بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله جهت تخمین شاخص مادی تیر اویلر-برنولی هدفمند با استفاده از تئوری فلتچر-ریوز که یکی از انواع روشهای گرادیان مزدوج است، حل معکوس مربوط به مسئله ارتعاشات آزاد تیر هدفمند اویلر-برنولی با شرایط مرزی ساده، با توجه به فرکانس های طبیعی اندازهگیری شده مورد بحث قرار گرفته است. برای حل مستقیم مسئله جهت گسسته سازی دامنه مکان از روش اجزاء محدود استفاده شده است. برای به دست آوردن فرکانسهای طبیعی که میبایست از طریق آزمایش بدست آیند مقداری خطای نسبی به فرکانسهای طبیعی بدست آمده از طریق حل مستقیم مسئله افزوده شده است. در نهایت برای بررسی کارایی روش حاضر تیر اویلر-برنولی هدفمند با نسبتهای مختلف طول به ضخامت مورد بررسی قرار گرفته است که در همه حالات بررسی شده نتایج به سرعت همگرا شده و دارای دقت بسیار بالایی میباشند.
واژه های کلیدی:حل معکوس، ارتعاشات آزاد، تیر اویلر-برنولی، مواد هدفمند، روش فلتچر-ریوز.
مقدمه
امروزه مهندسی معکوس1 در بسیاری از شاخهها از جمله در زمینه مهندسی سازه در حال گسترش میباشد. روش ارائه شده در این مقاله راهکاری برای تخمین شاخص خواص مادی تیرهای هدفمند2 به کمک اندازهگیری فرکانسهای طبیعی تیر مورد نظر به وسیله آزمایش میباشد.مواد هدفمند نسل جدیدی از مواد مرکب میباشند که به علت تغییرات پیوسته مشخصات حرارتی و فیزیکی، در صنایع مختلف از جمله در ساخت راکتورهای اتمی، موشکها، سفینهها و کلیه سازه-هایی که تحت محیطهای حرارتی قرار خواهند گرفت، کاربرد فراوان پیدا کردهاند 1]، .[2روش گرادیان مزدوج3 یکی از پرکاربردترین روشهای تکرار شونده برای حل دستگاههای معادلات خطی بزرگ است، که این دستگاهها در استفاده از بسیاری از روشهای عددی مهم و پرکاربرد، مانند روشهای تفاضل محدود و اجزاء محدود جهت حل معادلات دیفرانسیل پارهای حاکم بر مسائل تحلیل سازه، تحلیل مدار و مسائل مختلف در زمینه ریاضیات کاربردی حاصل میآیند. روش فلتچر-ریوز4 یکی از انواع روشهای گرادیان مزدوج میباشد و دلیل استفاده از آن در مقاله حاضر اینست که این روش میتواند توابع مزدوج را با تعداد محدودی تکرار اصطلاحا مینیمم نماید، از طرفی هر تابع در نزدیکی نواحی اکسترمم آن تابع میتواند با تقریب بسیار خوبی با یک تابع مزدوج تقریب زده شود .[3] همگرایی روش فلتچر-ریوز در مراجع مختلف مورد بررسی قرار گرفته است .[9 -4]
مدلسازی ریاضی
هندسه مسئله اصلی مورد بحث یک تیر هدفمند اویلر-برنولی5 مطابق شکل - 1 - میباشد. در راهکاری که ارائه میشود با حل معکوس مسئله، شاخص مادی تیر هدفمند تخمین زده شده است. در تحقیق حاضر مسئله بدست آوردن فرکانسهای طبیعی با توجه به پارامترهای مسئله اصلی، مسئله مستقیم و بدست آوردن پارامتر شاخص مادی تیر هدفمند با دانستن فرکانسهای طبیعی، مسئله معکوس در نظر گرفته شده است.
مسئله مستقیم
مطابق شکل - 1 - تیر مورد نظر با طول L، عرض b و ضخامت h تحت شرایط مرزی ساده قرار دارد. برای فرمولبندی مسئله از دستگاه مختصات کارتزین مطابق شکل - 1 - استفاده شده است.
مشخصات مادی
در این مقاله فرض شده است که تغییرات مشخصات مادی در راستای ضخامت باشد، بنابراین پروفایل نسبت حجمی V، بر اساس رابطه توانی در راستای ضخامت مطابق زیر خواهد بودکه P میتواند هر یک از مشخصههای مادی از قبیل مدول یانگ E، مدول برشی G و چگالی باشد، Pt و Pb به ترتیب مقدار P در صفحه بالا - z=-h/2 - و صفحه پایین - z=h/2 - تیر مورد نظر می-باشند و شاخص مادی k، نیز پارامتری است که مشخص کننده پروفایل تغییرات مشخصات مادی در راستای ضخامت میباشد.
معادلات حاکم
در این مقاله فرض شده است تغییر شکل تیر در بازه الاستیک خطی باشد - نسبت به ابعاد تیر کوچک باشند - ؛ بنابراین با استفاده از تئوری تیر اویلر-برنولی خواهیم داشتکه u جابجایی طولی، u جابجایی طولی در صفحه میانی و w جابجایی عرضی تیر نسبت به حالت تعادل تیر میباشند، همچنین به ترتیب کرنش برشی و نرمال در صفحات و جهتهای مشخص شده میباشند. با فرض برقراری قانون هوک1، روابط تنش-کرنش برای تیر هدفمند اویلر-برنولی مطابق زیر میباشند معادلات حاکم بر سازههای دینامیکی برای ارتعاشات آزاد بر اساس اصل کار مجازی با استفاده از رابطه زیر بدست میآیند [11]که در آن WS کار مجازی میدان تنش در یک میدان مجازی کرنشمیباشد که مطابق زیر محاسبه میشود با جایگذاری روابط - 2 - و - 4 - در رابطه - 6 - رابطه زیر بدست خواهد آمدهمچنین کار مجازی نیروهای اینرسی در یک میدان مجازی جابجایی میباشد که مطابق رابطه زیر محاسبه میشود.
اجزاء محدود
به کمک توابع میانیابی مولفههای جابجایی نقطه i در راستای x و z ، که به ترتیب عبارتند از u و w ، را میتوان مطابق زیر بدست آورد [10]همانطور که مشاهده میشود - شکل xi - 2 مختصات محلی هر نقطه مورد نظر i، از المان -eام تیر نسبت به انتهای چپ همان المان ازتیر میباشد و - L 1…6 - qie , qie , qie به ترتیب جابجاییها، سرعت-ها و شتابهای گرهای المان -eام تیر میباشند.
مسئله معکوس
در حل معکوس مسئله مورد نظر فرض بر اینست که شاخص مادی تیر هدفمند k، مجهول میباشد درحالیکه تمام پارامترهای مورد نیاز دیگر برای حل مسئله مستقیم معلوم میباشند. از طرفی فرکانسهای طبیعی تیر مورد مطالعه به کمک آزمایش قابل اندازه گیری هستند.مسئله معکوس مورد نظر را میتوان تحت عنوان یک مسئله بهینه سازی و با مینیمم کردن تابع خطای زیر فرمول بندی کردکه در آن N تعداد فرکانسهای طبیعی است که به کمک آزمایش اندازه گیری میشوند، i و i به ترتیب فرکانس طبیعی -iام اندازه گیری شده به کمک آزمایش برای نمونه اصلی و فرکانس طبیعی -iام تخمین زده شده برای تیری با مشخصات مشابه نمونه اصلی و شاخص مادی دلخواه k، میباشند. برای بدست آوردن فرکانسهای طبیعی تخمین زده شده، از حل مستقیم مسئله به ازای شاخص مادی دلخواه مورد نظر استفاده شده است.
فلتچر-ریوز
بر اساس مرجع [3] الگوریتم تکرار شوندهی روش فلتچر-ریوز مطابق زیر میباشد:
-1 در نظر گرفتن شاخص مادی دلخواه به عنوان اولین انتخاب
.k1 -2 محاسبه اولین جهت جستجو1 مطابق زیر
-3 محاسبه J2 بر اساس رابطه - 14 - و با استفاده از رابطه زیر جهت محاسبه k2 که 1طول گام بهینه2 در جهت S1 میباشد و به عبارتی از حل معادله زیر بدست میآید که در مقاله حاضر برای حل معادله مذکور، تابع S1 - J - k1 با استفاده از روش فیبوناچی، مینیمم شده است. سپس قرار دادن i=2 و رفتن به مرحله بعد.
-4 محاسبه - J - ki J i و قرار دادن رابطه زیر
-5 یافتن طول گام بهینه iمطابق آنچه در گام سوم آمد و سپس یافتن شاخص مادی جدید بر اساس رابطه زیر - 20 -
