بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
نظریه ی پراکندگی کوانتومی در حضور پتانسیل محدود ساز در موجبرهای اتمی
چکیده - امروزه موجبرهای الکترومغناطیسی نقش به سزایی در انتقال اطلاعات دارند؛ به طور مشابه می توان موجبرهایی را طراحی کرد که امواج مادی را منتقل کنند. در این مقاله به بررسی موجبرهای اتمی به عنوان ارسال کننده ی امواج مادی میپردازیم. از ویژگیهای این نوع موجبرها ضرایب عبور و بازتابش آنهاست که به نوع ذرات، پتانسیل محدودساز موجبر و انرژی ذرات ورودی بستگی دارد. همچنین با به کاربردن نظریه ی پراکندگی کوانتومی و اعمال شرایط هندسی موجبر، یک روش شبکه ای را برای پراکندگی اتم ها در یک موجبر با محدودسازی هماهنگ گسترش داده و عناصر ماتریس پراکندگی را محاسبه می کنیم و بدین ترتیب ضرایب عبور و بازتاب را برای موجبر اتمی با برخوردهای دو بوزونی به دست خواهیم آورد.
کلید واژه - پتانسیل محدودساز، پراکندگی، دامنه پراکندگی، سیستم بوزونی، ضرایب بازتاب و عبور، موجبر اتمی
۱- مقدمه
یکی از ابزارهای مهم برای انتقال اطلاعات استفاده از موجبرهای الکترومغناطیسی است که فیبر نوری نمونه ای ساده و پرکاربرد از این نوع موجبرهاست. آنچه کارایی چنین ابزاری را تعیین می کند ضرایب بازتاب، عبور و افت انرژی در درون موجبر است. بدیهی است که اساسی محاسبات برای چنین موجبرهایی، معادلات دیفرانسیل ماکسول هستند |1.2.3 . از آنجا که ذرات مادی دارای طبیعت دوگانه ی موج-ذرهای هستند، اکنون این سوال مطرح می شود که آیا می توان موجبرهایی را برای انتقال امواج مادی (ذرات) طراحی نمود؟ و چنانچه پاسخ مثبت باشد، چگونه میتوان ضرایب عبور و بازتاب را برای چنین موجبرهایی محاسبه کرد. واضح است که اساس نظری برای پاسخ گویی به این سوالات معادله ی دیفرانسیل شرودینگر است. از سوی دیگر ذرات مادی به دلیل ویژگیهای خاصی که دارند ممکن است که با هم برهمکنشی هایی داشته باشند که این برهمکنشها در محاسبه ی ضرایب فوق موثر خواهند بود || ۴ ||. در این مطالعه، با در نظر گرفتن پتانسیل محدودساز موجبر و ویژگیهای هندسی آن، نظریه ی پراکندگی را برای انتقال ذرات برهمکنش کننده از میان موجبرهای اتمی به کاربرده ، با کمک تقریب تفاضل متناهی و به روش عددی تابع موج را برای یک سیستم دو بوزنی برهمکنشی محاسبه کردهایم. با استفاده از تابع موج به دست آمده و نیز حدهای مجانبی تابع موج توصیف کنندهی سیستم، عناصر ماتریس گذار را بهدست آوردهایم. با داشتن عناصر ماتریس پراکندگی سیستم، می توان ضرایب بازتابشی و عبور را برای موجبر مورد نظر محاسبه کرد. در انجام محاسبات فرض کردهایم که در راستای موجبر که آن را محور Z در نظر گرفته ایم، هیچ پتانسیل محدود سازی وجود ندارد و مرکز جرم ذرات برهمکنشی میتواند آزادانه در این راستا حرکت کند ولی در راستای عرضی موجبر، یک پتانسیل محدود ساز هماهنگ وجود دارد که ذرات را به طرف محور اصلی موجبر جذب می کند.
۲- محاسبات نظری
دو ذره با جرمهای m و 2 m را در نظر می گیریم که هردو وارد موجبری شدهاند که یک پتانسیل محدودساز هماهنگ عرضی بر آنها اعمال میکند. همچنین فرض می کنیم که این دو ذره با پتانسیلی که به بزرگی فاصله ی میان دو ذره بستگی دارد و از جهت گیری بردار واصل بین دو ذره مستقل است، با هم برهمکنش می کنند. هامیلتونی چنین سیستمی را میتوان به صورت زیر نوشت :
که در آن بسامد گیراندازی (ناشی از پتانسیل محدودساز) و به ترتیب مختصه شعاعی و لاپلاسین نسبت به مختصات ذره ی iام هستند. به راحتی میتوان این هامیلتونی را به دو بخش برحسب مختصات نسبی دو ذره و مختصات مرکز جرم آنها تفکیک کرد. با تفکیک این قسمتها در خواهیم یافت که مرکز جرم ذرات در عرض مانند یک نوسانگر هماهنگ ساده ودر طول همانند یک ذره ی آزاد حرکت خواهد کرد، حال آنکه پتانسیل برهمکنشی فقط در حرکت نسبی دو ذره مؤثر است || 5 ||. هامیلتونی مربوط به حرکت نسبی، ذرهای با جرم کاهش یافته ی بالا و انرژی برخورد 8 را توصیف می کند که در یک پتانسیل هماهنگ عرضی قرار گرفته و توسط پتانسیل خارجی پراکنده می شود. معادله شرودینگر برای چنین حرکتی تحت محدودیت هماهنگ با بسامد ، با عبارت:
داده می شود. هامیلتونی برای حرکت نسبی ذرات در موجبر مورد نظر شامل دو قسمت هامیلتونی آزاد طولی و آزاد عرضی است که ویژه حالت هامیلتونی عرضی توسط مشخص می شود و در رابطه ی زیر صدق میکند:
با درنظر گرفتن تبدیلات معادله ی (۲) به فرم زیر نوشته می شود:
در رژیم مجانبی به یعنی جائیکه پتانسیل گیراندازی عرضی به پتانسیل برهمکنشی تسلط دارد، حرکت های محوری و عرضی جدا می شود از طرفی به سبب تقارن محوری محدودیت عرضی، مولفه ی گشتاور زاویهای در امتداد محور Z پایسته می شود بنابراین مسئله به معادلهی شرودینگر دوبعدی کاهش مییابد که به وسیلهی جداسازی متغیر (!) تابع موج کلی به صورت زیر نوشته می شود:
که در ان جمله ی اول شامل تابع موج فرودی و جمله دوم شامل تابع موج خروجی است. ضرایب عبور و بازتاب از روابط زیر به دست می آیند || ۱ ||:
