بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله روشی برای حل عددی معادلات انتگرال ولترا-فردهلم ارائه شده است. در این روش با استفاده از چندجملهایهای نیوتن، معادلات انتگرالی به یک د ستگاه معادلات ماتری سی با نقاط هممکان تبدیل میشود که حل این دستگاه منجر به حل عددی معادلات انتگرال میشود. درادامه آنالیز خطای روش مورد بررسی قرار گرفته و در انتها مثالی برای نشان دادن روش و مقایسهی آن با روش هم مکانی تیلور ارائه شده است.
واژه های کلیدی:معادلات انتگرال ولترا-فردهلم، چندجملهای نیوتن، نقاط هممکان.
مقدمه
بسیاری از مسائل فنی و مهندسی با معادلات انتگرال مدلسازی میشوند. از این رو این گونه معادلات توجه بسیاری را در آنالیز و محاسبات عددی جلب کردهاند .[1, 3, 4, 6, 9, 11]روش هممکانی به عنوان یک روش عددی کارآمد با امکان بهبود خطا به اندازهی دلخواه برای معادلات انتگرال، شناخته شده است. روشهای هممکانی برای حل معادلات انتگرال ولترا با جواب متناوب، تو سط بورانرا و همکارانش ارائه شده ا ست .[4] به طور خاص را شد [9, 10, 11] روش هممکانی لاگرانژ را برای محاسبهی جوابهای عددی معادلات انتگرال خطی ولترا و فردهلم به کار گرفت. همچنین از این روش برای حل عددی معادلات انتگرال نوع ولترا-فردهلم استفاده شده است .[2, 5, 7 , 8]
معرفی معادلات انتگرال ولترا-فردهلم مورد بحث
معادلات انتگرال ولترا-فردهلم را میتوان با روشهای عددی فراوانی مورد مطالعه و بحث قرار داد. از جملهی این روشها، روش هممکانی است. قصد داریم روش هممکانی نیوتن را برای دستهی خاصی از معادلات انتگرال ولترا-فردهلم برر سی نماییم. معادلات انتگرال ولترا-فردهلم نوع دومی که به بیان آنها میپردازیم عبارتند از:
که در آن توابع و ℎ - - برای = 1, 2, … 6 و برای= 1, 2 توابعی معلوم، و مقادیر ثابت، تابع مجهول معادله و ها برای = 1, 2 مقادیری حقیقی هستند و شرط 21 + 22 ≠ 0 برقرار است.
پیادهسازی روش هممکانی نیوتن
در این بخش به پیادهسازی روش هممکانی نیوتن برای حل معادلهی انتگرال ولترا-فردهلم - 1 - با تقریب زدن - - به صورت:
آنالیز همگرایی
در این بخش سعی داریم همگرایی روش بیان شده را با استفاده از چند جملهایهای نیوتن بررسی کنیم. ابتدا قضیهی زیر را بیان میکنیم.قضیه. فرض کنید - - یک تابع تعریف شده در [ , ]، 1 - , ℎ3 - - - و 2 - , ℎ5 - - - بر [ , ] × [ , ] به اندازهی کافی پیو ستهی هموار و به اندازهی دلخواه م شتقپذیر، - - جواب دقیق معادلهی - 1 - و - - جواب هممکانی نیوتن مرتبهی - 7 - باشند. در این صورت:
