بخشی از مقاله
چکیده -
روش بوهم اخیراً در کنار روشهایی مثل تابع گرین نامتعادل - NEGF - مورد توجه قرار گرفته است چرا که دارای قابلیتهای منحصر بفردی می باشد که در روشهای دیگر وجود ندارد. در این مقاله با استفاده از مسیرهای بوهمی و روش مونتوکارلو، مدلی پیشنهاد شده است که میتوان با آن مشابه مدل مونتوکارلو کلاسیک پراکندگی را در ادوات نیمه هادی مدل کرد با این تفاوت که در این مدل اثرات کوانتومی نظیر تونل زنی نیز گنجانده شده است. ابتدا با استفاده از حل معادله شرودینگر وابسته به زمان مسیرهای بوهمی برای بسته های موج تابیده شده از کنتاکت چپ و راست محاسبه شده و در مرحله بعد اثرات پراکندگی با تغییر مسیر حرکت الکترون بر روی این مسیرها لحاظ شده است. در این مقاله، این روش در شبیه سازی یک ترانزیستور اثر میدان ساده یک بعدی بکار برده شده و اثر پراکندگی الاستیک بر روی جریان گزارش شده است.
-1 مقدمه
روش مونتو کارلو کلاسیک برای مدلسازی پراکندگی الکترون، یک روش مشهور قدیمی است که برای مدت متمادی در بررسی تعدادی از قطعات نیمههادی بکار گرفته شده است .[1] این روش بر مبنای نیروهای کلاسیک وارد شده به الکترون در حال حرکت است و از حل معادله کلاسیک نیوتن بهره می گیرد وطبعاً خاص قطعاتی است که اثرات کوانتومی در آنها برجسته و کلیدی نمی باشد. در این مدل پراکندگی به کمک مفهوم میانگین پیمایش آزاد - mean free path - و زمان واهلش وارد حل مسئله میشود و هر ذره بسته به سرعت و انرژی ای که دارد احتمال رخ دادن انواع پراکندگی در واحد زمان را خواهد داشت
مهمترین مشکل این مدل این است که اثرات کوانتومی نظیر تونل زنی در آن لحاظ نشده است. تلاشهای زیادی برای وارد کردن اثرات کوانتومی در این مدل صورت گرفته است که هرکدام تقریبهای خاصی را در نظر گرفتهاند. در بعضی تقریبهای ارائه شده تونل زنی را به عنوان فرآیندی تصادفی در نزدیکی سدهای تونلی به کمک تقریب - Wentzel-Kramers-Brillouin - WKB در الگاریتم حل مسئله وارد کردهاند
بعضی دیگر به کمک وارد کردن نیروی کوانتومی ارائه شده در مدل بوهم که از روی توزیع ذرات محاسبه میشود سعی در وارد کردن اثرات کوانتومی در مدل مونتوکارلو کلاسیک را داشته اند ولی بهر حال موفقیت زیادی تاکنون بدست نیامده است. تلاشهایی نیز در جهتی مشابه با جهتگیری این مقاله برای مدل سازی پراکندگی با روش مونتوکارلو و به کمک مدلسازی مسیرهای بوهمی برای کاربرد در یک دیود تونلی تشدیدی انجام شده است ولی در این کارها هم تلاشی در جهت مدل کردن کامل پراکندگی در داخل قطعه انجام نشدهاست و صرفاً پراکندگی در روی کانتکتها مدل شده است .[4] در این مقاله با استفاده از مسیرهای بوهمی و روش مونتوکارلو، مدل جدیدی پیشنهاد شده است که میتوان با آن اثرات پراکندگی را در مسئله انتقال الکترون در داخل قطعه وارد کرد.
در ادامه در بخش 2 بطورخلاصه به معرفی مدل بوهم برای استفاده از آن در ترانسپورت پرداخته شده است. در بخش 3 مدل ارائه شده در این مقاله توضیح داده شده است و یک ترانزیستور اثر میدان با آن شبیه سازی شده و نتایج آن ارائه شده است و در انتها در بخش 4 جمع بندی مطالب آورده شده است.
-2 مدل بوهم در ترانسپورت
روش بوهم دارای جنبه های فلسفی است که صحت و سقم آنها توسط همگان پذیرفته نشده و محل مناقشه است ولی گذشته از آن تعابیر فلسفی، از لحاظ ریاضی کاملا معادل فرمولبندیهای دیگر مکانیک کوانتوم میباشد. کاربردهایی که اخیراً بر مبنای استفاده از روش بوهم هستند صرفا به فرمولبندی ریاضی استناد میکنند و ما هم در این کار صرفا به روش محاسباتی تکیه میکنیم و کاری به تعابیر فلسفی نداریم. در مدل بوهم برای ذرات کوانتومی هم مسیر - از نظر ریاضی - تعریف میشود و با استفاده از معادله شرودینگر وابسته به زمان و معادله راهنما میتوان مسیر حرکت ذرات را بدست آورد. در صورت بندی یک بعدی برای یک سیستم تک ذره ای این معادلات به صورت زیر هستند :
تابع موج ذره، m* جرم موثر ذره، ثابت تقلیل یافته پلانک، V پتانسیل محیط، J چگالی فلوی احتمال و v سرعت ذره می باشد. معادله - 1 - معادله شرودینگر وابسته به زمان است. معادله - 2 - چگالی جریان احتمال را بدست میدهد و معادله - 3 - معادله راهنمای بوهم است. بر اساس معادله راهنما با در نظر گرفتن مکان ذره در نقطه x میتوان سرعت این ذره را به کمک تابع موج آن در لحظه t یافت. با انتگرال گیری از سرعت نیز میتوان مسیر حرکت ذره را مشخص کرد .
از این رو محاسبه کمیاتی مثل ضریب عبور از یک قطعه الکترونیکی چه با استفاده مستقیم از تابع موج و چه به کمک شمارش مسیرهای عبوری، نتایج مشابهی را تولید خواهد کرد. در اینجا این نکته خاطرنشان میشود که بجای استفاده از معادله 3 و4 برای محاسبه مسیر، میتوان معادله کلاسیک نیوتن را حل کرد با این شرط که پتانسیل استفاده شده برای محاسبه نیروی وارد بر ذره از مجموع پتانسیل V در معادله - 1 - و پتانسیل کوانتومی در مدل بوهم استفاده شود.
مدل بوهم را میتوان برای سیستم های چند ذره ای نیز بکار برد و در نتیجه مسیرهای بوهمی را از روی تابع موج چند ذره ای یافت در این حال البته حجم محاسبات خیلی زیادتر خواهد بود. ولی روشی تقریبی برای سیستم چند ذره ای با استفاده از تابع موج تک ذرهای به کمک مسیرهای بوهمی پیشنهاد شده است که حجم محاسبات را تا حد زیادی کاهش میدهد
شکل :1 مسیرهای بوهمی در حضور یک سد پتانسیل - وقتی که فقط پتانسیل ایستای پراکندگی موجود است و حرکت الکترون کوهرنت میباشد -
نمونه ای از مسیرهای بوهمی برای مسئله عبور از یک سد تونلی در شکل 1 نشان داده شده است. حالت اولیه سیستم یک تابع موج بشکل بسته موج گوسی بوده که در سمت چپ سد قرار داشته است. با یافتن مسیرهای بوهمی بسته به اینکه نقطه اولیه الکترون کجای بسته موج در نظر گرفته شود بطور قطع میتوان گفت ذره از سد پتانسیل عبور خواهد کرد یا خیر. همچنین زمان تونل زنی را نیز میتوان برای هر کدام از ذرات عبوری بدست آورد.
-3 مدل پراکندگی معرفی شده بوسیله مسیرهای بوهمی
-1-3 معرفی مدل جدید
دانستن مسیرها و دانستن تغییر مکان هر ذره با گذشت زمان به ما این پیشنهاد را میدهد که مشابه مدل مونتوکارلو کلاسیک پراکندگی را وارد حل مسئله کنیم. در اینجا پیشنهاد شده که با استفاده از مسیرهایی که دو موج گوسی تزریق شده از کانتکت چپ و راست فراهم میکنند پراکندگی را توسط انتقال بین این مسیرها لحاظ کنیم. فرآیند شبیه سازی دو مرحله اصلی دارد. مرحله اول تاباندن دو بسته موج مستقل از هم از کانتکت سورس و درین و حل دو معادله شرودینگر وابسته به زمان و یافتن مسیرهای بوهمی و ذخیره این مسیرها در حافظه است.
مرحله دوم استفاده از این مسیرها برای انتقال الکترون و اعمال پراکندگی با کمک جابجایی بین این مسیرها می باشد. در شکل 2 مسیرهای ایجاد شده این دو بسته موج رسم شده است که در آن یک مسیر فرضی برای الکترون در نظر گرفته شده و در مکان x0 پراکنده شده که پس از آن یا روی مسیرهای راست رونده و یا روی مسیرهای چپ رونده قرار می گیرد.
شکل :2 مسیرهای بوهمی ایجاد شده توسط دو بسته موج گوسی راست رونده و چپ رونده. پراکندگی در این ساختار توسط تغییر مسیر روی مسیرهایی در ناحیه dissipative انجام میشود.
در شکل -3 الف فلوچارت مونتوکارلو کلاسیک و در شکل -3 ب فلوچارت ارائه شده در این مقاله آورده شده است. در روش مونتوکارلو کلاسیک ابتدا سرعت اولیهای برای ذره در نظر گرفته میشود و مکان اولیه ذره نیز در محل x=0 انتخاب میشود، سپس به کمک یک متغییر تصادفی زمان پراکندگی تعیین شده و به کمک آن مکان بعدی ذره با انتگرال گیری از سرعت بدست میآید. اگر این مکان بدست آمده خارج از محدوده کانال باشد دو حالت وجود دارد: یا تعداد کافی ذرات شبیه سازی شده اند که در این صورت برنامه به پایان می رسد و یا اینکه تعداد کافی ذرات شبیه سازی نشده اند که در این صورت یک ذره دیگر باید انتخاب شود. اگر مکان بدست آمده داخل محدوده کانال باشد، باید - بهکمک مفهوم - self scattering بررسی شود که برای این مکان پراکندگی اتفاق می افتد یا خیر. اگر پراکندگی اتفاق نیافتد مسیر ادامه یافته و مکان و سرعت جدیدی برای ذره محاسبه می شود. و اگر پراکندگی اتفاق بیافتد دو حالت وجود دارد: یا پراکندگی به راست است که در این صورت سرعت جدیدی برای ذره انتخاب می شود و یا پراکندگی به چپ است که در این صورت سرعت ذره منفی شده و محاسبه ادامه خواهد یافت.
