بخشی از مقاله
چکیده
یکی از موضوعات مهم در مهندسی مالی کمیت بخشی به مفهوم نااطمینانی است به طوری که در هر فعالیت مالی ارزیابی فرآیندهایی که با این مفهوم سروکاردارند نظیر قیمت گذاری اختیار معامله، پرتفوی بهینه و ارزش در معرض ریسک ضروری است. رویکردهای شبیه سازی تصادفی بر مبنای ساخت اعداد تصادفی با توزیع یکنواخت پایه گذاری شده اند و بر این اساس الگوریتم های متنوعی برای ایجاد این چنین رشته اعدادی شکل گرفته اند. در مباحث مالی نظیر بودجه بندی سرمایه، قیمت گذاری اوراق مشتقه و تخمین ریسک مالی شبیه سازی تصادفی کارایی لازم را نشان دادند. در این مقاله ضمن معرفی این نوع شیبه سازی، به مواردی کاربردی در مهندسی مالی پرداخته شده است.
-1 مقدمه
علم آمار به دو شاخه نظری و تجربی تقسیم می شود و آمار تجربی به روش هایی اطلاق می شود که با استفاده از روش های شبیه سازی، خواص برآورد کننده ها مطالعه می گردد. این روش ها به شیبه سازی مونت کارلو معروف اند.[2] نام مونت کارلو اولین بار توسط متروپولیس1 به دلبل شباهت شبیه سازی آماری به بازی های شانسی و این که شهر مونت کارلو مرکز کشور موناکو مرکز بازی های شانسی بوده، به کار گفته شد.
در اقتصاد و علوم مالی نظیر بانکداری ، بیمه، مدیریت مالی و مدیریت ریسک، اغلب تصمیم گیری ها بر پایه روابطی شکل می گیرد که دست کم یک جز آن، از محاسبه ارزش های تنزیل یافته یک یا چند متغیر مربوط به اینده به دست امده است. از آنجا که در بیشتر موارد ارزش های چنین متغیرهایی نامعلوم است، لذا تصمیم گیری بر اساس پیش بینی اتخاذ می گردد. به جهت ساختار انتزاعی و محاسبات دقیق در سال های اخیر گرایش محققین این علوم به استفاده از روش های کارآمد ریاضی بیشتر شده است.
در [4] از این روش در پیش بینی ارزش در معرض ریسک استفاده شده است. این روش مشابه روش های مرسوم تاریخی پرتفوی های متشکل از اختیار معامله و سایر ابزارهایی که ارزش ان ها به صورت تابع غیر خطی از عوامل بازار است، را پوشش می دهد با این تفاوت که در این روش از اطلاعات تاریخی استفاده نمی شود؛ بلکه با استفاده از فرآیند های تصادفی و تولید تعداد زیادی نمونه توسط ماشین های محاسباتی، پیش بینی تغیررات آتی به انجام می رسد. تکنیک های مونت کارلو به جهت این که می توانند کلیه عوامل غیر خطی ریسک سبد و همچنین تمام مشخصه های توزیعی مطلوب مانند دنباله های پهن و نوسان های متغیر در طول زمان را مورد توجه قرار دهند، به مراتب کاراتر از سایر شیوه های شبیه سازی عمل می کنند.
ساختار این مقاله بر این اساس چیده شده است که در بخش دوم تعریف شبیه سازی و انواع آن تشریح می گردد. در بخش سوم اصول شبیه سازی تصادفی با رویکرد مونت کارلو تبیین شده و با سایر روش های تصادفی مقایسه می گردد. در بخش چهارم نحوه به کار گیری روش مونت کارلو در تعیین قیمت گذاری اختیار معامله توضیح داده خواهد شد و در پایان نتیجه گیری و پیشنهادها برای کار های آتی مطرح می گردد.
-2 شبیه سازی
شبیه سازی، ایجاد محیط ساختگی و استفاده از یک مدل نظری برای تخمین رفتار یک سیستم موجود در جهان واقعی است که این محیط رفتار سیستم را الگوبندی می کند. بسته به این که از شبیه سازی چه هدفی دنبال می شود و چه محدودیت هایی در به کارگیری ان وجود دارد، می توان آن را به چهار نوع تفکیک کرد [2] که در در پژوهش ها به طور منفرد یا ادغامی مورد استفاده قرار می گیرند:
· شبیه سازی مولد - نمونه سازی -
· شبیه سازی تحلیلی یا تکنیکی
· شبیه سازی راهبردی یا پی گردی
· شبیه سازی ذهنی یا شهودی
نوع دوم زمانی استفاده می شود که مقصود، نحوه رفتار مدل یا متغیر تحت بررسی- در صورت بروز تغییری در پارامترهای الگو- باشد و به نوعی مساله تحلیل حساسیت است. سومین نوع بیشتر در مواقعی به کار گرفته می شود که چگونگی اثر تغییر متغیری تحت کنترل بر متغیر مورد مطالعه مد نظر است و بالاخره آخرین نوع شبیه سازی همان الگو برداری از فرآیند تصمیم گیری مغز انسان در مورد متغیرهای تاثیرگذار است که پس از نسخه برداری در ساخت هوش های مصنوعی مانند دستگاه های شبیه سازی پرواز به کار گرفته می شود.[2]
-3 شبیه سازی مونت کارلو
عبارت مونت کارلو یک واژه بسیار عمومی است و روش هایی که در این گروه قرار می گیرند، از فنون آمار و احتمالات استفاده می کنند. این روش ها در همه علوم به ویژه در اقتصاد و مالی کاربردهای زیادی پیدا کرده است. وجه مشترک همه این ها در استفاده از اعداد تصادفی برای شبیه سازی پدیده ای حقیقی است؛ لذا زمانی یک روش در دسته مونت کارلو است که مشاهده گردد که در آن از رویکرد های خلق اعدادتصادفی استفاده شده است یا خیر؟
با توجه به این که مونت کارلو یک فن برای محاسبه نااطمینانی موجود در پیش بینی یک پیشامد احتمالی - نظیر ظهور شیر در پرتاب سکه - است، به ان شبیه سازی اعداد تصادفی نیز می گویند. این روش نیازمند یک الگوی ریاضی- آماری با دو جز کلی قطعی - تعیین پذیر - و تصادفی برای متغیر تحت بررسی است. فرض می کنیم به دنبال تعیین ویژگی های آماری متغیر Y که دارای توزیع ناشناخته است، می باشیم. همچنین از مطالعات پیشین دریافته ایم متغیر Y با متغیر X مطابق یکی از قوانین علوم کارردی نظیر اقتصاد در ارتباط است و این متغیر دارای توزیع شناخته شده است. به روش مونت کارلو به صورت زیر می توان به تخمین ویژگی های توزیع Y رسید:
· به وسیله ی یک دستگاه مولد - وسیله محاسباتی - یک سری اعداد تصادفی از توزیع احتمال یکنواخت با یک مقدار اولیه مانند الگوریتم تولید اعداد تصادفی پسدو2 تولید می کنیم.
· دنیاله اعداد تولید شده در گام نخست را با تبدیل مناسب به سری اعدادی با توزیع یکنواخت صفر و یک تبدیل می کنیم.
• از سری اعداد گام دوم برای ایجاد سری اعدادتصادفی با هر نوع توزیع احتمال شناخته شده متغیر X استفاده می کنیم.
· از دنباله اعداد تولید شده در گام سوم به عنوان داده ورودی رابطه نظری برای تولید متغیر Y بهره می گیریم.
· رشته اعداد تصادفی تولید شده در گام چهارم نمونه ای از جامعه اصلی به حساب می آیند و از این طریق می توان پارامترهای مربوط به ویژگی های توزیع آن را تخمین زد.
محاسبات مونت کارلو تقریبا آسان است و با هر دور تکرار صحت و دقت آن بیشتر می شود؛ اما سرعت این بهبود به دلیل استفاده از الگوریتم پسدو کم است. امروزه روش های شبه مونت کارلو و ادغامی[2] کارایی بیشتری نبست به روش سنتی مونت کارلو دارند اما همه این روش ها در اساس یکی اند. ذکر قضیه 1 در رفع ابهام روش شبیه سازی مونت کارلو موثر را ست: قضیه :1 اگر X یک متغیر تصادفی با توزیع یکنواخت بر بازه - ,1 - باشد و F تابع توزیع تجمعی دلخواه از یک متغیر پیوسته و Y F 1 - X - باشد، آن گاه Y دارای توزیع تجمعی F است.
-4 کاربردهای شبیه سازی تصادفی در ریاضیات مالی
در مباحث مالی، شبیه سازی تصادفی کاربردهای متفاوت دارد. هرتز در سال 1963 برای اولین بار این روش را در مسایل کسب و کار مورد استفاده قرار داد. سپس در مباحث جریان نقدی انتظاری آتی، بودجه بندی سرمایه ای، محاسبه ریسک، قیمت گذاری اوراق بهادار و ریسک های مربوطه مورد استفاده قرار گرفته است.[4] دسته اول کاربردها در ارزشیابی ابزارهای مشتقه مانند حق انتخاب ها و... است.
برای این منظور اگر فرض کنیم ارزش دارایی هایی که بر مبنای آنها این مشتقات شکل گرفته اند بر اساس توزیع لگنرمال بوده یا جواب یک معادله دیفرانسیل تصادفی[6] می باشند، این دنباله ها نقش متغیر X را درتوصیف اصل مونت کارلو نشان می دهند. دسته دوم کاربردها به ارزش گذاری اوراق قرضه که نرخ بهره مربوط به آن از یک فرآیند قدم زدن تصادفی تبعیت می کند، بر می گردد و نوع دیگر کاربردهای مالی برآورد ارزش ریسک پرتفوی متشکل از ابزار مالی است و در واقع، مقصود تعیین اطلاعاتی مربوط به واریانس تغییرات ارزش سبد مالی است و نه تخمین ارزش مورد انتظار آن.[3]
1-4 قیمت گذاری اختیار معامله- اختیار اروپایی
اختیار معامله، قراردادی است که به خریدار ان حق خرید یا فروش دارایی پایه یا ابزار مالی با یک قیمت اعمال معین و در یک تاریخ خاص را میدهد ولی خریدار در اجرای ان تعهد ندارد. فروشنده نزد کار گزاری برای انجام کامل معامله - خرید یا فروش - اگر خریدار خواهان اعمال باشد تعهد میدهد. اختیاری که به دارنده ان اجازه میدهد که دارایی را به قیمت مشخص خریداری کند اختیار خرید نامیده میشود. اختیاری که به دارنده ان اجازه میدهد که دارایی را به قیمت مشخص به فروش برساند اختیار فروش نامیده میشود. هر دو نوع اختیار فوق به طور رایج معامله میشود اما برای وضوح اغلب اختیار خرید مورد بحث قرار گرفته است.
فروشنده ممکن هست اختیار خرید را برای یک خریدار به عنوان بخشی از یک معامله دیگر از جمله به عنوان انتشار سهام یا به عنوان بخشی از طرح انگیزش کارکنان عطا نماید در غیر این صورت خریدار باید یک صرف را به فروشنده برای اختیار بپردازد. اختیار خرید به طور معمول باید هنگامی که قیمت اعمال شده - توافق شده - کمتر از ارزش بازار دارایی پایه در زمان سررسید است اعمال شود اختیار فروش به طور معمول باید هنگامی که قیمت اعمال شده - توافق شده - بیشتر از ارزش بازار دارایی پایه در زمان سررسید است اعمال شود.
هنگامی که یک اختیار معامله اعمال میشود هزینه خریدار برای کسب دارایی برابر است با قیمت اعمال به اضافه قیمت اختیار خرید و هنگامی که تاریخ سررسید یک معامله میرسد و معامله صورت نمیگیرد خریدار باید مبلغ زیان را به فروشنده بدهد. در بسیاری از حالات همین حق اختیار درآمد فروشنده هست و از دست دادن سرمایه برای خریدار هست. دارنده یک اختیار ممکن است ان را به یک شخص سوم بفروشد این کار در یک معامله در خارج از بورس یا در بورس اختیار معامله انجام میگیرد. قواعد نامگذاری برای کمک به شناسایی خواص مشترک انواع مختلف اختیار معامله کاربرد دارد که مهم ترین آنها به صورت زیر می باشند:
· اختیار معامله اروپایی: اختیار معامله فقط در تاریخ سررسید امکان اعمال وجود دارد.
