بخشی از مقاله

چکیده

در این تحقیق معادله شرودینگر غیر خطی توسط یک شبکه عصبی backpropagation و براساس ورودي هاي z - مکان - و t - زمان - حل می گردد. خروجی هاي شبکه نیز اجزاي موهومی و حقیقی جواب هاي معادله می باشند. هدف مینیمم سازي تابع انرژي - خطا - حاصل از معادله و شرایط مرزي می باشد. شبکه با آموزش در یک بازه معین، قادر به تعمیم نتایج آن در هر - z,t - می باشد. این کار با کم کردن خطاي mean squared و نزدیک کردن آن به مقدار صفر صورت می پذیرد. روش NN ارائه شده در این تحقیق یک روش کلیبراي حل انواع معادلات تفاضلی می باشد.

کلید واژه- شبکه عصبی، شرودینگر غیر خطی، backpropagation، تابع انرژي - خطا -

-1 مقدمه

می دانیم که براي بیان دینامیک یک سیستم فیزیکی از معادلات تفاضلی - - DE استفاده می شودمعمولاً. براي حل این معادلات، آنها را توسط پاره اي از تبدیلات به فرمهاي آشنایی که راه حل هاي مشخصی دارند تبدیل می کنیم. ولی در بعضی موارد یافتن تبدیلات مناسب بسیار دشوار بوده و در نتیجه روش حل عددي مورد استفاده قرار می گیرد. در این حالت دقت جوابها بستگی به موارد زیر دارند:

الف - پایداري جواب با کمترین خطاي ممکن[7]

ب - تراکم کافی و مناسب نمونه هاي انتخاب شده[1]

در این تحقیق ما به حل معادله شرودینگر غیر خطی - NLSE - که از خانواده معادلات تفاضلی مختلط می باشد می پردازیم. بدین منظور از یک شبکه Feedforward backpropagation استفاده می کنیم. با استفاده از این روش جواب معادله با تقریب مناسبی براي نقاطی که خارج از محدوده آموزش شبکه می باشند بدست می آید. براي آموزش شبکه از تابع انرژي به عنوان خطا، که از خود معادله تفاضلی و شرایط مرزي حاصل شده استفاده می کنیم.انتخاب دقیق تابع انرژي براي آموزش شبکه، کاري دشوار می باشد.

مزایاي این روش نسبت به روش حل عددي:[2]

•جستجوي جواب بدون استفاده از تبدیلات مناسب

•آموزش شبکه براي اینکه معادله را به صورت تحلیلی حل کند

•عدم افزایش سریع پیچیدگی محاسباتی با افزایش تعداد نقاط نمونه برداري شده

•محاسبه سریع

در حالت کلی معادله شرودینگر غیر خطی - NLSE - یک از مفید ترین معادلات تفاضلی در فیزیک است. این معادله براي بیان انتشار میدان نوري در محیط غیرخطی، پلاسما و برهم کنش امواج نوري و ... بکار می رود. جستجو براي راه حل هاي جدیدي براي حل این معادله همچنان به عنوان رقابتی بین فیزیکدان ها و ریاضیدان ها ادامه دارد.

-2 روش کار شبکه عصبی در حل معادله تفاضلی

معادله NLSE به دسته معادلات تفاضلی - DE - که به صورت معادله - 1 - بیان می شوند تعلق دارد.که  - x1,x2,..., xm1 - و DI ,DR به ترتیب قسمتهاي حقیقی و موهومی تابع می باشند. براي بدست آوردن مقادیر منحصر بفردي براي برقراري شرایط مرزي K ضروري است.

-1-2 معادله شرودینگر غیرخطی - NLSE -

انتشار یک پالس نوري داخل یک فیبر نوري غیرخطی تک مد در حالت بدون تلفات با رابطه - 3 - بیان می شود.

دامنه میدان نوري در مکانz و زمان t به صورت رابطه - 4 - است:

در سمت چپ معادله شرودینگر - - 3 به ترتیب عبارت اول بیانگر انتشار، عبارت دوم پراکندگی و عبارت سوم خاصیت غیرخطی بودن می باشد که با افزایش بطور معنی داري افزایش می یابد.معادلات 5 - و - 6 بیانگر شرایط مرزي حاکم بر معادله شرودینگر غیرخطی می باشند.

-2-2 ساختار شبکه

شبکه مورد استفاده به صورت سه لایه با یک لایه ورودي و یک لایه خروجی و یک لایه میانی یا مخفی تعریف می شود - شکل . - 1 تعداد نرونهاي لایه ورودي به تعداد پارامترهاي ورودي یعنی z , t به همراه یک بایاس ثابت 1 می باشد. لایه خروجی نیز داراي دو نرون براي دو پارامتر I ,R ، قسمتهاي موهومی و حقیقی خروجی است. لایه مخفی نیز داراي H نرون است که با آزمایش و خطا مناسبترین مقدار براي آن انتخاب می شود.براي حل معادله شبکه را با روش gradient-descent backpropagation آموزش می دهیم.[5] جواب شبکه عصبی بستگی به نحوه نزدیک شدن تابع انرژي به صفر در طی مراحل آموزش دارد.هدف ما از آموزش شبکه یافتن مقادیري براي وزنهاست که در آنها خطا مینیمم مقدار را داشته باشد. براساس روشgradient-descent تغیرات وزن ها از معادلات 7 - و - 8 بدست می آید.[9]q تعداد تکرار مراحل آموزش و نرخ یادگیري شبکه هستند. براساس رابطه - 4 - خروجی شبکه به فرم  - z,t - R  jI است که به صورت روابط 9 - و - 10 بعد از q بار تکرار، بر اساس وزن ها و توابع تبدیل شبکه بدست می آید.[10]

-3-2 تابع انرژي و مراحل آموزش شبکه

فرم کلی تابع انرژي معادله شرودینگر به صورت عبارت - 15 - است. که در آن، عبارت  E1q براساس رابطه - 3 - وبقیه عبارات یعنی E2q ,E3q از روي روابط 5 - و - 6 جا گذاري می شوند.  براي آموزش شبکه ابتدا خروجی لایه هاي مختلف براساس تعاریف و توابع تبدیل 11 - و - 13 تعریف می شود، سپس در هر مرحله با محاسبه خطا که به صورت تابع انرژي - 15 - تعریف شده سعی می کنیم با تغیرات وزن هاي هر یک از لایه ها - w ,v - مقدار این خطا را هر چه بیشتر به صفر نزدیک کنیم.که در این حالت y hq خروجی لایه میانی است. تابع تبدیل لایه خروجی نیز به صورت خطی انتخاب می شود.خروجی لایه میانی - مخفی - نیز بدین صورت بدست می آید.تابع تبدیل بین این دو لایه یعنی fH    برابر است باو در حالت کلی داریم:در هر مرحله بعد از محاسبه مقادیر I ,R مقدار خطا را محاسبه می کنیم اگر مقدار خطا در طی چند مرحله در حال کاهش باشد مقدار را افزایش داده و به آموزش شبکه ادامه می دهیم ولی اگر مقدار خطا در طی چند مرحله افزایش یافت را کاهش می دهیم.[2,6]

-4-2 ورودي ها و الگوهاي آموزش

مجموعه ورودي هاي که براي آموزش شبکه استفاده می کنیم شامل 3104 ورودي به صورت - z,t - می باشد که در بازه زیر انتخاب شده اند.براي ورودي و الگوهاي آموزش این شبکه دو دسته پالس Gaussian , hyperbolic انتخاب شده اند که براساس تغیرات , آنها شبکه هر بار دوباره آموزش می یابد.ورودي تست براي پالس ورودي گوسین شامل 1.2105 نقطه در بازه می باشد. در حالات مختلف پالس گوسین، عبارت - z,t - به صورت زیر تعریف می شوند: - 1,  0 پالس با پراکندگی کامل و بدون خاصیت غیرخطی -

در متن اصلی مقاله به هم ریختگی وجود ندارد. برای مطالعه بیشتر مقاله آن را خریداری کنید