بخشی از مقاله
چکیده:امروزه معاملات اختیارات وابسته به مسیر، به دلیل ویژگیهایشان، بالاترین حجم معاملات در بازار OTC را دارا هستند. چرا که؛ اولا، اختیارات وابسته به مسیر میºتوانند، نیازهای خاص سرمایه_گذاران را برآورده کنند. دوما، اختیارات می_توانند نقش مهمی در پوشش ر یسک به عنوان یک راه مقرون به صرفه، بازی کنند. بنابراین قیمت]گذاری منصفانه این اختیارات بسیار حائز اهمیت است. برای این نوع از اختیارات هیچ فرمول تحلیلی بسته_ای برای محاسبه تحلیلی ارزش اختیار، وجود ندارد، ولی فرم بسته فرمول تقریبی برای ارزش]گذاری این نوع اختیار وجود دارد. فرم بسته فرمول تقریبی را شرح می_دهیم و سپس به کمک شبیه_سازی مونت کارلو و روش کنترل متغیر به بررسی راه_حل عددی برای انواع پیچیده_تر این نوع اختیار میyپردازیم.
١ مقدمه
اختیار آسیایی نوع خاصی از قراردادهای اختیار معامله نامتعارف است. بازده اختیار آسیایی براساس میانگین قیمت دارایی پایه در دوره زمانی قبلی تعیین می_شود. محاسبه میانگین ممکن است حسابی یا هندسی باشد. اختیار میانگین هندسی نسبتا قیمت]گذاری آسانی دارد و می_توان آن را به صورت تحلیلی با امید ریاضی گرفتن از نرخ ریسک طبیعی، با استفاده از این حقیقت که میانگین از توزیع لگ نرمال پیروی می_کند، قیمت]گذاری کرد. اختیار آسیایی با میانگین حسابی ویژگی^های اختیار هندسی را ندارد و فرایند قیمت]گذاری آن مشکل است. روش^های قیمت]گذاری برای اختیارات وابسته به مسیر، عددی یا تحلیلی هستند.
روش^های رایج عبارتند از روش معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی - PDE - و روش مونت کارلو. در روش اول، یک PDE با شرایط مرزی یا اولیه برای قیمت]گذاری یک اختیار حل می_شود. هنگامی که متغیرهایی به PDE اضافه میºشوند، این روش می]تواند بسیار پرهزینه باشد؛ مخصوصا در حالت نرخ بهره تصادفی و یا تلاطم تصادفی . - Forsyth at al. 1998, Vecer 2001 - بنابراین، شبیه_سازی مونت کارلو اغلب برای قیمت]گذاری اختیار حسابی آسیایی استفاده می_شود١. روش^های مونت کارلو، روش_هایی است که کمیتی را با استفاده از تخمین امید یک یا چند متغیر تصادفی محاسبه می_کند.
نتایج ارائه شده در جدول ١، نتایج بکارگیری روش مونت کارلو را نشان می_دهد. افزایش،Kا گرچه خطاهای استاندارد را کاهش می_دهد، شبیه_سازی را کم اثرتر نیز می_کند، چرا که، سرعت تخمین خطاهای استاندارد متناظر بسیار سریع_تر است. از سوی دیگر، زمانی که تعداد گام زمانی بیشتر می_شود، خطای استاندارد اصلا کوچکتر نمی_شود. حال می_خواهیم از روش کنترل متغیر برای ایجاد تقریب کاراتر استفاده کنیم. در حقیقت، می_توان از بسیاری از کنترل متغیرهای موجود استفاده کرد. یک حدس طبیعی، استفاده از میانگین هندسی اختیار خرید آسیایی logS - iTm - K - +٠ im= ١+١V = e rT - e m به عنوان متغیر کنترل، است.
علاوه بر این، از اختیار خرید اروپایی دار یم U = e rT - S - T - K - + که انتخاب دیگری است]٣.[ برای اینکه تاثیر هر دو متغیر کنترل را به وضوح ببینیم، هر دو را اعمال میNکنیم. جدول ٢، شکل_هایی که با استفاده از روش کنترل متغیر به دست آوردهMایم را نشان می_دهد. به آسانی می_توانیم ببینم که قیمت^های اختیار تحت دو متغیر کنترل، تقریبا مشابه است در حالی که خطاهای استاندارد به طور چمگیری متفاوت است.
انحراف استاندارد در برآورد با اختیار اروپایی به عنوان متغیر کنترل تقریبا ٪٠۵ کاهش یافته است. مشاهده می_کنید که معرفی میانگین هندسی اختیار آسیایی به عنوان متغیر کنترل تا حد زیادی انحراف استاندارد را، کاهش داده است. به عنوان مثال، طیف ٪۵٩ حدود اطمینان در حالت ٢٠-گام زمانی اختیار آسیایی با قیمت فعلی سهام ٩٠ از ۶۶٠۴.٠+ به ۴٠١٠.٠+ کاهش داشته است. برای رسیدن به همین کاهش به وسیله افزایش تعداد آزمایشات نیاز به حدود ٠٠٠،۶٣٠،۵١ آزمایش به جای ٠٠٠،١٠ نیاز دار یم.
بحث و نتیجه_گیری
از دیدگاه شبیه_سازی مونت کارلو، قیمت اختیار تنها با برآوردگرها به دست می_آید، بنابراین انتخاب آ گاهانه متغیر کنترل به منظور افزایش عملکرد قیمت]_گذاری از شبیهسازی، حیاتی است. از آن_جا که بسیار آسان است که جواب فرم بسته برای اختیار اروپایی و میانگین هندسی اختیار آسیایی داشته باشیم، از این دو نوع اختیار برای متغیر کنترل استفاده کردیم. نتایج به دست آمده از جدوال ١ و ٢، استفاده از میانگین هندسی اختیار آسیایی را به عنوان متغیر کنترل برای روش مونت کارلو پیشنهاد می_کند، چرا که تا حدود زیادی انحراف استاندارد به دست آمده را با ارائه بک فاصله اطمینان بار یک_تر بهبود میبخشد.
