بخشی از مقاله
خلاصه
روشهاي حجم محدود گودونفی بر اساس سه مرحله بازسازي، تکامل و متوسطگیري بنا شدهاند. در این روشها، دقت نتایج به چگونگی بازسازي متغیرهاي وابسته درون سلول محاسباتی بستگی دارد. در این مقاله ضمن بررسی اصول روشهاي گودونفی، روش جدیدي براي بازسازي متغیرهاي وابسته درون سلول محاسباتی ارائه میشود. در این روش از تابع چند جمله اي درجه سوم استفاده میشود. راهکار پیشنهادي براي حل معادلات یک بعدي و همگن آبهاي کم عمق بکار میرود و نتایج آن با دادههاي تحلیلی و نتایج روشهاي حجم محدود Roe-TVD، PPM و PPML مقایسه میشود. تجربیات عددي نشان میدهد که روش پیشنهادي بخوبی میتواند پیشانی امواج تیز را شبیه سازي کند و در مقایسه با سه روش دیگر شاخص خطاي کمتري را نتیجه میدهد.
.1 مقدمه
در شبکههاي حجم محدود فرض بر آن است که مقدار متوسط متغیرهاي وابسته درون هر سلول محاسباتی مشخص میباشد. سپس با استفاده از آن، مقدار متوسط متغیرهاي وابسته در سلول در گام زمانی بعد تعیین میشود. هر چند که اصولا در این روش توزیع واقعی متغیرهاي وابسته درون سلول مشخص نیست و همچنین نیازي به پیوسته بودن آن نمیباشد؛ ولی براي حل دقیقتر، لازم است توزیع متغیرهاي وابسته درون سلول فرض شود، .[1] این کار اصطلاحا بازسازي1 نامیده میشود. در روش اصلی گودونف، توزیع متغیرهاي وابسته درون سلول ثابت و برابر میانگین آن فرض میشود. این روش، بازسازي ثابت تکهاي2 نامیده میشود.
روشهاي دیگري براي بازسازي متغیرهاي وابسته درون سلول وجود دارند؛ نظیر روش بازسازي خطی3، روش بازسازي سهمی تکهاي4 و یا روش بازسازي ناپیوسته. 5 بازسازي متغیرهاي وابسته درون سلول بصورت تابعی بر اساس مختصات محلی بیان میشود و ثابتهاي مورد نیاز براي تعریف این تابع با استفاده از سلولهاي اطراف تعیین میگردد. برتري روشهاي مختلف بازسازي متغیرهاي وابسته - خطی، سهمی و ... - بسته به قابلیت هر یک از آنها در مشخص کردن تغییرات ناگهانی در شیبهاي تیز است. روشهاي بازسازي سهمی در مقایسه با روشهاي بازسازي خطی اجازه تغییرات ناگهانی بیشتري به متغیرهاي وابسته بقایی میدهند و عملکرد بهتري دارند، .[2] اما استفاده از منحنیهاي درجه بالا ممکن است به نتایج نامناسب و ایجاد نوسان در فضاي حل بیانجامد. از طرف دیگر پایداري این روشها بخصوص در مسائل غیر خطی بسیار ضعیف میباشد.
بازسازي متغیرهاي وابسته منجر به تعیین پروفیل پیوسته تکهاي6 در سلول محاسباتی میشود. این توزیع پیوسته متغیرهاي وابسته به حل یک مسئله تعمیم یافته ریمان - GRP - 7 در مرز سلول میانجامد. حل تحلیلی مسائل GRP بسیار پیچیده میباشد. به این دلیل عموما مسائل GRP به مسائل ریمان معادل8 - ERP - تبدیل میشوند. مسئله GRP بدست آمده با توجه به بازسازي اطلاعات، به مسئله ERP که حل آن سادهتر است تبدیل میشود.
علیرغم ثابت بودن مقادیر چپ و راست در ERP همه اطلاعات مسئله GRP در ناحیه تاثیر حل موجود است. از آنجا که اندازه ناحیه تاثیر حل به اندازه گامهاي زمانی بستگی دارد؛ بنابراین مسئله ERP تنها به مسئله GRP بستگی نداشته بلکه تابع اندازه گام زمانی نیز میباشد. در این مقاله روش جدیدي بر مبناي بازسازي مرتبه سوم متغیرهاي وابسته درون سلول معرفی میشود. این روش جدید براي حل معادلات یک بعدي آبهاي کم عمق بکار میرود و نتایج آن با داده هاي تحلیلی و نتایج روشهاي Roe-TVD، PPM و PPML براي مسئله شکست سد مقایسه میشود.
.2 ساختار کلی روشهاي گودونفی
الگوریتم کلی روشهاي گودونفی را میتوان بصورت مقابل خلاصه نمود، :.[1]
الف- تقسیم فضاي حل به تعدادي سلول محاسباتی - شکل - -1الف - -
ب- تعریف مسئله ریمان در مرز سلولها - شکل - -1ب - - : بازسازي متغیرهاي وابسته با توجه به مقدار میانگین آنها در هر سلول و سلولهاي مجاور آن انجام میگردد. در نسخه اصلی روش گودونف از سادهترین نوع بازسازي متغیرهاي وابسته - ثابت فرض کردن توزیع آنها درون هر سلول - استفاده می-
شود. بازسازي متغیرهاي وابسته بصورت غیر ثابت - خطی، سهمی یا .... - به مسئله GRP منتهی میشود.
ج- تبدیل مسئله GRP به مسئله ERP - شکل - -1ج - - : مسئله GRP به ندرت داراي حل تحلیلی میباشد. بنابراین در این مرحله به مسئله ERP در هر مرز سلول تبدیل میشود. مسئله ERP همان مسئله ریمان استاندارد است که مقدار متغیرهاي وابسته در سمت چپ و راست ناپیوستگی ثابت و از میانگین متغیرهاي وابسته در مسئله GRP در هر گام زمانی بدست میآید.
د- حل مسئله ریمان معادل و محاسبه شارها و در نهایت محاسبه متغیرهاي وابسته در گام زمانی بعد - شکل - -1د - - : شار عددي در مرز هر سلول با استفاده از مقدار متغیرهاي وابسته بدست آمده از مسئله ریمان معادل در مرز سلول بدست میآید.
