بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله طبق مرجع[1] و با استفاده از چندجمله ایهای متعامد به بررسی نحوه نگاشت یک محیط در مجموعه سیستم های کوانتومی باز به یک زنجیره گسسته متشکل از مدهای نوسانی با برهمکنش نزدیکترین همسایگان خواهیم پرداخت. سپس با استفاده از چندجمله ایهای متعامد جاکوبی وابسته نشان میدهیم که می توان با استفاده از آنها چگالی طیفی Ohmic سیستم های باز کوانتومی را پوشش داد.
مقدمه
سیستم های کوانتومی همانند همتایان کلاسیکی خود همواره تحت تاثیر محیط اطراف خود قرار دارند و با آن برهمکنش میکنند.بنابراین ایزوله پنداشتن آنها جز برای ساده سازی مسائل نیست. از
این رو نظریه سیستم های باز کوانتومی که به بررسی برهمکنش این سیستم ها با سیستم های دیگر و نیز با محیط می پردازد دارایاهمیت بسیار است.اساسا برهمکنش سیستم ها با محیط را در دودسته ی مارکوف و غیرمارکوف طبقه بندی می کنند که در ادامه بهطور مختصر به تعریف این دو می پردازیم.منظور از مارکوف آن دسته از فرآیندهایی است که حالت فعلی سیستم در حال برهمکنش تنها به یک حالت قبل آن بستگی دارد وتابع گذشته کامل سیستم نیست. اصطلاحا به این سیستم ها، بدون حافظه گفته می شود یعنی سیستم اطلاعاتی را از گذشته خود بهیاد نمی آورد. فرمول بندی فرآیند های مارکوف ساده است. بهعنوان مثال یک فرایند تصادفی به صورت در نظر بگیرید .[2] این فرآیند مارکوف است اگراحتمال اینکه متغییر تصادفی X در زمان دلخواه tn مقدار xn را مقاله نامه کنفرانس سیستم هاي بس ذره اي - کپه اي و نانو مقیاس - ، انجمن فیزیک ایران دانشگاه صنعتی خواجه نصیر الدین طوسی، 21 آبان ماه 1394بگیرد تنها به آگاهی از مقدار X در زمان tn-1 بستگی داشته باشدبنابراین:
به همین دلیل تحلیل چنین فرآیند هایی ساده تر است. اما در نقطهمقابل، فرآیند های غیرمارکوف قرار دارند که سیستم دارای حافظهمی باشد و با گذشت زمان ممکن است اطلاعاتی که در خلال برهمکنش به محیط نشت کرده است مجددا به فرآیند بازگردد وآن را تحت تاثیر قرار دهد. معمولا تحلیل فرآیندهای غیرمارکوف جز از روش های عددی امکان پذیر نیست. بنابراین در ادامه این
مقاله سعی داریم تبدیلی ارائه دهیم که برهمکنش غیر مارکوف سیستم ها با محیط را به یک زنجیره مارکوف قابل تحلیل نگاشت اش در ارتباط است .این تبدیل میتواند به شکل زیر در نظر گرفته شود:
نگاشت محیط غیرمارکوف به یک زنجیره مارکوف
سیستمی کوانتومی را در نظر بگیرید که در حال برهمکنش با یک محیط غیر مارکوف پیوسته متشکل تعدادی بیشمار از مدهای نوسانی بوزونی یا فرمیونی است .[1] جنس محیط و میزان برهمکنش با سیستم را با یک تابع مثبت از جنس انرژی یا فرکانس ارزیابی می کنند که چگالی طیفی گفته می شود و دارای شکل کلی زیر است:
که در آن - g - ضریب کوپلاژ مدهای محیط است و وابستگی آن به فرکانس را به صورت خطی در نظر میگیریم:
که g همان فرکانس قطع است.h - x - نیز تابع کوپلاژ سیستم با محیط است.در مرجع >1@ نشان داده شده است یک سیستم که به طور خطی بایک محیط با چگالی طیفی - J - جفت شده باشد را میتوان با یک تبدیل یکانی به یک زنجیره گسسته حل پذیر از مدهای نوسانی تبدیل کرد که هرکدام از اجزای زنجیره تنها با نزدیکترین همسایه که در آن p - x - از خانواده ی چند جمله ای های عمود بر هم است. تابع h - x - نیز همان تابع کوپلاژ حاضر در رابطه - 1 - می باشد که به عنوان ضریب وزن برای تعامد چندجمله ای عمل می کند. با اثر دادن این تبدیل بر روی هامیلتونی توصیف کننده محیطو استفاده از تعامد چندجمله ای ها می توان فرکانس نوسانیمدهای زنجیره و ارتباط هرکدام از اجزای زنجیره با نزدیکترینهمسایه اش را از ضرایب بازگشتی چند جمله ای مورد نظر بدستآورد : >1@
که در آن و به ترتیب فرکانس اجزای زنجیره و کوپلاژ بیننزدیکترین همسایگان است. وضرایب بازگشتی چندجمله ای متعامد است.اما برای ارزیابی اندرکنش سیستم های کوانتومی با محیط معمولانوعی چگالی طیفی موسوم به Ohmic را در نظر می گیرند :[1]که در آن یک ثابت،فرکانس قطع و تابع پله ای است که به ازای < برابر یک است. چگالی طیفی معرفی شده به
ازای S>1، S= 1 و S<1 به ترتیب Super-Ohmic، Ohmic و Sub-Ohmic گفته می شود.در ادامه با استفاده از چندجمله ایهای جاکوبی وابسته چگالی طیفی Ohmic محیط های کوانتومی را بدست آورده و پس از آن بهبررسی تبدیل مورد نظر خواهیم پرداخت.چندجمله ایهای جاکوبی وابسته و ساخت نگاشتاین چند جمله ایها در رابطه تعامدی زیر - شیفت یافته - صدق می کنند:[3]
کهضریب نرمالیزه و تابع وزن برای تعامد این جمله ای می باشد و به صورت زیر تعریف می شود:
که C یک ثابت و>-1 و . حال با در نظر گرفتن چگالی طیفی جدیدی را برای مجموعه سیستم های باز کوانتومی معرفی می کنیم :
این تابع به ازای =0 و=S تمامی مشتقات تابع چگالی طیفی Ohmic را برآورده می کند. بنابراین همانطور که در بخش قبل گفته شد قادر خواهیم بود تبدیلی بسازیم که برهمکنش سیستمکوانتومی با محیط را به یک زنجیره حل پذیر نگاشت دهد که دینامیک زنجیره از ضرایب بازگشتی چند جمله ای مورد نظربدست خواهند آمد. ضرایب - شیفت یافته - چند جمله ایهای جاکوبی وابسته به صورت زیر است:
چنانچه داشته باشیم S=1 یعنی تابع صرف Ohmic را در نظر بگیریم بنابراین =0 و=S =1 . بنابراین با استفاده از ضرایببازگشتی معرفی شده و با مراجعه به معادلات - 4 - میتوان فرکانساجزا و کوپلاژ نزدیکترین همسایگان را برای زنجیره حاصله بدست آورد. نتایج این محاسبات در جدول 1 خلاصه شده است. برایسایر مقادیر S نیز می توان محاسبات مشابهی انجام داد.
نتیجه گیری
در این مقاله با استفاده از ضریب وزن چند جمله ایهای جاکوبی وابسته یک تابع چگالی طیفی ارائه دادیم که طیف برهمکنشیسیستم های کوانتومی با محیط که معمولا با تابع طیفی Ohmicمطرح می شود را به طور کامل پوشش دهد. بنابراین با استفاده از این نوع چند جمله ای تبدیلی ساختیم که برهمکنش غیرمارکوف
