بخشی از مقاله
این مقاله دارای فرمول های زیادی میباشد
چکيده
روش هاي گوناگوني جهت پايدار نمودن مسائل بدوضع تا کنون مطرح گرديده است . اين روشها را مي توان عمدتا تحت عنوان روش هاي مستقيم و تکراري تقسيم بندي نمود. تجربه نشان داده که عملکرد روش هاي پايدارسازي بر روي مسائل بدوضع يکسان نبوده و در مورد هر يک از مسائل بدوضع تکنيکهاي مختلف پايدارسازي رفتار متفاوتي را از خود نشان مي دهند. بدين لحاظ لازم است در مورد مسائل بدوضع با بررسي تکنيک هاي مختلف پايدارسازي بهترين تکنيکي را که از نظر تئوري و منطق با مسئلة بدوضع مورد نظر هماهنگي دارد را انتخاب و بکارگيري نمود. در اين مقاله دو خانواده از روش هاي مستقيم جهت پايدارسازي مسئلة انتقال به سمت پائين از طريق انتگرال آبل پواسن جهت تعيين ژئوئيد بدون استفاده از فرمول استوکس مورد بررسي قرار گرفته اند. اين دو خانواده عبارتند از: (۱) روش هاي تجزيه مقادير منفرد منقطع (معمولي و تعميم يافته )١ روش هاي تيخونوف تعميم يافته ٢ (با نرم ها و نيم -نرم هاي در زير فضاهاي سوبولف نتايج عددي نشان مي دهند که روش "تيخونوف تعميم يافته با استفاده از نرم گسستة زيرفضاي سوبولف داراي دقت بهتري نسبت به ساير روش ها بوده و داراي سازگاري بيشتر با حل معکوس معادله انتگرالي آبل -پواسن در پايدارسازي مسئله انتقال به سمت پائين است . در مقابل روش "تجزيه مقادير منفرد تعميم يافته (TGSVD) با اپراتور گسسته شدة مشتق دوم " داراي دقت و سازگاري کمتر با مسئله مذکور است .
واژه هاي کليدي : انتقال به سمت پايين ، مسئله بدوضع ٤، تجزيه مقادير منفرد منقطع ، روش تيخونوف تعميم يافته ، زيرفضاي سوبولف
مقدمه
در حل عددي دستگاه هاي معادلات ، بنابر وضعيت جواب مسئله ، يعني وجود، يکتايي و يا وضعيت پايداري جواب (يا به عبارت ديگر پيوستگي تابع جواب بر حسب تغييرات داده هاي ورودي )، روش هاي گوناگوني مورد استفاده قرار مي گيرند. به عبارت ديگر تا زماني که سه شرط (۱) وجود، (۲) يکتايي و (۳) پايداري جوب تأمين باشند، روش هاي معمول حل دستگاه هاي معادلات مي توانند مورد استفاده قرار گيرند، اما در صورت عدم برقراري هر يک از شروط ياد شده ، با يک مسئلة بدوضع مواجه خواهيم بود که حل آن نيازمند تمهيدات ويژه است .
به عنوان مثال جهت رفع مشکل ، يکتائي لازم است ، نقض تعريف مسئله با افزودن اطلاعات ديگر به مسئله ، برطرف گردد. در اين مقاله هدف ارائة روش هاي مستقيم جهت پايدارسازي مسائل ناپايدار است . در اوايل قرن پيش ، هادامارد اولين کسي بود که بحث دستگاه هاي معادلات خوش وضع و بدوضع را مطرح نمود. ايشان دستگاه هاي معادلاتي را که در آنها سه شرط ياد شده برقراراند را مسائل "خوش وضع ٥" و مسائلي که در آنها يکي از سه شرط نقض گرديده باشد، را مسائل "بدوضع " نام گذاري کردند.
هادامارد براين عقيده بود که مسائل بدوضع تنها جنبه تصنعي داشته و نمي تواند در حل مسائل فيزيکي موضوعيت يابند. بر خلاف نظر او امروزه شاهديم که مسائل بدوضع در قالب مسائل معکوس در حل معادلات انتگرالي خصوصاً معادلات انتگرالي فردهولم نوع اول در اغلب شاخه هاي مهندسي و فني به طور گسترده مورد استفاده قرار مي گيرند. مثال هاي ذيل مي توانند نشان گر تنوع کاربرد مسائل بدوضع در حل مسائل فيزيکي در جهان کنوني باشند: (۱) اکتشافات زمين شناسي در تعيين موقعيت ، شکل ، دانسيته ي اجرام و برخي پارامترهاي دروني زمين با استفاده از اندازه گيري هاي روي سطح زمين ، (۲) مسائل معکوس پراکنش ٦ در تعيين شکل اشياء با استفاده از اندازه گيري شدت و فاز امواج پراکنده شده به - وسيله ي شيئ ، (۳) تصويربرداري به روش توموگرافي در مبحث پزشکي ، (۴) مسائل معکوس ِ استيفان جهت مدلسازي ذوب يخچال هاي قطبي .
يکي از مسائل بدوضعي طرح شده در ژئودزي ، حل معکوس اپراتور انتگرالي آبل -پواسن براي تبديل مشاهده شتاب ثقل تفاضلي از روي سطح زمين به پتانسيل ثقل تفاضلي بر روي بيضوي رفرانس ، جهت مدل سازي ميدان ثقل و تعيين ژئوئيد مي باشد. در اين زمينه مي توان به کارهاي انجام شده توسط (٢٠٠٠ ,Ardalan)[۱]، (Ardalan and Grafarend, 2004)۲[ ]،Safari, ) (٢٠٠٤[۱۵] و (٢٠٠٥ ,.Safari et. Al) [۱۶] اشاره نمود.
معادله انتگرال آبل -پواسن که شتاب ثقل تفاضلي را به پتانسيل ثقل تفاضلي بر روي بيضوي رفرنس تبديل مي کند به صورت زير مي باشد [۱۵]:
در معادله انتگرالي فوق ، شتاب ثقل تفاضلي در هر نقطه مانند: در سيستم مختصات منحني - الخط بيضوي ژاکوبي ، تابع پتانسيل بر روي بيضوي رفرانس کرنل آبل -پواسن مي باشد که به صورت زير معرفي مي شود:
نيز بترتيب تابع وزن و مساحت بوده که بصورت ذيل تعريف مي گردند:
معادله انتگرالي آبل -پواسن فوق الذکر از نوع معادله انتگرالي فردهولم نوع اول است ، در حالت کلي بر روي ناحيه به صورت ذيل تعريف مي شود [۱۴]:
به عبارتي ديگر تابع g را مي توان حاصل از اپراتور انتگرالي K بر روي f به صورت ذيل دانست :
که در آن :
تابع g و کرنل ِ k معلوم بوده ، در حالي که f مجهول ، و هدف نيز يافتن آن است . اگر براي کرنل k داشته باشيم :
آنگاه اپراتور K يک اپراتور هيلبرت اشميت بوده ، و لذا يک اپراتور فشرده نيز خواهد بود. کرنل اپراتور انتگرالي آبل -پواسن نيز در شرط هيلبرت اشميت صدق مي کند[۱۵]، از اين رو اپراتور آبل -پواسن يک اپراتور فشرده است . پس با توجه به قضيه ذيل [۱۷] اپراتورِ معکوس انتگرال آبل -پواسن بي کران بوده و جواب معادله آبل -پواسن تابع پيوسته اي از داده هاي ورودي (مشاهدات
تفاضلي ) نمي شود:
قضيه : اگر K يک اپراتور کراندار فشرده و معکوس پذير باشد و بر روي يک فضا با بعد متناهي تعريف شده باشد آنگاه معکوس آن يک اپراتور بي کران است .
لذا شرط پايداري مسئله نقض گرديده و حل معکوس ِ معادله آبل -پواسن يک نيازمند حل يک مسئله بدوضع خواهد بود. به دليل بي کران بودن معکوس اپراتور مسئله ، اين امکان وجود دارد که حضور خطاي کوچکي در مشاهدات سبب ايجاد خطاي بزرگي در جواب مسئله گردد. بدين جهت در رفتار با اين گونه مسائل (مسائل بدوضع ) با اطمينان از وجود و يکتايي جواب ، براي حصول جواب پايدار، روشهائي ارائه مي گردند، که به آنها روش هاي پايدارسازي گفته مي شود. در روش هاي پايدارسازي با در نظر گرفتن فرضيات خاصي براي مسئله بدوضع يک اپراتور جديد جايگزين اپراتورِ معکوس مسئله شده که به آن اصطلاحاً "اپراتور معکوس ِ پايدار شده ٨" و يا "استراتژي پايدارسازي ٩" اطلاق مي گردد. در عمل مشکل ديگري نيز که در حل معکوس انتگرال فردهولم نوع اول بوجود مي آيد، که آن عدم اطلاع از تابع g (مشاهدات ) در تمامي نقاط فضا است ، چرا که عملا تابع g صرفاً در تعداد نقاطي محدود از فضا معلوم مي باشد. بدين لحاظ ناگزير به گسسته سازي معادله بدوضع هستيم . لازم به ذکر است که از نظر رياضي ، گسسته سازي معادلات بدوضع ، خود يک پايدارسازي محسوب مي شودد[۱۰]، چرا که معادلات انتگرالي بدوضع پيوسته به معادلاتي با بعد متناهي و اپراتور مسئلة بدوضع نيز به اپراتوري با بعد متناهي (يک ماتريس ) تبديل مي شده و لذا اپراتور معکوس ِ(و يا شبه وارون ) ماتريس حاصل از گسسته سازي از ديدگاه رياضي يک اپراتور خطي و پيوسته خواهد بود. اما عملا در حل عددي اين مسائل کماکان با مشکل بدشرايطي ١٠ مسئله مواجه ايم . همچنين پس از گسسته سازي مسائل بدوضع ، معادلات به دست آمده هنوز داراي پاره اي از خصوصيات معادلات بدوضع پيوسته اوليه (همچون ، پيوستگي مقادير منفرد، روند رو به صفر آنها و رفتار نوساني بردارهاي منفرد) بوده ، که و بدين سبب به معادله حاصل از گسسته سازي ، «مسائل بدوضع گسسته » اطلاق مي شود.
در اين مقاله ابتدا روش هاي تجزيه مقادير منفرد (معمولي و تعميم يافته ) را به عنوان ابزاري سودمند در حل دستگاه هاي معادلات بدوضع گسسته مطرح نموده ، سپس به بحث استراتژي پايدارسازي ، در پايدارسازي مسائل بدوضع پرداخته ، و پس از آن به روش هاي مشهور پايدارسازي ، مانند روشهاي منقطع و روش هاي تيخونوف (استاندارد و تعميم يافته ) در مسئله انتقال به سمت پائين خواهيم پرداخت .
تجزيه مقادير منفرد (معمولي و تعميم يافته ) (SVD,GSVD)
يکي از مهم ترين ابزارهاي تفکيک و تجزيه در تسهيل حل دستگاه هاي بزرگ خطي ، روش تجزيه مقادير منفرد است . اين روش ، خود تعميمي از روش تجزيه مقادير ويژة اپراتورهاي مربعي است ، با اين تفاوت که در اين روش هر ماتريس با هر بعد را مي توان به حاصل ضرب سه ماتريس که يکي از آنها قطري ، و دو ماتريس ديگر نيز ماتريس هايي اورتوگونال و يا معکوس پذير مي باشد، تبديل نمود.
به عبارتي ديگر در اين روش براي هر ماتريس با هر بعد دو ماتريس يافت مي گردد، به طوري که با اعمال دو ماتريس يکي از چپ و ديگري از راست ، يک ماتريس قطري حاصل مي شود. از اين رو اين روش در زمرة روشهاي قطري سازي ١١ نيز مي باشد. روش تجزيه مقادير منفرد از آنجائي که به خوبي تمامي مشکلات موجود در ماتريس بدشرايط A (حاصل از گسسته سازي مسئله بدوضع ) را آشکار ساخته و خصوصيات کرنل همچون (۱) پيوستگي مقادير منفرد، (۲) روند رو به صفر مقادير منفرد و (۳) رفتار نوساني بردارهاي منفرد را در بر دارد، ابزار بسيار مفيد در تحليل مستقيم مسائل بدوضع گسسته به شمار مي رود. استفاده از روش هاي تجزيه مقادير منفرد معمولي و تعميم يافته در تحليل مسائل بدوضع گسسته به کارهاي (١٩٧١,Hansen R.J) و (١٩٧٣, Varah J.M) بر مي گردد.
تجزيه مقادير منفرد معمولي
اگر معادله گسسته شده مسئله بدوضع به صورت زير باشد:
آنگاه يکي از ابزارهاي کار با اين مسئله روش «تجزيه مقادير منفرد» ماتريس A است . براي آساني کار فرض مي نمائيم که باشد . دراين حالت تجزيه مقادير منفرد ماتريس A به صورت ذيل خواهد بود:
درمعادله فوق و ماتريس هايي با ستون هاي ارتونرمال است ،
ستون هاي ماتريس هاي Uو V را به ترتيب بردارهاي منفرد چپ و راست ماتريس A مي نامند. عناصر قطر اصلي ماتريس تابع کرونکر) غير منفي بوده و غالباً به ترتيب ذيل قرار مي گيرند:
مقادير قطر اصلي Σ، مقادير منفرد ماتريس A و نسبت عدد شرط ماتريس ناميده مي شود، از روابط
ديده مي شود که ماتريس A به شدت به تجزيه مقادير ويژه ماتريس هاي AAT,ATA وابسته است . اين وابستگي يکتايي تجزيه مقادير منفرد را نشان مي دهد که از يکتايي تجزيه مقادير ويژه ماتريس هاي متقارن نتيجه مي گردد.
در ارتباط بامسائل بدوضع گسسته دومشخصه اصلي براي تجزيه مقادير منفرد اغلب يافت مي گردد:
١. مقادير منفرد به تدريج بدون گسستگي به سمت صفر ميل مي کند و افزايش ابعاد A، تعداد مقادير منفرد کوچک را افزايش خواهد داد.
٢. در حالي که با افزايش انديس کاهش مي يابد بردارهاي منفرد نيز با افزايش i مرتبا تغيير علامت مي دهند.
همچنين با توجه به رابطه اصلي تجزيه مقادير منفرد در ابتداي بخش روابط زير نيز حاصل مي گردد.
به طوري که در آن به ترتيب بردار مجهولات واقعي و بردار مشاهدات واقعي مي باشد، با فرض آنکه رابطه نيز بين آنها برقرار باشد داريم :
تجزيه مقادير منفرد تعميم يافته
همان گونه که در روش تجزيه مقادير منفرد معمولي مشاهده شد، تجزيه مقادير منفرد ماتريس ضرائب مجهولات دستگاه معادلات از طريق ستون هاي ماتريس پايه اي براي فضاي جواب ها به وجود مي آورد. حال مي خواهيم بدانيم آيا بردارهاي پايه اي مناسب براي فضاي جواب خواهد بود يا خير؟ تاثير انتخاب پايه اي براي فضاي جواب ، براي حل دستگاه هاي معادلات گسسته کوچک چندان محسوس نبوده ، اما در حل دستگاه هاي معادلات پيوسته (انتگرالي ) با بعد نامتناهي و دستگاه هاي معادلات بزرگ گسسته حاصل از گسسته سازي معادلات انتگرالي ، انتخاب يک پايه مناسب براي فضاي جواب از اهميت بسيار بالائي برخوردار است . همانطور که در حل دستگاه معادلات
بدوضع گسستة (۱۲)، ملاحظه مي شودد، اگر بردارهاي پاية مناسبي براي فضاي جواب باشد، آنگاه همگرايي مسئله به سمت جواب سريعتر شده و تأثير مقادير منفرد کوچکتر و بردارهاي منفرد با نوسانات شديد بر روي جواب کاهش مي يابد. از اين رو در حل دستگاه هاي معادلات بدوضع گسسته ، از ابزار تجزيه مقادير منفرد تعميم يافته استفاده مي شود چرا که در اين روش مي توان پايه فضاي جواب را تغيير داد.
اپراتور معکوس پذير را در نظر بگيريد که بر روي فضاي جواب اعمال گرديده و موجب تغيير پايه فضاي جواب باشد (مانند تبديل فوريه که برداري را از حوزه زمان به حوزه فرکانس مي برد). در اين صورت هر بردار x در فضاي جواب را مي توان به صورت بردار نوشت :
که بردارهاي ستونهاي ماتريس است ، در اين صورت داريم :
پس در حل دستگاه با انتخاب صحيح L مي توان يک پايه مناسب براي فضاي جواب ها توليد نمود.
از طرفي حل دستگاه فوق ، معادل حل دستگاه مي باشد، لذا با استفاده از تجزيه مقادير منفرد خواهيم داشت :
تغيير ترتيب مقادير منفرد سبب تغيير در تجزيه مقادير منفرد نشده و تنها ترتيب بردارهاي منفرد تغيير مي دهد. در تجزيه فوق هنوز عمل قطري - سازي بر روي اپراتور A جهت تسهيل حل دستگاه معادلات ، صورت نگرفته است . تعريف دو ماتريس قطري M و S به صورت ذيل ، مي تواند در برگيرندة قطري سازي جفت ماتريس A, L گردد.
پس داريم :
بنابراين ، خواهيم اشت :
به تجزيه فوق براي جفت ماتريس A, L تجزيه مقادير منفرد تعميم يافته اطلاق مي گردد. در حالت جامع تر، تجزيه مقادير منفرد تعميم يافته براي هر جفت ماتريس به صورت ذيل قابل تعريف است [۴]:
در روابط فوق ستون هاي ماتريس هاي U و V اورتونرمال بوده و ماتريس هاي و داراي عناصر غير منفي با ترتيب ذيل مي باشند:
همچنين ضرائب (۲۰) طوري نرماليزه گرديده اند که :
مقادير منفرد تعميم يافته نيز به صورت ذيل تعريف مي - گردند:
از طرفي ماتريس شبه وارون L يعني †L و ماتريس †AL نيز به صورت ذيل است :
پس مقادير منفرد تعميم يافته همان مقادير منفرد معمولي ماتريس †AL هستند.
اگر ماتريس X يک ماتريس معکوس پذير با ستون هاي "ATAمتعامد" باشد، يعني اگر ستون هاي ماتريس X باشد، در آن صورت داريم
با فرض آنکه بين مقادير واقعي مجهولات و مقادير واقعي مشاهدات رابطه بر قرار باشد، مشابه رابطه (۱۲) مي توان نتيجه گرفت که :
پس حصول به يک پايه مناسب براي فضاي جواب ، مستلزم انتخاب صحيح ماتريس L است .
خصوص مسائل خاص وجود داشته و بنا بر اطلاعات
متأسفانه مقالات بسيار اندکي ، در تعيين L آن هم در نگارندگان تا کنون اقدامي در خصوص ارائة الگوريتم جامعي جهت اتخاذ ماتريس L صورت نگرفته است .
همانگونه که در ادامه خواهيم ديد، در روش پايدارسازي استاندارد تيخونوف ، ماتريس در نظر گرفته شده که در بسياري از مسائل کاربردي اين انتخاب ، يک انتخاب بهينه نمي باشد. به عنوان مثال در ( Oray and ,pratt)، بحث ارجحيت ماتريس Lاي که بر بردار اثر پايدارسازي ندارد، نسبت به ماتريس يکه مطرح گرديده است .
معکوس ِ پايدارشده ( استراتژي پايدارسازي )
مسئله بدوضع را در نظر بگيريد. معکوس ِ پايدار شده ( استراتژي پايدارسازي )
به اعضاي خانواده اي از اپراتورهاي خطي و کراندار اطلاق مي شود که براي آنها رابطة ذيل برقرار بوده
يا عبارت ديگر اپراتور همگرايي نقطه اي به اپراتور هماني داشته باشد. به پارامتر نيز پارامتر پايدارسازي اطلاق مي گردد. در اغلب روش هاي پايدارسازي سه خاصيت عمده براي معکوس پايدار شده يافت مي گردد که عبارتند از:
۱. ُنرم اپراتور معکوس پايدار شده به عنوان تابعي از پارامتر پايدارسازي داراي خاصيت ذيل است :
۲. هنگامي که نرم خطاهاي موجود در داده هاي ورودي به سمت صفر ميل مي کند، پارامتر پايدارسازي نيز به عنوان تابعي از نرم خطاها به سمت صفر ميل خواهد نمود:
۳. اگر نرم خطاهاي موجود در دادههاي ورودي صفر گردد، معکوس پايدار شده به اپراتور معکوس K1 (و در حالت گسسته به معکوس تعميم يافته †K) ميل مي نمايد:
در اين صورت با توجه به استراتژي پايدارسازي جواب پايدار شده براي دستگاه معادلات بدوضع مفروض به صورت ذيل معرفي مي گردد:
در مسائل بدوضع گسسته نيز مي توان با استفاده از ابزار تجزيه مقادير منفرد (معمولي و تعميم يافته ) استراتژي پايدارسازي را به صورت ذيل معرفي نمود. به طوري که اگر دستگاه معادلات بدوضع گسسته به صورت ذيل باشد:
با استفاده از تجزيه مقادير منفرد معمولي استراتژي پايدارسازي به صورت ذيل تعريف مي گردد:
و همچنين با استفاده از تجزيه مقاد٢ير١ منفرد تعميم يافتة جفت ماتريس A, L داريم :
به درايه هاي ماتريس قطري Θ ضرايب فيلتر اطلاق
مي گردد. هر يک از ضرايب فيلتر به عنوان تابعي از پارامتر پايدارسازي و مقدار منفرد متناظر آن داراي خواص ذيل است :
۱. به ازاي هر داريم :
۲. به ازاي هر عددي مانند وجود دارد به طوري که : در تجزيه مقادير منفرد معمولي و در حالت تعميم يافته
۳. به ازاي تمامي مقادير منفرد داريم :
با توجه به روابط فوق الذکر مشاهده مي گردد که استراتژي پايدار سازي تعريف شده با استفاده از تجزيه مقادير منفرد معمولي و تعميم يافته ، خواص استراتژي پايدارسازي ، که پيشتر بدان اشاره گرديد را دارا مي باشد. با استفاده از ابزار تجزيه مقادير منفرد و نحوة انتخاب ضرايب فيلتر، روش هاي مختلف پايدارسازي شکل مي گيرند. که در ادامه به معرفي تعدادي از اين روش هاي ، که کاربردهاي بسياري در حل مسائل معکوس با استفاده از ابزار تجزيه مقادير منفرد دارند، مي پردازيم . "روش هاي منقطع "، "روش کمترين مربعات با کانسترين مربعي (LSQI)" و "روش تيخونوف (استاندارد وتعميم يافته )" از جمله روش هاي شناخته شده در مبحث پايدارسازي بوده که همگي از دسته روش هاي پايدارسازي مستقيم محسوب مي گردند. روش هاي ديگري نيز از جمله روش هاي غير مستقيم ، يا تکراري ، در مبحث پايدارسازي مطرح مي گردند، که بر خلاف روش هاي مستقيم همچون روش پايدارسازي تيخونوف ، که صرفا مختص پايدارسازي مسائل بد وضع مي باشند، همان روش تکرار مسائل خوش وضع بوده که در صورت بکارگيري در مورد مسائل بد وضع جواب پايدار را نتيجه داده و تعداد تکرار آنها نقش پارامتر پايدارسازي را ايفا مي نمايد.
روش هاي منقطع
همان گونه که مي دانيم ، به تعداد ستون هاي مستقل ماتريسي همچون A رتبه ماتريس گفته مي شود. از طرفي ديگر رتبه ماتريس A برابر تعداد مقادير منفرد مثبت آن است . در عمل غالباً اين تعريف نمي تواند مفيد واقع گردد، چرا که ممکن است ، ستون هاي ماتريس A از نقطه نظر رياضي مستقل بوده اما به سبب حضور خطاهايي چون : خطاهاي ناشي ازتقريب ، گسسته سازي و خصوصاً خطاهاي ناشي از گرد کردن از نقطه نظر عددي وابسته گردند. لذا از نقطه نظر عددي تعريف کاربردي و جامعتري نسبت تعريف رياضي رتبه ماتريس خواهيم داشت . رتبه عددي ماتريس A با تلورانس ، به صورت ذيل تعريف مي گردد:
به تعريف فوق "رتبه مؤثر" و يا "رتبه ي " ماتريس A گفته مي شود. به عبارت ديگر رتبه عددي ماتريس A برابر تعداد ستون هايي است که با وجود هر اغتشاشي با ُنرمي حداکثر برابر تلورانس در ماتريس A، استقلال خطي خود را حفظ نمايند. از طرفي ديگر با توجه به تجزيه مقادير منفرد A، رابطه زير برقرار است :
در مسائل بدوضع گسسته ماتريس A از ديدگاه رياضي کمبود رتبه نداشته ، اما در عوض داراي کمبود رتبه عددي است ، پس مي بايست يک يا چند مقادير منفرد بسيار کوچک در تجزيه مقادير منفرد ماتريس A وجود داشته باشد. حضور اين مقادير منفرد کوچک مي تواند سبب افزايش تأثير خطاي موجود در ضرايب فوريه مشاهدات در برآورد ضرايب فوريه مجهولات
گردد. براي رفع اين مشکل روش هاي پايدارسازي مطرح مي گردند که در آن ها يک ماتريس مانند جايگزين ماتريس A خواهد شد. در اين ماتريس سعي بر آن مي شود که تا حد امکان از تأثير مقادير منفرد کوچک کاسته گردد. لذا اين ماتريس همان ماتريس بدوضع گسسته A بوده که در آن صفرِ مطلق جايگزين مقادير منفرد کوچک گرديده است . يعني
