بخشی از مقاله
چکیده
برای یک ذره دیراک در حضور میدان های پتانسیلی هایپربولیکی می توان ویژه مقادیر انرژی را به طور تقریبی محاسبه نمود. به کمک این مقادیر، تابع انتقالی بدست خواهد آمد، F E که بر اساس توابع کانفلوئنت هیون بسط داده می شود. تابع هیون از توابع خاص در علم ریاضیات و پاسخ یک معادلهدیفرانسیلخطیِ مرتبه دو با ضرایب غیرثابت به نام معادله هیون می باشد که گونه ای از این معادله، تحت عنوان معادله کانفلوئنت هیون دارای دو نقطه تکین منظم درنقاط 0 و 1 دامنه و یک نقطه تکین نامنظم در بی نهایت می باشد. از مساوی صفر قرار دادن دو بخش حقیقی و موهومی تابع مختلط F E ، نقاط تلاقی تابع با محور E و نهایتا مقادیر عددی انرژی را بدست خواهیم آورد.
مقدمه
معادله شرودینگر را می توان به عنوان نقطه شروع مکانیک کوانتومی در سیستم های فیزیکی در نظر گرفت. با مطرح شدن بحث های نسبیتی در مکانیک کوانتومی، معادلات کلاین-گوردون و دیراک اساس مطالعات ما را به خود اختصاص می دهند. خوب است بدانیم که شکل های پتانسیلی که در چارچوب معادلاتکلاین-گوردون و دیراک قابلیت حل پذیری کامل را دارند، بسیارمحدود می باشند. بنابراین حل های تقریبی معادلات و یا نا معادلات برداری و اسکالر ذکر شده در سیستم های فیزیکی از اهمیت بالایی برخوردار است. از میدان های پتانسیلی که فرم نماییدارند، می توان به عنوان یکی از مهمترین پتانسیل های حل پذیر و یا شبه حل پذیر در معادلات کلاین-گوردون و دیراک نام برد که در دهه گذشته بسیار مورد توجه قرار گرفته اند .[1-5]
حالتی راکه در آن اندازه پتانسیل های برداری و اسکالر S r و V r بایکدیگر برابر اما با علامت مخالف هستند V r S r را، شبهاسپین1 می نامند و جواب های معادله دیراک آن با نام تقارن شبهاسپینی معرفی می شود 7] ،.[6 در این مقاله قصد داریم حل هایتحلیلی حالت V rS r را برای معادله دیراک در وضعیتیکه تحت تاثیر پتانسیل نمایی متقارن شبه اسپینی قرار دارد ارائه دهیم. معمولا کاربرد مدل پتانسیلی هایپربولیکی در موارد غیرنسبیتی می باشد 9]،.[8 و همچنین تاثیرات جرمی وابسته به مختصه مکان را نیز مورد بررسی قرار خواهد داد .[10] فرم صریحاین پتانسیل به صورت زیر می باشدکه در آن پارامترهای پتانسیلی V0 و d به ترتیب به عمق و عرض چاه دلالت دارد. از آن جا که p و q بیانگر تعریفی از دسته ی پتانسیلی ّ،ُ،ٍ،ً،ٍ q و ... q p می باشد. برای حالتی که در آن ّ،ُ q باشد، معادله شرودینگر را می توان به فرم معادله کانفلوئنت هیون نوشت .[11]
در این جا نیز قصد داریم معادله دیراک را به شکلی از معادلات دیفرانسیلی کانفلوئنت هیون تبدیل کنیم 12]،.[13 ما این کار را با استفاده از متغیرهای انتقالی مناسب درمختصات کروی - در صورتی که ّ،ُ p, q باشد - انجام می دهیم. در بخش بعد ساختار ریاضی معادلات کانفلوئنت هایپربولیکی را که شامل جواب های مسئله می باشند را ارائه می دهیم. سپس در بخش های بعدی به بررسی توابع متعالی می پردازیم که دارای قابلیت حل پذیری عددی برای حالت های مقیدسیستم می باشند. این توابع که در بخش تابع موج به لحاظ میشوند، شامل دو بخش حقیقی و موهومی می باشند. از مساوی صفر قرار دادن این دو بخش نقاط تلاقی توابع متعالی را با محور E بدست خواهیم آورد.
فرم کلی معادله دیراک
برای ذره ای با جرم ، معادله دیراک را به این صورت می توان نوشت : [14]
که در آن E نشان دهنده انرژی،و p تکانه خطی و ماتریس های 4 4 می باشند:[14]
و ماتریس های و Iبه ترتیب نمایش دهنده ماتریس های پائولی و ماتریس 2 2 واحد می باشند. تقارن کروی اسپینوری دیراک نیز با اعداد کوانتومی n - عدد کوانتومی معمولی - ، - عدد کوانتومی اسپین چرخشی - ، - عدد کوانتومی تکانه زاویه ای مداری - و m - عدد کوانتومی مولفه z تکانه زاویه ای - به شکل زیر نشان می دهیم:
