بخشی از مقاله
چکیده
کار حاضر، به بررسی و اعمال روش عددی مککورمک فشرده مرتبه چهارم برای حل عددی معادلات آب کمعمق یکبعدی، میپردازد. ابتدا، دو معادله ساده، یکی خطی و دیگری غیر خطی، که دارای حل تحلیلی میباشند، با استفاده از روشهای مککورمک مرتبه دوم و مککورمک فشرده مرتبه چهارم حل شده و مقادیر خطای کلی آنها با یکدیگر، مقایسه میشود. سپس، شکل پایستار معادلات آب کمعمق یکبعدی با استفاده از این روشها حل شده و نتایج برای یک آزمون موردی، مقایسه میشود. مقایسه کمی نتایج بهدست آمده نشان از عملکرد مناسب روش مرتبه چهارم دارد.
واژههای کلیدی: معادلات آب کمعمق، روش مککورمک فشرده، معادله فرارفت، معادله برگرز، خطای کلی
1مقدمه
معادلات آب کمعمق بیان کننده حرکت یک شاره تراکم ناپذیر، با چگالی یکنواخت میباشند که در این شاره تقریب هیدروستاتیک برقرار است. این معادلات در مباحث هواشناسی و اقیانوسشناسی کاربرد دارند. معادلات آب کمعمق برای یک جو خشک و بدون اصطکاک، با چگالی ثابت، معادلات تکانه و معادله پیوستگی را شامل میشوند. یکی از کاربردهای این معادلات برای حل عددی و توسعه و مقایسه الگوریتمهای جدید میباشد. در کار حاضر، روش مککورمک فشرده مرتبه چهارم برای حل عددی شکل پایستار این معادلات در یکبعد به کار گرفته شده و عملکرد آن با روش مککورمک مرتبه دوم مقایسه میشود.
2 روش مککورمک فشرده مرتبه چهارم
در معادله مفروض زیر - 1 - پیمایش زمانی برای روشهای مککورمک بهصورت دو مرحلهای و صریح به شکل زیر - هیکسون و ترکل : - 2000 میباشد. D F ، شکل گسسته مشتق اول مکانی تابع F ،به روش پیشروو D B ، شکل گسسته مشتق اول مکانی تابع F ، به روش پسرو میباشندو n ، تراز زمانی را نشان میدهد. محاسبه این مشتقات در روشهای مککورمک مرتبه دوم و فشرده مرتبه چهارم توس سایرین ذکر شده است - مثل هیکسون و ترکل . - 2000 این روش، یک روش دو مرحلهای پیشگو و اصلاحگر میباشد. همچنین دقت این روش در زمان حداقل از مرتبه دوم و در مکان میتواند از مرتبه دوم - روش مرتبه دوم - یا از مرتبه چهارم - روش فشرده مرتبه چهارم - باشد.
علاوه بر روش بیان شده در رابطه - 2 - ، در کار حاضر، دو روش چند مرحلهای رانگا-کوتا نیز با عناوین RK2 و RK4 برای پیمایش زمانی روشهای مککورمک، برای حل معادلات استفاده شده که فرمول-بندی آنها به صورت زیر میباشد - هیکسون : - 1997برای بررسی دقت روشهای مککورمک مورد مطالعه، دو معادله ساده خطی و غیر خطی، که دارای جوابهای تحلیلی هستند، را با این روشها حل کرده و خطای کلی آنها را به دست میآوریم. ابتدا، معادله فرارفت یکبعدی، با دو شرط مرزی دورهای و غیردورهای - مرز باز - ، با استفاده از روشهای مککورمک مرتبه دوم و فشرده مرتبه چهارم حل شده است. مقادیر خطای کلی، با استفاده از نرم l 2 در جدول 1 آمده است. همانگونه که مشاهده می شود، روش مککورمک فشرده مرتبه چهارم، دارای خطای با یک مرتبه بزرگیکمتر است. جدول 2 نیز نتایج را برای حل عددی معادله برگرز یک-بعدی، با شرط مرزی غیردورهای به دست میدهد.
4 حل عددی معادلات آب کمعمق یکبعدی و نتایج حل عددی شکل پایستار معادلات آب کمعمق یکبعدی به صورت زیر میباشد:
که در آن g شتاب گرانی وبالانویسTنشانگرترانهاده است.برای حل عددی این معادلات از آزمون موردی معرفی شده توس آبوت و باسکو - 1989 - ، که دارای حل تحلیلی است، استفاده میکنیم. در این آزمون، کانالی پر از آب فرض شده که در حالت اولیه ساکن و دارای عمق 5 متر است. طول کانال 400 متر فرض شده است. اگرحاصلضرب ارتفاع در سرعت را با نماد q نمایش دهیم، کانال باشرای مرزی زیر از سمت چپ تخلیه میشود:
برای سمت راست نیز شرای مرزی به صورت و برای شرای مرزی مربوط به ارتفاع نیز از یک میانیابی خطی اززمان ماقبل، به صورت استفاده میشود، که زیرنویس bنشانگر نقطه مرزی راست یا چپ است.معادلات آب کمعمق یکبعدی با شرای مرزی واولیه ذکرشده، بااستفاده از روشهای مککورمک مرتبه دوم و فشرده مرتبه چهارم با پیمایشهای زمانی استاندارد، RK2 و RK4 حل شده و نتایج آن در مقایسه با حل دقیق ارائه شده توس آبوت و باسکو - 1989 - در جدولهای 3 و 4 ارائه شدهاست. با توجه به جوابهای به دست آمده مشاهده میشود که روشهای فشرده مرتبه چهارم روشهای توانمندتری نسبت به روش مککورمک مرتبه دوم، برای حل شکل پایستار معادلات آب کمعمق یکبعدی هستند.
