بخشی از مقاله
چکیده
معادلهي شرودینگر را براي ذرهاي با جرم وابسته به مکان در نیم-پتانسیل نوسانگر هارمونیک بررسی نموده و ترازهاي انرژي و حالتهاي ویژة آن را به صورت دقیق بدست میآوریم. سپس، نمودارهاي احتمال و عدم یقین را بر حسب پارامتر جرم محاسبه و رسم نموده و نتایج حاصل را با نیم-پتانسیل نوسانگر کوآنتومی ساده مقایسه میکنیم. سرانجام احتمالات کلاسیکی و کوآنتومی را براي نیم-پتانسیل هارمونیک کوآنتومی و کلاسیکی با جرم وابسته به مکان، محاسبه و مقایسه خواهیم کرد.
مقدمه
مطالعه در زمینهي سیستمهایی که جرم وابسته به مکان - PDM - دارند، در سالهاي اخیر در زمینهي فیزیک کوآنتومی مورد توجه قرار گرفته است. تا کنون روشهاي مختلفی براي یافتن ویژهحالات و ویژه مقادیر معادلهي شرودینگر، از جمله حل مستقیم[1]، حل دنبالهاي [2] و تبدیلاستفادهکانونی نقطهاي [3] مورد قرار گرفته است. اما محاسبهي احتمالات کوآنتومی و عدم یقین در این سیستمها کمتر مورد توجه بوده است. در این مقاله، ابتدا معادلهي شرودینگر PDM را بر اساس روش تبدیل کانونی نقطه-اي، براي نیم-پتانسیل هارمونیک PDM حل میکنیم .[4] سپس نمودارهاي احتمال و عدم یقین را رسم کرده و با نمودارهاي احتمال و عدم یقین نمونهي کوآنتومی مشابه، اما با جرم ثابت - CM - ، مقایسه میکنیم. در نهایت مقایسهاي بین نمودارهاي احتمال نیم-پتانسیل هارمونیک PDM کوآنتومی و کلاسیکی متناظر انجام میدهیم.
محاسبهي ویژه مقادیر و ویژه حالات تابع توزیع جرم را به صورت در نظر میگیریم، که α مقداري حقیقی و مخالف -2 فرض می-شود. τ پارامتر ثابتی است، که براي تنظیم دیمانسیون ضرورياست، اما براي سادگی محاسبات مقدار آن را برابر واحد میگیریم.آشکار است که تابع جرمی - 1 - به ازاي مقادیر منفی x میتواندمنفی و یا غیر حقیقی گردد؛ بنابراین نیم-پتانسیل هارمونیک سمت
راست محور x را براي جلوگیري از این مشکل برگزیدهایم. این انتخاب از تشکیل حالتهاي غیرمقید ممکن نیز جلوگیري میکند.این تابع جرمی توسط دیگران تحت تأثیر پتانسیلهاي چاه یک همانطوري که از تابع پتانسیل پیداست، ذره در سمت چپ محور x نمیتواند حضور داشته باشد. با استفاده از واحدهاي اتمی - h 1 - و با فرض ω 1 ، معادلهي شرودینگر را براي سمت
راست محور x به شکل زیر مینویسیم:
براساس روش تبدیل کانونی نقطهاي [4]، با اعمال تغییرات معادلهي - 3 - را به صورت زیر بازنویسی میکنیم:
ضمناً پارامترهاي Aو B را به شکل زیر تعریف کردهایم:
براي حل معادلهي - 6 - تغییر متغیر و تغییر تابع زیر را در آن واردمیکنیم:
جوابزیرمعادلهي - 13 - ، به صورت خواهد بود:
که در آن،تابع ابرهندسی همشار میباشد .[6]بنابراین خواهیم داشت:
تابع ابرهندسی همشار در صورتی همگرا است که در آن b عددي صحیح و نامثبت باشد. بنابراین b را برابر− n میگیریم؛ در این صورت از معادلات - ، - 5، - 7 - 14 - و - - 17 - داریم:
اینک ضریب بهنجارشمحاسبهرابه شکل زیرشکلهاي - 1 - و - 2 - ، به ترتیب نمودارهاي x و p را بر حسبα، براي حالت زمینه و اولین حالت برانگیخته نمایش می- دهند. با افزایش α، x کاهش وp افزایش مییابد. این نتیجه مورد انتظار است، چون با افزایش α، گودال پتانسیل باریکتر، وبنابراین عدم یقین مکان کوچکتر خواهد شد. در این صورت اصل عدم یقین، بزرگتر شدن عدم یقین تکانه را ایجاب میکند.
α براي ترازهاي n0 - خط پر - و n1 - خط چین - در شکل - 3 - ، نمودار x p را بر حسب α، براي حالت زمینه و اولین حالت برانگیخته ملاحظه میکنیم. حاصلیقین ضرب عدم براي αهاي کوچکتر از حدود واحد کاهش، و سپس با افزایش α، افزایش مییابد. همچنین بر طبق انتظار، حاصل ضرب عدم یقینها براي ترازهاي بالاتر، بزرگتر است.در شکل - 4 - ، نمودار جرم، ویژه حالت و چگالی احتمال - - ρبراي تراز n 3 به ازاي α 2 رسم شده است. همانطوري که ملاحظه میشود، قلههاي نوسانات چگالیاحتمالِ حضور ذره - - ρدر نقاطی بزرگتر است، که ذره جرم بیشتري دارد.
مقایسهي نوسانگرهاي کوآنتومی PDM و CM
معادلهي - 1 - نشان میدهد که اگر α به سمت صفر میل کند،جرم برابر مقدار ثابت 1 خواهد شد. در این صورت ویژهمقادیرانرژي، از معادلهي - 18 - ، به شکل زیر بدست میآیند، که مقداري مورد انتظار است:
چنانکه دیده میشود، هنگامی که α به سمت صفر میل میکند، ویژه حالات نیم-پتانسیل هارمونیک کوآنتومی PDM، به ویژه -حالات نیم-پتانسیل هارمونیک کوآنتومی CM نظیر، تبدیل می-شوند. نمودار ویژه حالت و چگالی احتمالپتانسیلبراي نیم-هارمونیک CM، - - α → 0 در تراز n 3 ، در شکل - 5 - رسمشده است. اگر این شکل را با شکل - 4 - مقایسه کنیم، درمییابیم کهدر حالت جرم ثابت، تغییرات دامنهي نوسانات چگالیبراياحتمال
