بخشی از مقاله
چکیده - شناسایی پارامترها و مرتبه سیستم جهت همزمان سازی و کنترل سیستمهای آشوب مرتبه کسری بسیار مهم میباشد. از اینرو در این تحقیق شناسایی پارامترها و مرتبه سیستم آشوب مرتبه کسری به یک مساله بهینه سازی تبدیل میشود. در این مقاله استفاده از الگوریتم بهینه سازی مبتنی بر یادگیری -تدریس - TLBO - ، که دارای سرعت و دقت بالایی است برای حل مساله پیشنهاد شده است. در تحقیقات قبلی برای حل معادلات مرتبه کسری از روش Adams-Bashforth-Moulton، استفاده شده است.
با توجه به اینکه این روش بسیار پیچیده و دارای راه حل طولانی است، باعث میشود شناسایی پارامترها و مرتبه مشتق معادلات مرتبه کسری پیچیده و طولانی شود. بنابراین، در این تحقیق از الگوریتم عددی جایگزینی استفاده شده است که روند حل معادلات مرتبه کسری را سادهتر و حجم محاسبات را کمتر میکند. برای نشان دادن برتری این روش نسبت به روشهای پیشین که برای شناسایی پارامترها و مرتبه کسری دو سیستم Lornez و chen استفاده شده است. نتایج شبیه سازی روش پیشنهادی با الگوریتمهای PSO، APSO و IPSO مقایسه خواهد شد و نشان داده میشود این الگوریتم از سرعت و دقت بیشتری نسبت به سایر الگوریتمهای ابتکاری برخوردار است.
-1 مقدمه
پارامترها نقش مهمی در سیستمهای آشوب و همزمان سازی این گونه سیستمها ایفا میکند. در دهه اخیر شناسایی سیستمهای آشوب مرتبه صحیح بسیار مورد توجه قرار گرفته است . [6-1] تحقیقاتی که در این موضوع انجام شده است شامل دو بخش است؛ یک بخش روشهای بهینه سازی [3-1] و بخش دوم روشهای همزمان سازی است .[6-4] اما تحقیق در زمینه شناسایی پارامترهای سیستم آشوب مرتبه کسری به ندرت انجام شده است.
بهطور کلی در حوزه توصیف مدل سیستمهای آشوب، معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری، قابلیت توصیف بهتر و دقیقتر سیستم-های واقعی را در اختیار محققان قرار میدهد. با توجه به رشد روز افزون کاربرد اپراتورهای مرتبه کسری و اهمیت آنها در مدل سازی سیستمهای فیزیکی، شیمیایی، پدیدههای بیولوژیکی، مکانیک ذرات و ...، مطالعه رفتار معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری، امری ضروری به نظر میرسد. محاسبات مرتبه کسری، در مورد مدل سازی سیستمهایی که رفتار میکروسکوپی اجزاء آن، بر رفتار ماکروسکوپی سیستم تاثیرگذار است، کاربرد دارد.
با توجه به دینامیک پیچیدهای که سیستمهای مرتبه کسری نسبت به مرتبه صحیح دارند، شناسایی پارامترها و مرتبه مشتق معادلات برای همزمان سازی یک سیستم مرتبه کسری ضروری میباش.ددر تحقیقی که قبلاً در این زمینه صورت گرفته است از الگوریتم PSO جهت شناسایی پارامترها و مرتبه مشتق معادلات استفاده شده است .[7] الگوریتم PSO دارای یک سری معایب میباشد که بطور کلی این معایب شامل موارد زیر است:
- 1گاهاً در مینیمم محلی قرار میگیرد.
- 2 سرعت همگرایی در تکرارهای آخر ارزیابی الگوریتم کاهش مییابد.
- 3 هنگامی که به راه حل بهینه نزدیک میشود، الگوریتم بهینه سازی متوقف شده و دقت الگوریتم پایین میآید. علاوه بر موارد فوق بسیاری از روشهای بهینه سازی نیاز به پارامترهایی در الگوریتم دارند که در نتایج آن موثر میباشد. مثلاً الگوریتم ژنتیک به پارامترهای جهش و همگذری نیاز دارد و الگوریتم PSO به فاکتورهای دیگری همچون وزن اینرسی و سرعت نیاز دارد. در این تحقیق از الگوریتم بهینه سازی مبتنی بر یادگیری-تدریس - TLBO - جهت شناسایی پارامترهای سیستم استفاده میکنیم که علاوه بر اینکه معایب الگوریتمهای قبلی را ندارد، دارای سرعت و دقت بیشتری است .[8]
الگوریتم TLBO یک روش بهینه سازی است که از اثر آموزش معلم بر دانش آموزان و نمره آنها الهام میگیرد. در الگوریتم TLBO همانند الگوریتم PSO از بهترین راه حل در یک تکرار برای تغییر در راه حلهای جمعیت استفاده میشود و از میانگین پارامترهای جمعیت، جهت بروز رسانی جوابها استفاده میشود. بنابراین سرعت همگرایی افزایش مییابد.
جهت شناسایی پارامترهای سیستم میبایست ابتدا از الگوریتم-های عددی برای حل معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری استفاده کرد. در تحقیقات قبلی برای حل این معادلات از روش الگوریتم عددی Adams-Bashforth-Moulton استفاده شده است .[7] با توجه به اینکه این روش بسیار پیچیده و دارای راه حل طولانی است، باعث میشود پروسه شناسایی پارامترها و مرتبه مشتق معادلات مرتبه کسری پیچیده و طولانی شود.
بنابراین، در این تحقیق از الگوریتم عددی جایگزینی استفاده شده است که روند حل معادلات مرتبه کسری را سادهتر و حجم محاسبات را کمتر میکند .[9] در این تحقیق، شناسایی پارامترها و مرتبه مشتق معادلات دو سیستم آشوب مرتبه کسری Lorenz و Chen، با استفاده از الگوریتم بهینه سازی TLBO و روش جایگزین برای حل معادلات مرتبه کسری مورد بررسی قرار خواهد گرفت و نتایج شبیه سازی آن با الگوریتم های PSO، APSO و IPSO مقایسه میشود.
-2 الگوریتم بهینه سازی مبتنی بر یادگیری-تدریس - TLBO -
در این بخش محتوای اصلی الگوریتم TLBO پایه به طور مختصر شرح داده می شود. الگوریتم TLBO یک روش ابتکاری جدید است که اولین بار توسط Rao، معرفی شده است .[8] این روش جدید شامل دو فاز است. فاز اول معلم که شامل اطلاعات فردی در کلاس است که اطلاعات بیشتری دارد و برای افزایش سطح اطلاعات سایر دانش آموزان اطلاعات خود را در اختیار سایرین قرار میدهد.
این شخص به عنوان معلم شناخته میشود. هر چقدر سطح اطلاعات معلم بالاتر باشد، دانش آموزان نیز بازدهی و نمرات قابل قبول تری را کسب خواهند کرد . در فاز دوم، دانش آموزان میتوانند با اشتراک گذاری و تعامل با یکدیگر سطح اطلاعات و نمره میانگین کلاس را بالا ببرند. تمام این فرآیند در الگوریتم TLBO در دو بخش خلاصه می شود؛ فاز معلم و فاز دانش آموز. فاز معلم به معنی یادگیری با استفاده از معلم و فاز دانش آموز به معنی آموزش با تعامل دانش آموزان با یکدیگر است.
-1-2 فاز معلم
درفاز معلم، معلم که در واقع بهترین دانش آموز کلاس است تلاش می کند با استفاده از معلومات خود، میانگین اطلاعات کلاس را افزایش دهد. بهر حال افزایش اطلاعات هر دانش آموز بستگی به تواناییهای او دارد.
-2-2 فاز دانش آموز
در این فاز دانش آموزان با اشتراک گذاری اطلاعات بین یکدیگر سطح اطلاعات و ارزیابی خود را افزایش میدهند. برای تعامل و بالا بردن اطلاعات دانش آموزان، دو دانش آموز به صورت تصادفی انتخاب میشوند و اطلاعات خود را با استفاده از رابطه زیر افزایش میدهند.
-3 روش جایگزین برای حل معادلات سیستمهای آشوب مرتبه کسری
برای اینکه بتوانیم پارامترهای یک سیستم مرتبه کسری را شناسایی کنیم ابتدا میبایست معادلات مرتبه کسری آن را حل کنیم. در روشهای پیشین برای حل معادلات مرتبه کسری از روش Adams-Bashforth-Moulton استفاده شده است. بدلیل اینکه این روش بسیار پیچیده و دارای راه حل طولانی است باعث میشود روند شناسایی پارامترها کند و دقت کمی داشته باشد. در این تحقیق برای حل معادلات مرتبه کسری از یک روش سادهتر و با حجم محاسبات کمتر استفاده خواهیم کرد .[9] در نهایت برای نشان دادن برتری این روش، نتایج شبیه سازی را مورد بررسی قرار داده و با روشهای پیشین مقایسه میکنیم.
-6 شبیه سازی
در بخش شبیه سازی ابتدا دو سیستم آشوب مرتبه کسری که در بخش 4 مقاله معرفی شدند را با استفاده از روش حل عددی که برای معادلات مرتبه کسری در تحقیقات گذشته بکار گرفته شده است شبیه سازی کرده و پارامترهای هر دو سیستم را با استفاده از الگوریتمهای معرفی شده شناسایی خواهیم کرد. سپس برای نشان دادن الگوریتم بهتر نتایج شبیه سازی را با یکدیگر مقایسه میکنیم. در بخش دوم شبیه سازی از روش جایگزین برای حل معادلات مرتبه کسری سیستمهای آشوب استفاده خواهیم کرد. ابتدا هر دو سیستم را با استفاده از این روش شبیه سازی کرده و در نهایت پارامترهای این دو سیستم را نیز با استفاده از الگوریتم-های معرفی شده شناسایی و نتایج را با روشهای قبل مقایسه خواهیم کرد.
