتالی از بعدي به طور ا کید بین ١و٢ اندازه گیري شده است. ا گر محدوده را خارج از بازه مورد نظر انتخاب کنیم یعنی ١ > در این صورت سیستم دینامیکی مورد بحث در این مقاله ناپایدار است که مجموعه جوابهاي این سیستم در حالت ناپایداري در شکل ٢ نشان داده شده است.
٣ پایداري سیستم دینامیکی
در این بخش با بیان قضایاي پایداري یک سیستم دینامیکی شامل مشتق کسري ر یمان لیوویل را بیان می کنیم. این قضایا کار برد مهمی در در پایداراي و ناپایداري یک سیستم را دارد به عبارت دیگر شرایطی را روي یک سیستم در نظر می گیرد که با استفاده از این شرایط یک سیستم پایدار یا به طور مجانبی پایدار می شود از طرفی یکی از کار بردهاي قضیه نگاشت انقباضی باناخ را در روند اثبات این قضایا استفاده می کنیم.در این بخش ما معادله دیفرانسیل سیستم کسري زیر را در نظر می گیریم:
با شرایط اولیه ٢ ;١ k = ;١ aDt kx - t - = xk که x 2 Rn_n و A یک ماتریس غیر صفر می باشد.قضیه ٣ .١. سیستم دینامیکی - ٧ - با شرایط اولیه، به طور مجانبی پایدار است ا گر و تنها ا گر ٢ jarg - spec - A - - j > و همچنین این سیستم پایدار است ا گر و تنها به طور مجانبی پایدار باشد و مقادیر ویژه ماتریس A در ٢ jarg - spec - A - - j = صدق کند.حال سیستم دینامیکی - ٧ - را به صورت زیر در نظر بگیرید:
که x 2 Rn_n و A یک ماتریس غیر صفر و تابع f - t; x - t - - یک تابع پیوسته و ٠ = - ٠ f - t; می باشد.قضیه ٣.٢. فرض کنید ماتریس A به گونه اي باشد به طوري که ٠ j spec - A - j̸= و ٢ j arg - spec - A - - j_ و مقادیر ویژه ماتریس A در ٢ j arg - spec - A - - j= صدق کند. در این صورت ا گر تابع مثبت g - t - اي وجود داشته باشدبه طوري که:
