بخشی از مقاله
چکیده:
در این مقاله نشان خواهیم داد که برخی از مسائل مقدار مرزی قابل تبدیل به دستگاه معادلات قدر مطلق هستند. این نوع معادلات را با AVE نشان می دهیم، برای حل دستگاه AVE ابتدا آن را به صورت مساله نامقید درجه دوم مدل کرده و سپس روشی برای حل آن ارائه می دهیم. با توجه به اینکه مساله نامقید بدست آمده دیفرانسیل پذیر نیست و حل مدل از پیچیدگی های خاصی برخوردار است از روش نیون تعمیم یا فته برای حل آن استفاده می نماییم. همچنین روش الگوریتم تکراری حل دستگاه معادلات قدر مطلق را برای مساله مقدار مرزی بکار برده و با ارائه دو مثال محاسبات را انجام داده سپس در آخر نتایج را بدست اورده و با روش دیگری مقایسه می کنیم.
-1 مقدمه :
سیستم معادلات دیفرانسیل معمولی کاربردهای زیادی در مدل های ریاضی و مهندسی دارد. هنگامی که یک جواب در مقداری از متغیرهای مستقل صدق می کند، مساله تبدیل به مساله مقدار اولیه می شود. زمانی که پاسخ معادله در نقاط مرزی یک مجموعه مفروض، شرایط مشخصشده را دارا باشد، مساله معادلات دیفرانسیل معمولی منجر به مساله مقدار مرزی می شود. اگر شرایطی برای دو متغیر مستقل برقرار باشد، معادله را مساله مقدار مرزی دو نقطه ای می نامیم. بسیاری از مسایل در کنترل بهینه، واکنش های شیمی، فیزیک و ... به صورت مساله مقدار مرزی دو نقطه ای مدل می شوند. که در آن b R n , A R n n و . نشان دهنده قدر مطلق مولفه ها می باشد.
دستگاه معادلات - 1 - به این دلیل دارای اهمیت است که خیلی از مسائل برنامه ریزی ریاضی، مسائل مکمل خطی، نظریه بازی ها، مسائل اقتصادی و . . . قابل تبدیل به این نوع دستگاه معادلات هستند، که در بسیاری از موارد حل این نوع معادلات ساده تر از حل معادله اصلی است. در [7] نشان داده شده است که مسائل مکمل خطی با دستگاه معادلات قدر مطلق - 1 - معادل هستند. همچنین در طی سال های اخیر روش های حل مختلفی برای حل دستگاه معادلات - 1 - ارائه شده است که برای مطالعه بیشتر می توانید به 4]و8و9و10و12و14و[18 مرا جعه نمائید.
در اینجا نشان می دهیم که فرم خاصی از مسائل مقدار مرزی قابل تبدیل به این دستگاه معادلات هستند. سپس دستگاه بوجود آمده را باروش بهینه سازی حل می کنیم. بنابراین هدف ما در این مقاله این است که یک روش جدید و کارا برای حل مسائل مقدار مرزی که با دستگاه معادلات - 1 - هم ارز است، به کمک روش های بهینه سازی ارائه دهیم. ساختار مقاله به این صورت است که در بخش 2 به بیان هم ارزی مساله ی مقدار مرزی و دستگاه - 1 - پرداخته می شود. روش نیوتن تعمیم یافته برای حل در بخش 3 بیان شده است . در بخش 4 به ارائه مثال های عددی برای بررسی کارایی روش و الگوریتم پیشنهادی و مقایسه پرداخته می شود.
