بخشی از مقاله
چکیده - در این مقاله، روش اجزای متناهی بر اساس مرتب سازی -B اسپلاین مکعبی برای حل عددی کلاسی از مسائل مقدار مرزی دو نقطهای که بصورت تکین آشفته هستند ارائه شده است. همچنین این مسائل دارای یک لایه مرزی در یک یا دو نقطه نهایی هستند. به علت وجود لایه، از روش اسپلاین مرتب سازگار که بر روی یک شبکه غیر یکنواخت شیشکین بنا شده است استفاده میشود.
این شبکه و توابع اسپلاین بوسیله توابع مولدی که به دقت انتخاب شدهاند تولید میشوند. برای کنترل و حل مسئله در حالت غیرخطی، در صورت وجود، از یک رویکرد تکرارکننده جدید که از روش نیوتن الهام گرفته شده است، استفاده میکنیم. برای نشان کارایی و کاربرد روش از چندین مثال خطی و غیرخطی استفاده شده است. جوابهای عددی با جواب های تحلیلی موجود و روشهای عددی دیگر مقایسه شدهاند. نتایج عددی تایید میکنندکه این روش از روشهای موجود بهتر و دقیقتر است.
-1 مقدمه در این مقاله، به روش بی- اسپلاین درجه سوم به منظور حل عددی دستهای از مسائل مقدارمرزی دو نقطهای که به طور تکین دارای آشفتگی هستند میپردازیم. آشفتگی بدان معناست که این مسائل دارای پارامتری هستند که مقدار کوچکی دارد ولی هرگز صفر نمیشود. همچنین مقدار مرزی دونقطهای بدان معناست که جواب در مرزها مشخص است. به علت وجود لایه، مسئله بوسیله روش بی اسپلاین مرتب سازگار بر روی یک شبکه غیر یکنواخت که به دقت توسط توابع مولد تعریف شدهاند، حل میشود.
در حالتی که مسئله غیر خطی باشد، یک روش تکراری که از روش نیوتن استفاده میکند، به کار میرود تا این حالت، در صورت داشتن جواب، حل شود. همچنین با استفاده از اصل شبکه دوگانه، نرخ همگرایی مرتبه چهار محاسبه میشود. کارایی و کاربرد این روش بوسیله مثالهای خطی و غیرخطی نشان داده میشود. همچنین این روش با چند روش عددی و تحلیلی دیگر مقایسه خواهد شد. حل مسائل مقدار مرزی، منجر به فهم بهتری از مسائل مکانیک سیالات در رشتههای مختلف مانند مهندسی شیمی، زیست شناسی و... می شود. بنابراین هرگونه تلاش برای بهتر کردن روش حل مسئله که در واقع تلاش برای بهینه سازی زمان حل و حافظه مورد نیاز است، بسیار مفید خواهد بود.
همچنین انواع مختلف چند جملهای اسپلاین، همواره به عنوان یک جانشین با همواری بالا برای درونیابی و شبیه سازی به کار رفتهاند. بنابراین هر گونه تغییر در جهت توسعه آنها در مسائل مختلف ایده قابل اعتماد و ارزشمندی به نظر میرسد. حل این نوع معادلات که کاربرد مستقیم در مکانیک سیالات و شیمی و مخصوصا زیست شناسی دارد، به توسعه و حل مسائل صنعت در این رشتهها کمک می کند. بطور خاص میتوان به شرکتهای بزرگ نفتی اشاره کرد.
لازم بذکر است که شرایط و فرضهایی در مورد توابع اعمال میشود که وجود و یکتایی جواب را تضمین کند که در این مقاله به جزئیات آن نمیپردازیم. همانطور که گفته شد این مسئله کاربردهایی در شیمی وزیست شناسی دارد. برای بررسی بیشتر میتوان به کارهای لین - Lin and Cheng, 2009 - و همکاران در زیست شناسی اشاره کرد. بهعلاوه وانگ در دو مقاله معروف - Carey and Dinh, 1985 - و " - Christara and Sun, 2006 - مسئله مقدار مرزی" به جزئیات این مسئله به خصوص وجود و یکتایی جواب پرداخته است. دلیل اصلی جذابیت این مسئله وجود یک لایه مرزی نازک است که جواب مسئله را به سرعت تغییر میدهد . درصورتی که دور از این لایه جواب رفتار منظم و معمولی دارد. این رفتار دوگانه طبیعت مسئله و نحوه برخورد با آن را متفاوت و در حقیقت مشکل تر میکند.
-2 تابع -B اسپلاین
تابع - B اسپلاین، یک چند جملهای تکهای روی بازههای مختلف است. توابع - B اسپلاین خیلی مهم هستند، چون آنها تشکیل یک پایه برای اسپلاینها میدهند.
-1-2 روشهای حل مسئله مقدار مرزی بوسیله -B اسپلاین
روش اجزای متناهی Bاسپلاین- عموماً برای پیدا کردن - - Khui and Sayfy, 2010 و - - Deeba and Khuri, 1999 مسائل غیرخطی بهکار میرود. در این روشها مشبکسازی یکنواخت نیست. در لایه و نواحی نزدیک به آن مشها کوچکتر و در نواحی دیگر درشتتر هستند. همچنین ترکیب کردن اسپلاین با تکنیک سازگار حل مسئله مرزی دو نقطهای بر روی یک مشبکسازی غیر یکنواخت باعث درونیابی بهتر و خطای کمتر میشود.
در سالهای اخیر، مطالعات وسیع و تمرکز بیشتری بر روی روش های عددی حل مسائل به طورتکین آشفته شده است و محققان بیشتری کار بر روی جواب این مسائل را تحقیق و پیگیری می کنند. در منابع - Ahlberg and Ito,1975 - و - Bigge and Bohl,1985 - چندین روش بررسی معادلات لایه مرزی مورد تحقیق قرار گرفتهاند. همچنین در - Bin and Li, 2009 - ، حالات خاصی از مسئله - حالت همگن، وقتی تابع - - f - x,y - =0 و همچنین چندین مسئله مشابه توسط لین و همکاران در - - Bin and Li, 2009 بوسیله اسپلاین حل شدهاند. در این رویکردها، مسئله تبدیل به یک دستگاه خطی سه قطری تبدیل شده است.
-B -2-2 اسپلاین برای مسائل مقدار مرزی مربوط به زیست شناسی با آشفتگی تکین
در این تحقیق از تابع اسپلاین مرتبه 3 استفاده شده است تا یک کلاس از مسائلی که عمدتا در رشته زیست شناسی بوجود میآیند را حل کند.
-4-2 مسئله مقدار مرزی مرتبه دوم غیر خطی
عمده بحث ما روی اثبات وجود و یکتایی جواب برای مسائل مقدار مرزی دو نقطهای روی بازه بزرگ میباشد.
