بخشی از مقاله
چکیده
مقاله حاضر به مطالعه ی دینامیک درهم تنیدگی و اختلاف کوانتومی یک زیر سیستم دو بخشی از سیستم سه کیوبیتی باز می پردازد.در این مساله هر کیوبیت می تواند گسیل خود به خودی داشته باشد و کیوبیت ها در محیط مشترک - خلا - قرار گرفته اند. محاسبات انجام شده نشان می دهند با تغییر حالت اولیه سیستم،هر دو معیار در هم تنیدگی و ناسازگاری کوانتومی که برای توصیف هم بستگی کوانتومی به کار می روند، تغییر خواهند کرد.هم چنین باتوجه به حالت اولیه،وجود محیط اتلافی می تواند هم بستگی کوانتومی را از بین ببرد یا منجر به تولید آن شود.هم چنین نتایج به دست آمده نشان می دهند که در برخی موارد در هم تنیدگی معیار مناسبی برای بررسی هم بستگی کوانتومی نمی باشد و بهتر است از اختلاف کوانتومی برای این کار استفاده نمود.
مقدمه
مطالعه و بررسی هم بستگی کوانتومی در سال های اخیر مورد توجه قرار گرفته است.روش های متفاوتی برای بررسی این مهم پیشنهادمی شود که از جمله آن ها می توان به در هم تنیدگی و اختلاف کوانتومی اشاره کرد.ما در این جا بر هم کنش کوانتومی یک زیرسیستم دو بخشی باز را با استفاده از هر دو معیار در هم تنیدگی و ناساز گاری کوانتومی مورد بررسی قرار می دهیم.در این مساله دوکیوبیت یکسان در نظر گرفته شده اند و منظور از اتلاف این استکه هر یک از آن ها می توانند گسیل خود به خودی داشتهباشند.حالت پایه کیوبیت مورد نظر را با 0 و حالت برانگیختهآن را با 1 > نشان می دهیم.با به دست آوردن ماتریس چگالی مربوط به سیستم در زمان مشخص t ، می توان هر دو معیار موردنظر را محاسبه نمود.
البته باید در نظر گرفت که تنها برای برخی ازموارد امکان محاسبه ساده این معیار ها وجود دارد.یکی از این موارد این گونه است که ماتریس چگالی بصورت حالت X باشد.طبقتعریف یک حالت X به صورت زیر می باشد:[1]از آن جایی که سیستم مورد نظر ما یک سیستم کوانتومی باز استوبا محیط اطراف خود بر هم کنش دارد و تحت تاثیر ناهمدوسی واتلاف قرار دارد ، معادله ای که با آن می توان تحول زمانی ماتریس چگالی سیستم را بررسی نمود،معادله لیندبلد[2] خواهد بود که به صورت زیر نوشته می شود:که در آن، H هامیلتونی مربوط به سیستم کوانتومی، ρ - t - ماتریسچگالی سیستم در زمان مشخص t ، نرخ اتلاف یا ناهمدوسی و عملگرهای لیندبلد هستند که درواقع چگونگی تاثیرمحیط برسیستم را مشخص می سازند.دینامیک سیستم سه کیوبیتی باز در محیط اتلافیبرای یک سیستم سه کیوبیتی که در آن اتلاف به صورت گسیل خودبه خودی وجود داشته باشد، قسمت ناهمدوسی معادله لیندبلد بهصورت زیر خواهد بود:[3]
و := | 0 > < 1 | عملگر پایین آورنده برای کیوبیت i ام می باشد.برای سادگی در محاسبات نرخ ناهمدوسی را بربر واحد درنظر می گیریم. - 1 - .برای حل معادله - 3 - در نظر می گیریم:حال با استفاده از بسط تیلور خواهیم داشت:روش کار این گونه خواهد بود که حالت اولیه را در نظر خواهیم گرفت و سپس ابر عملگر را روی آن اثر خواهیم داد.حال دوبارهاین ابر عملگر را بر روی تمامی حالت های جدید به دست آمده اثرمی دهیم تا جایی که دیگر حالت جدیدی به دست نیاید.در اینصورت ما به زیر فضایی دست خواهیم یافت که تحت تاثیر £، ناوردا باقی می ماند که این زیر فضا را زیر فضای آزاد از ناهمدوسی - DFS - می نامیم.حال ما به جای درنظر گرفتن کل فضای هیلبرت سیستم، می توانیم محاسبات خود را محدود به این زیر فضا بکنیم.
فرض کنیم که یک سیستم سه کیوبیتی داریم که در ابتدا در حالت اولیه زیر قرار دارد:
در این صورت ماتریس چگالی سیستم در زمان t=0 برابر خواهد بود با:
حال ابر عملگر £ را بر روی این حالت اولیه و تمامی حالت هایجدید به دست آمده اثر می دهیم،در نتیجه زیر فضای مورد نظر مابه صورت زیر خواهد بود:
حال می توان - - را بر حسب پایه های این زیر فضا بسط داد:
بااستفاده از روابط - 3 - و - - 6 معادلات کوپل شده زیر به دست می آید:
با حل این معادلات خواهیم داشت:
دینامیک زیر سیستم دو بخشی برای بررسی دینامیک زیر سیستم دو بخشی - سیستمی شامل دوکیوبیت از سه کیوبیت کل - با توجه به مشابه بودن هر سه کیوبیت،می توان از ماتریس چگالی کل سیستم نسبت به یکی از آن ها تریس جزئی گرفت و ماتریس چگالی مربوط به دو کیوبیت دیگر را به دست آورد.در نتیجه برای زیر سیستم شامل کیوبیت اول و دوم خواهیم داشت:
در نتیجه برای سیستم دو کیوبیتی مورد نظر خواهیم داشت: دینامیک هم بستگی کوانتومی زیرسیستم دوبخشیبرای اندازه گیری میزان در هم تنیدگی کوانتومی در یک سیستم، از معیاری به نام کانکورنس استفاده می شود.با توجه به رابطه - 14 - وشکل ماتریس چگالی که به صورت حالت X می باشد ، کانکورنسبرای این سیستم دو کیوبیتی از رابطه زیر محاسبه می شود:[1]
در نتیجه میزان کانکورنس برای این سیستم دو کیوبیتی قبل و بعد از تحول به ترتیب برابر خواهد بود با:
- 16 - شکل زیر تغییرات زمانی کانکورنس را نشان می دهد:
