بخشی از مقاله
چکیده
امروزه، یکی از روشهاي عددي رایج براي حل معادلات دیفرانسیل روش بیشبکه1 میباشد. براي بدست آوردن توابع شکل از شیوههاي تقریبی کمینه مربعات2 ودرونیابی نقطهاي3 استفاده میشود و پخش گرهها در دامنهي مسئله بصورت اختیاري میباشد و نیازي به ارتباط بین گرهها نمیباشد. در اینجا دو روش بی شبکه بر پایهي استفاده از دامنهي کلی4 ودامنهي محلّی5 مورد مطالعه قرار می گیرد. براي کاربرد این روشها، تیر یکسر گیردار در نگرهي تنش صفحهاي انتخاب شده و روند حل براي آن پیادهسازي میشود.
واژههاي کلیدي: روش بیشبکه، درونیابی نقطهاي شعاعی، کمینه مربعات، روش بیشبکه گلرکین6 ، روش بیشبکه پتروف-گلرکین7
-1 مقدمه
یکی از برجستهترین روشهاي عددي به کارگرفته شده براي حل معادلات دیفرانسیل، روش اجزاي محدود میباشد. این شیوه از سال 1950 تا به امروز، بطور عمده مورد استفاده تحلیلگران قرار گرفته است. روش اجزاي محدود، یک محیط پیوسته را به اجزاي جداگانه تقسیم میکند. اجزاي تقسیم شده با اتصال به یکدیگر شبکه را تشکیل می دهند. به دلیل تطابق پذیري بر هندسههاي پیچیده و پیاده سازي برروي رابطههاي خطی و غیرخطی در محیطهاي دو و سه بعدي، این روش به عنوان یک شیوهي قدرتمند عددي مورد توجه بوده است. بیشتر مسایل کاربردي مهندسی در زمینه جامدات و سازهها بوسیله تعداد زیادي از نرم افزارهاي تجاري توسعه یافته برپایه روش اجزاي محدود تحلیل میشوند. از سوي دیگر، این روش بطور ذاتی داراي محدودیتهایی است که از ارتباط بین گرهها ناشی شده است. بر جستهترین این کاستیها عبارتند از:
-1ساخت شبکه در اجزاي محدود هزینهبر میباشد.
-2 به علت ناپیوستگی در سطوح مشترك بین اجزا، در پیش بینی تنش سطح دقت پایینتري مشاهده می شود.
-3 انجام تحلیل تطابقپذیر در محیط سه بعدي دشوار است.
-4 روش اجزاي محدود در بررسی پارهاي از مسایل، ناکارآمد می باشد. براي نمونه، به موارد زیر میتوان اشاره کرد.
در تغییر شکلهاي بزرگ به دلیل اعوجاج اجزا از دقت نتایج کاسته میشود.
به سختی میتوان روند رشد یک ترك که منطبق بر سطح مشترك اجزا نباشد را شبیه سازي کرد.
شبیهسازي شکست قطعهاي با اجزاي بسیار زیاد،کاري
دشوار میباشد. چرا که جزء نمی تواند شکسته شود، جزء یا باید کامل بماند و یا بطور کامل از بین برود.در حقیقت ریشهي این مشکلات، نیاز به استفاده از اجزاء براي تحلیل مسایل است. با کنار گذاشتن اجزاء میتوان بر این مشکلات غلبه کرد. به این دلیل استفاده از روش بیشبکه رشد یافته است.
-1-1 تعریف روش بیشبکه شیوهي به کار گرفته شده براي حل معادله دیفرانسیل بصورت
عددي و تبدیل آن به دستگاه معادلات جبري بدون نیاز به ارتباط میان گرهها، روش بیشبکه نام دارد. اگر چه به دلیل گستردگی این شیوه، باید تعریف انعطاف پذیرتري براي آن بیان گردد. به این منظور، کمینه و بیشینه توانایی براي این روش ارایه میشود:
کمینه توانایی:
در مقایسه با سایر روشها، دیگر به شبکههاي از پیش تعریف شده براي ساخت تابع شکل نیازي نیست.
بیشینه توانایی:
هیچ نیازي به شبکه در تمامی روند حل معادله دیفرانسیلنمیباشد.
-2 تاریخچه
دو روش گردابی1 و اختلاف محدود عمومی از نخستین روش هاي مطرح شده در شیوه بیشبکه میباشد که به ترتیب در سالهاي 1973 و 1974 به کار گرفته شدند. اگر در روش اختلاف محدود پخش گرهها اختیاري باشد به آن روش اختلاف محدود عمومی گفته می شود. روش بیشبکه هیدرودینامیک جزء پیوسته2 در سال 1977 براي مدل کردن انفجار ستارهها به کار گرفته شد. در دههي نود میلادي این شیوه در سازهها و تحلیل رفتار مکانیکی کاربردي شد. براي آگاهی بیشتر از این شیوه میتوان به مرجع[1] مراجعه نمود. از ابتداي سال 1990تا به امروز پژوهشهاي بسیاري برروي روشهاي بیشبکه بر پایهي حالت ضعیف3 انجام شده است که ناشی از دو دلیل است:
-1 قدرتمند بودن حالت ضعیف نسبت به حالت قوي.4
-2 استفاده از شکل ضعیف در روش اجزاي محدود.
از شیوههاي متداول بی شبکه میتوان به روشهاي اجزاي پراکنده5 در سال 1992، روش بیشبکه گلرکین در سال1994، روش اصلاح شدهي هیدرودینامیک جزء پیوسته6 در سال 1995، روش گرههاي مرزي7 در سال 1997، روش بی شبکه پتروف-گلرکین در سال 1998، روشهاي درونیابی نقطهاي در سال 2000 و روش بیشبکه قوي-ضعیف در سال2004 اشاره کرد. در هیچ یک از این روشها از شبکه براي ساخت تابع شکل استفاده نشده است.
-3 دستهبندي روشهاي بیشبکه
بطور کلی شیوههاي بیشبکه بر پایهي دو معیار دستهبندي میشوند:
-1 ساخت توابع شکل: براي ساخت توابع شکل روشهاي گوناگونی وجود دارد. در بخش بعدي دو شیوهي درون یابی نقطهاي شعاعی و نیز کمینه مربعات بطور خلاصه شرح داده میشود.
-2 شیوهي رابطه سازي: بر این پایه، شیوه بیشبکه به سه دسته حالت قوي، حالت ضعیف و ترکیب حالت قوي و ضعیف تقسیمبندي میشود. در حالت قوي از معادله دیفرانسیل بدست آمده، استفاده میشود در حالی که در حالت ضعیف معادله دیفرانسیل تبدیل به معادلات انتگرالی میشود و همچنین توابع شکل با درجه کمتر براي حل معادله نیاز است. حالت ضعیف نیز خود به دو دسته استفاده از دامنه کلی و دامنه موضعی تقسیم بندي می شود. در حالت ترکیبی، از حالت قوي در داخل دامنهي مسئله و از حالت ضعیف براي مرزها استفاده میشود.
-4 شیوههاي ساخت
توابع شکل اصلیترین قسمت در روش بیشبکه، شیوهي ساخت توابعشکل بر پایهي گرههاي پخش شدهي اختیاري میباشد. بدون استفاده از ابزارهاي قدرتمند ساخت توابع شکل، روش بیشبکه امکانپذیر نبود.
-1-4 روش تقریبی کمینه مربعات این روش به وسیله ریاضیدانان براي برازش مناسب دادهها درساختن رویهها1 در دههي هفتاد میلادي ارایه شده بود. این راهکار در دسته بندي سريها قرار میگیرد و یک روش بسیار کارآمد براي ساخت توابع شکل در روش بیشبکه میباشد.براي توضیح این روش فرض شود میخواهیم رویهي u - x - را با استفاده از n گرهي دلخواه تعریف شده در دامنه، تقریب زده شود.تابع رویهي اصلی u - x - تابع رویهي تقریبیکه از روشتقریبی کمینه مربعاتحاصلمیشود uh - x - در رابطهي بالا x ، بردار xT x yاست. تابع تخمینی بهصورت زیر تعریف میشود:
m تعداد توابع پایهي چند جملهاي بکار گرفته براي تقریب رویه می باشد در حالی که n گره در تقریب مشارکت میکند - m n - .اگر معادله - 1 - براي n گرهي xi نوشته شود،داریم:
بردار a - x - برداري وابسته به x بوده و x نیز نقطهي مورد نظر براي تقریب میباشد. حال تابعُنرم بصورت زیر تعریف می گردد:
