بخشی از مقاله
چکیده
در سالهای اخیر معادلات انتگرال به دلیل کاربرد فراوان در حل مسائل مهندسی، حجم وسیعی از مطالعات را به خود اختصاص دادهاند. به دلیل دشواری بدست آوردن جواب تحلیلی برای برخی از معادلات انتگرال، از روشهای عددی برای حل آنها استفاده میگردد، از این رو حل دقیق عددی معادلات انتگرال فردهلم از اهمیت بسزایی در حوزه فنی مهندسی برخوردار است.در پژوهش حاضر معادلات انتگرال فردهلم نوع دوم خطی با هسته تبهگن به کمک چندجملهایهای برنشتاین حل شدهاند. همچنین به منظور تعیین می زان همگرایی معادلات انتگرال فردهلم، از حل روشهای مختلف عددی و مقایسه آنها باهم استفاده شده و در ادامه مقاله از روش حداقل مربعات و روش CM برای کنترل دقیق استفاده گردیده است.
بررسیها نشان میدهد در بین روشهای مطرح شده روش کمترین مربعات مبتنی بر چندجملهایهای درجه n نسبت به سایر روشها از خطای محاسباتی کمتری برخوردار است. [2],[1] برای تعیین قابلیت اطمینان و بهرهوری این روشها از چندین مثالعددی نیز استفاده کردهایم. نتایج نشان میدهد تنها تعداد اندکی از چندجملهایهای چندمقیاسه برنشتاین برای دست یافتن به همگرایی و جواب مطلوب موردنیاز خواهند بود.[3] لازم به ذکر است حل تقریبی یک معادله انتگرال معین به صورتچندجملهای، ضرایب مجهولی را نیز به دنبال دارد که در نهایت با استفاده از یکی از روشها - روش حداقل مربعات - تعیین میشوند.[4]
واژه های کلیدی:معادلات انتگرال، چندجملهای برنشتاین، روشهای حل عددی، همگرایی روشها
-1 مقدمه
معادلات انتگرال فردهلم اخیرا توجه ویژهای را به خود جلب نمودهاند. این معادلات کاربرد وسیعی در کلیه علوم و بویژه مهندسی عمران شامل مسایل بتن، تئوری الاستیسیته، مسایل انتشار، دینامی ک سیالات و جریان های ناپایدار در لوله ها بر عهده دارند. [5] , [2] معادلات حاصل از مدلسازی، متغیرهای متعددی دارند و باوجود اینکه متدهای قدرتمند زیادی به منظور حل دقیق و تقریبی معادلات انتگرال ارائه گردیده، لیکن برای حل مسائل چندبعدی تنها از تعداد اندکی از آنها میتوان استفاده نمود. [6]این معادلات انتگرال همچنین حاصل انتقال نقاط دریک فضای برداری معین از توابع انتگرالی میباشند که با کاربرد عملگرهای انتگرالی معین به نقاطی از همان فضا حاصل میگردند.
و به دلیل اینکه روشهای صریح همیشه منجر به جواب نمیشوند، روشها ی عددی نقش مهمی در این خصوص برعهده دارند. بخشی از این تکنیکهای تقریبی سالیان اخیر استفاده شدهاند که از مهمترین آنها میتوان به متد توابع هار و چندجملهایهای چبیشف اشاره نمود.[8],[7],[4] چندجملهایهای برنشتاین که با بکارگیری روشهای مختلف تقریبیاز آنها برای حل معادلات مختلف استفاده خواهیم نمود، در سالهای اخیر اهمیت زیادی یافتهاند این چندجملهایها که هرکدام مقداری مثبت داشته و جمعشان برابر واحد میباشد، در ابتدا بکمک فرآیند اورتونرمالسازی گرام-اشمیت متعامد شده و آنگاه از آنها ماتریس عملیاتی انتگراسیون بدست میآیند.
میدانیم که علاوه بر چندجملهایها، ماتریسهای برنشتاین نیز به منظور حل معادلات انتگرال فردهلم، ولترا و هامراشتاین کاربرد دارند. [9],[3] در این مقاله، روشهای عددی موثری مبتنی بر چندجملهایهایبرنشتاین برای پیدا کردن جواب معادلات انتگرال فردهلم خطی و غیرخطی نوع دوم بر اساس پایه توابع چند مقیاسه برنشتاین پیشنهاد شده است.در بخش بعدی مقاله ضمن معرفی روش چندجملهای حداقل مربعات - PLSM - ، صورت تقریبی جواب حل تحلیلی معادلات انتگرالی غیرخطی را نیز بکمک آنها تعیین مینماییم. [8]در بخش بعدی مقاله راه حل تقریبی با روش حداقل مربعات و CM با روش دقیق از طریق حل مثال مقایسه میشوند . اگر راه حل دقیق مساله به صورت چندجملهای باشد، روش حداقل مربعات قادر به پیدا نمودن راه حل نسبتا دقیق خواهد بود و در غیراینصورت این روش به ما اجازه میدهد تا جواب نسبی را همراه با خطای نسبی همراه با کمترین اختلاف با جواب دقیق نسبت به سایر روشها پیدا نماییم. [8],[7]
-2 مواد و روشها
-1-2 معادلات انتگرال فردهلم
شکل استاندارد معادله انتگرال فردهلم را می توان به صورت رابطه - 1 - بیان نمود که در آن حد بالا و پایین b و a به ترتیب اعداد ثابت میباشند:
که در آن K - x,t - و f - x - از قبل معلوم بوده و λ یک پارامتر معروف
الف- تقریب یک تابع با چندجملهایهای برنشتاین
اگر f - x - در بازه 1]،[0 تعریف شده باشد، nامین چندجملهای برنشتاین - n≥1 - برای f - x - به صورت رابطه - - 6 تعریف میگردد:
میباشد. معادلات انتگرال فردهلم به دو دسته تقسیم میشوند:
الف- معادلات انتگرال فردهلم نوع اول
اگر ϕ - x - =0 باشد، آنگاه معادله انتگرال حاصل به صورت رابطه - 2 - خواهد بود:[2]
ب- قضیه برنشتاین
ب- معادلات انتگرال فردهلم نوع دوم
اگر ϕ - x - =1 باشد، آنگاه معادله انتگرال حاصل به صورت رابطه - 3 - خواهد بود:[2]
-2-2 چندجملهایهای برنشتاین
چندجملهایهای پایه ای برنشتاین ازدرجه n به صورت رابطه - 4 - تعریف میشوند:
که در آن R ماکزیمم مقدار بازه [0,R] می باشد که چندجملهای در آن بازه تعیین گردیده است، تعداد n+1 چندجملهای از درجه n وجود خواهد داشت که اولین و آخرینشان به شرایط مرزی مساله بستگی دارند. هرچند با یک کد زبان برنامه نویسی میتوان تمامی چندجملهایهای غیرصفر از درجه n را بدست آورد، لیکن مجموعه 10 چندجملهای از درجه 9 در تصویر - 1 - ترسیم گردیده است. [10],[9]
یک ترکیب خطی از چندجملهایهای پایهای برنشتاین به صورت رابطه - 5 - تعریف میگردد:
چندجملهای برنشتاین از درجه n و βK ضرایب چندجملهای برنشتاین نامیده میشود. [10]
اگر f - x - در بازه 1]،[0 کراندار باشد، آنگاه رابطه - 7 - به صورت زیر خواهد بود:
که f درهر نقطه x،که [0,1]xپیوسته است و اگرc[0,1]f باشد، حد فوق در بازه مزبور یکنواخت خواهد بود. [11],[10],[9]
