بخشی از مقاله
چکیده
قوانین جمع سطح ژلیوم به عنوان قضایاي بد- ونیمنوس شناخته می شوندکه روي قضیه هلمن-فاینمن پایه گذاري شده و روابط مفیدي را بین خواص سطحی وحجمی ژلیوم برقرار می کند.ابتدا آنها براي سطح تخت ژلیوم ثابت شدندوبا حل هاي عددي معادلات کوهن –شم براي ژلیوم نیم فضاآزمایش گردیدند.در حقیقت این قضایا ثابت شدند براي اینکه به عنوان بررسی کننده خود سازگار روي نظریه تابعی چگالی مفید با شند.محاسبات نظریه تابعی چگالی روي سطح ژلیوم انجام سپس نتایج سطح تخت به ربع فضا یا یک هشتم فضا ي مدل ژلیوم تعمیم داده شدندو تعدادي از این قضایا بطور عددي در تقریب توماس-فرمی بررسی گردیدند.یک قضیه مخصوص توسط استریتنبرگرثابت شده که بصورت عددي آزمایش نگردیده وبه نظر ما بطور صحیح بدست نیامده است.ما نه تنها مرتبه خطا را نشان می دهیم بلکه حلهاي عددي برا ي ژلیوم ربع فضا را در تقریب توماس-فرمی بدست می آوریم و قوانین جمع را که براي این سیستم بوجود می آیند بررسی می نمائیم.در حقیقت نتایج عددي ما حاکی از نادرست بودن قانون جمع مذکور می باشداماقوانین جمع دیگري بدست آمده اند که صحیح بوده و ابزار مفیدي براي بررسی خودسازگار نتایج عددي می باشند.
مقدمه
همان گونه که می دانیم نظریه ساده مدل الکترون آزاد در توضیح خواص خیلی از فلزات بسیار کار آمد است. بدین منظور فرض می شود که الکترونهاي رسانشی کاملاً آزاد هستند و فقط یک پتانسیل در سطح نمونه بر آنها اعمال می گردد.در نتیجه اعمال این پتانسیل الکترونها در داخل نمونه محبوس می شوند. جدا شدن الکترونهاي رسانش از یک اتم مغز یونی با بار مثبت به جاي می گذارد. در این مدل توزیع یون هاي مثبت فلزي به طور یکنواخت در درون نمونه و سر تا سر فلز در نظر گرفته می شوندبطوریکه الکترونها در یکا پتانسیل الکترواستاتیکی ثابت حرکت می کنند این مدل الکترونی که در آن یون هاي مثبت به صورت ژله یکنواخت توزیع شده است را مدل ژله اي یا ژلیوم می نامند. بنابراین در توصیف خواص فلزات با مدل الکترون آزاد فضاي داخل فلز را ژلیوم و سطوح یا لبه فلز را لبه ژلیوم می نامیم . [4,3]
مدل توماس- فرمی براي ژلیومی که در نیم فضاي x<0 پر شده است چگالی بار زمینه مثبت به صورت n - x - nθ - −x - میباشدکه θ - −x - یک تابعپله اي است. n چگالی الکترون ها وابسته به بردار موج فرمی می باشدبه طوریکه: معادله - 10 - براي تعیین φ - i, j - بهبود یافته1 با استفاده از 4 نقطه همسایه در شبکه میباشد. در روش تکرار با حدس اولیه جواب معادله دیفرانسیل - جواب قدیمی - در کلیه نقاط شبکه و جایگزینیآن به طور منظم مثلاً از چپ به راست در سمت راست معادله - 10 - میتوانیم به صورت متوالی مقادیر بهبود یافته φ* - i, j - را به دست آوریم با تکرار زیاد این روش جاروبی یک جواب حدسی اولیه میتواند به جواب صحیح ، بهبودي یابد.جهت افزایش سرعت همگرایی و نیز کاهش تکرارها و محاسبات در s - x,y - عبارت غیرهمگن یا عبارت چشمه معادله میگویند.
براي مشخص کردن جواب معادله دیفرانسیل پارهاي، شرایط دیگري را باید براي تابع جواب تعریف کرد که معمولا این شرایط همان شرایط مرزي می باشند.براي انجام عملیات حل عددي بایستی ضمن تعریف حوزه عمل، نسبت به شبکه بندي آن اقدام کرد. در نظر میگیریم معادله دیفرانسیل - 9 - روي یک شبکه دو بعدي از نقاط با فواصل x درراستاي محور x و y در راستاي محور y باشد. براي سادگی فرض می شود: : x . y با استفاده از تعریف مشتق مرتبه دوم - فرمول سه نقطهاي - به طور جداگانه در دو بعد x و y و استفاده از آن در معادله - 9 - خواهیم داشت: میکند اما نتیجه یا جواب نهایی معادله مستقل از W بوده و اختلاف آن با جواب واقعی به خطاي در نظر گرفته شده بستگی دارد. با افزایش تعداد نقاط شبکه این اختلاف کاهش یافته و خطا کوچکتر میشود بازاي یک مقدار خاص W به نام مقدار بهینه تعداد تکرار به مینیمم ممکن کاهش مییابد.
مقدار بهینه Wرا میتوان به صورت تجربی با آزمایش نرخ همگرایی براي پاسخ بازاي تعداد کمی از Wها با مقادیر متفاوت به دست میآورد. روش فوق بهبودي براي 1<W <2 همگرا میگردد.[7,6,1] حل معادله توماس فرمی براي حالت یک بعدي در مدل ژلیوم نیم فضا: صورت تحلیلی و مطابق رابطه - - 16 بوده و پتانسیل در هر نقطه در آن فضا به صورت دقیق قابل محاسبه می باشد. اما براي حل عددي معادله توماس فرمی در ناحیه x<0 - نیم فضاي ژلیوم - با استفاده از معادلات - - 13و - 15 - از روش تقریب چهارم رونگ- کوتا[2] استفاده کرده ایم که نتیجه آن با توجه به مقدار دهی و بدست آوردن مقادیر تابع φ در ناحیهx〉0 با استفاده از رابطه - - 16 مطابق جدول و نمودار شماره 1 می باشد. حل معادله توماس فرمی براي حالت دو بعدي در مدل ژلیوم ربع فضا - ژلیوم - 90° شکل معادله توماس فرمی براي حالت دو بعدي بصورت زیر می باشد:
بشرح زیر از روش فوق بهبودي متوالی با به کارگیري نتایج حل یک بعدي با توجه به تقارن مسئله نسبت به دو بعد x,y استفاده می کنیم. تابع حدس اولیه را در این روش به صورت حاصل ضرب حل یک بعدي در راستاي - xو - yمثلا": φ - x - - φ old - x,y - = φ - x - .φ - y - و - φ - yپاسخهاي حل عدديb یک بعدي در راستاي xوy می باشند که از نتایج یک بعدي قسمت قبلی بدست آمده اند - در نظر می گیریم.در این صورت φold - x, y - یعنی پتانسیل اولیه حدسی را در کلیه نقاط شبکه داریم که با جایگذاري در سمت راست معادله اي مشابه معادله - 10 - می توانیم φ* - x, y - - پتانسیل بهبود یافته - و سپس φnew - x, y - - پتانسیل جدید - را با انتخاب W بدست آوریم.
با در نظر گرفتن φnew - x, y - به عنوان φold - x, y - در کلیه نقاط شبکه به صورت متوالی در هر دفعه تکرار مراحل قبلی و تعیین میزان خطاي محاسبات و انتخاب مناسب W بعد از چند مرحله تکرار جواب صحیح یا بهبودي یافته معادله دو بعدي توماس فرمی بدست می آید. با برنامه نویسی صورت گرفته به روش فوق بهبودي متوالی نتیجه حل دو بعدي مطابق جدول و نمودار شماره 2 می باشد.قوانین جمعروابط ساده اي بین پتانسیل الکتریکی در سطح و انرژي حجمی در الکترون براي فلزات وجود دارد که به عنوان قوانین جمع مورد استفاده واقع می شوند.این قوانین از نظریه الکترواستاتیک که خود یک کاربردي از نظریه هلمن فاینمن می باشد به راحتی بدست آمده و براي بررسی صحت و سقم نتیجه محاسبات عددي بکار برده می شوند.دو قانون از قوانین جمع به ترتیب براي ژلیوم نیم فضاو ربع فضا به شرح زیر میباشند:
