بخشی از مقاله
چکیده
هدف این مقاله، براساس روش شبه طیفی چبیشف، طراحی یک مسیر بهینه و امکانپذیر برای گشتزنی یک پهپاد با سرعت ثابت، میباشد. هدف از گشتزنی این پهپاد، شروع پرواز از یک نقطه، عبور از چند نقطه مطلوب و سپس فرود در یک نقطه مشخص میباشد که در تمامی این نقاط مقادیر متغیرهای حالت مشخص است و به عنوان یک قید در مسئله ظاهر میشود. برای طراحی مسیر بین دو نقطه، روش های متعددی وجود دارند اما استفاده از روش شبه طیفی چبیشف که نوعی روش مستقیم برای حل مسائل کنترل بهینه یا طراحی مسیر می باشد، به دلیل کارایی و دقت بالا در این مقاله بکار گرفته می شود.. در پایان مثال های عددی دقت و کارایی این روش را ثابت خواهد کرد.
.1 مقدمه
دستیابی به بهترین عملکرد و رفتار در تمامی فرآیندهای دینامیکی کنترل پذیر، هدف اصلی مهندسان و طراحان سیستمهایکنترل میباشد. بهینهسازی یک فرآیند دینامیکی میتواند سبب بهبود عملکرد، کاهش هزینه، افزایش قابلیت و بسیاری از نتایج مطلوب دیگر گردد. هر سیستم دینامیکی قابل کنترل، دارای چندین مشخصه حالت و پارامتر کنترلی میباشد. مشخصههای حالت، وضعیت سیستم در هر لحظه را بیان مینمایند و پارامترهای کنترلی، امکان کنترل سیستم دینامیکی را برای رسیدن به شرایط مطلوب فراهم میکنند.
برای بهینه نمودن یک فرآیند دینامیکی در یک بازه زمانی مشخص، باید نحوه تغییرات مشخصههای حالت و پارامترهای کنترلی در طول زمان انجام فرآیند بگونهای بدست آید که یک اتفاق بهینه مطلوب رخ دهد. به نحوه تغییرات مشخصههای حالت درطول بازه زمانی، مسیر گفته میشود. بهینهسازی مسیر به معنی یافتن نحوه بهینه تغییرات مشخصههای حالت در بازه زمانی برای برآوردن اتفاق بهینه مطلوب میباشد. اما مسئله کنترل بهینه، یافتن نحوه بهینه تغییرات مشخصههای حالت و مشخصههای کنترلی مربوط به آن در بازه زمانی برای برآوردن اتفاق بهینه مطلوب میباشد. با حل مسائل کنترلبهینه عملاً مسیر بهینه نیز بدست میآید.
از دیر باز تاکنون روشهای زیادی برای حل مسایل کنترل بهینه ارائه شده است. روشهای عددی برای حل مسئله کنترل بهینه به دو حالت کلی تقسیم بندی می شود، روشهای مستقیم و روشهای غیرمستقیم .[1] اما مزایای روشهای مستقیم بر روش غیرمستقیم، در عدم وجود انتگرالگیری صریح در حین حل و محاسبه گرادیان متغیرها است که سبب افزایش قابل توجه سرعت و همگرایی حل مسئله بهینه سازی مسیر خواهد شد. روش مستقیم بر پایه گسسته سازی متغیرهای کنترل و حالت در نقاطی، موسوم به نقاط گره میباشند، که این نقاط گره به صورت گسسته بین مبدا و مقصد توزیع شدهاند.
به عبارتی بجای بدست آوردن توابع حالت و کنترل در یک بازه زمانی، مقادیر حالت و کنترل در گرههای زمانی به صورت گسسته بدست میآیند. از اینرو، برای هر متغیر حالت و کنترل و به ازای هر گره زمانی، یک متغیر بهینهسازی تعریف میگردد، که در نتیجه مسئله کنترل بهینه به یک مسئله بهینه سازی مقید تبدیل خواهد شد که معادلات دینامیکی به معادلات جبری که همان معادلات قید مسئله بهینه سازی میباشند، تبدیل خواهند شد. در روشهای مستقیم برای بدست آوردن نحوه تغییر متغیرهای حالت و کنترل در بازه زمانی از چندجملهایهای درونیاب استفاده میشود
در گذشته از چند جملهای تکهای پیوسته مانند چندجملهای بیاسپیلاین استفاده میشد [3]، سپس برای تبدیل معادلات دینامیکی به معادلات جبری و گسسته کردن تابع هزینه از روشهای معمول انتگرال گیری بین هر دو گره استفاده میشد - مانند هریت سیمپسون و روش ذوزنقهای - . اما به دلیل به وجودآمدن قیدهای اضافی بین هر دو تکه از منحنی، در مقالههایی مانند [4] تصمیم به استفاده از منحنیهای متعامد سراسری مانند لژاندر و چبیشف به عنوان چندجملهای درونیاب شد. در مقاله [5] از سری چبیشف به عنوان چندجملهای درونیاب استفاده شد و سپس با استفاده از خواص این سری، معادلات دینامیکی و توابع حالت بر حسب مقادیر متغیرهای کنترل و حالت در نقاط گره بدست میآیند.
خانم فهرو* و همکارانش روش جدیدی را برای حل مستقیم مسئله کنترل بهینه ارایه کردند که به روش شبه طیفی معروف است .[6] در این روش ابتدا متغیرهای کنترل و حالت را در نقاطی گسسته که گره نام دارند بهدست میآوریم، سپس با استفاده از چندجملهایهای لاگرانژ که به عنوان چند جملهای درونیاب معرفی میشوند، بسط داده خواهند شد.
مزیت این روش نسبت به سایر روشهای مستقیم، در اینجاست که معادلات دینامیکی با استفاده از ماتریس مشتق گیر، فقط در نقاط گره گسسته خواهند شد و در نتیجه به تعداد نقاط گره معادله جبری تبدیل شده از معادلات دینامیکی خواهیم داشت. درحالیکه در سایر روشها در نقاط بین گرهها هم این معادلات محاسبه می شوند. دلیل این اتفاق استفاده از توابع متعامد مانند لژاندر و چبیشف در چندجملهای درونیاب لاگرانژ میباشد. با توجه به تابع متعامد استفاده شده نقاط گره هم با استفاده از همین توابع - لژاندر یا چبیشف - بدست خواهند آمد.
متناسب با این نقاط، روش شبه طیفی به دوحالت روش شبه طیفی چبیشف و روش شبه طیفی لژاندر تقسیم میشود. اما استفاده از نقاط چبیشف-گوس-لبتو - CGL - ، به دلیل داشتن فرمول ساده برای محاسبه گرهها مزیت بیشتری دارد، در حالی که برای بدست آوردن نقاط لژاندر-گوس-لبتو، نیاز به حل معادلات جبری پیچیدهای خواهد بود که در مرجع [7] روش محاسبه نقاط لژاندر آورده شده است. در این مقاله، با استفاده از روش شبه طیفی چبیشف، مسیربهینه و امکان پذیر برای یک پهپاد طراحی میگردد.
استفاده از پهپاد در چند سال اخیر برای کاربردهای نظامی و غیر نظامی رواج زیادی پیدا کرده است. این وسایل به صورت خودکار هدایت میشوند، که مزیت آنها در بدون سرنشین بودن آنهاست که میتواند در محیطهای خطرناک برای انسان، از آنها استفاده شود. در این مقاله، یک پهپاد با سرعت ثابت، قصد گشتزنی در فضای سه بعدی را دارد. پهپاد به صورت یک جرم نقطهای در نظر گرفته میشود، که دارای سه درجه آزادی و پنج متغیر حالت , ,x, y, h که بهترتیب از چپ به راست، بیانگر موقعیت طولی، موقعیت عرضی، ارتفاع، زاویه مسیر پرواز و زاویه آزیموت است.
در این مقاله قیدهایی مانند پیوستگی درجه دو مسیر، پرواز از مبدا، عبور از نقاطی مشخص، و نشستن در نقطه فرود میباشد، که در تمامی این نقاط، پهپاد باید دارای زاویه مسیر پرواز و زاویه آزیموت مشخصی باشد، همچنین مسیر بین هر دو نقطه باید دارای کوتاه ترین مسافت باشد.
طراحی مسیر پهپادها به روشهای مختلفی صورت خواهند گرفت. در مرجع [8]، با استفاده از منحنیهای دیوبینس* مسیری برای رسیدن به مقصد طراحی می شود که مشکل این روش عدم توجه به قیدهای دینامیکی پهپاد میباشد که امکان دارد پهپاد قادر به طی کردن مسیر طراحی شده نباشد. اما در مرجع [9]، با استفاده از قانون هدایت ناوبری تناسبی که اثر خود را بر روی شتاب وسیله هدایت شونده میگذارد، مسیر رسیدن به مقصد طراحی میشود اما کنترلی روی زمان پرواز و زاویه مطلوب رسیدن به مقصد ندارد اما معادلات دینامیکی ارضا میشوند.
در مرجع [10]، با استفاده از اضافه کردن خطای زمان برخورد بر قانون ناوبری تناسبی، معادلات دینامیکی مسئله و زمان رسیدن به هدف ارضا میشوند اما زاویه رسیدن به هدف تحت کنترل نیست. بعد از آن ژانگ و همکارانش در مقاله [11]، با بهبود قانون ناوبری تناسبی، قانون هدایتی جدید ارائه کردهاند که پهپاد در زمان مورد نظر و زاویه مطلوب به هدف برسد، اما قید زاویه مطلوب نهایی معمولا با خطا روبرو میشود.
در این مقاله، مسیر بین هر دو نقطه با روش شبه طیفی چبیشف طراحی میشود. در این روش، متغیرهای کنترل و حالت در نقاط گره، مجهولات مسئله بهینه سازی مقید میباشد. معادلات دینامیکی مسئله همانطور که گفته شد، به معادلات جبری تبدیل میشوند که همان معادلات قید مسئله بهینه میباشند. همچنین مقادیر متغیرهای کنترل و حالت در مبدا و مقصد، به ترتیب همان شرایط اولیه و نهایی مسئله بهینه سازی مقید میباشد. در نتیجه با حل مسئله بهینه سازی مقید، تمامی قیدهای تعریف شده برای طراحی مسیر پهپاد ارضا خواهند شد. اما توجه شود که برای طراحی مسیر گشتزنی بین نقاط مطلوب، بین هر دو نقطه متوالی یک مسیر با روش شبه طیفی چبیشف طراحی میشود، همچنین زوایای مطلوب برای عبور از نقاط به عنوان شرایط مرزی و اولیه مسئله بهینه سازی مقید در نظر گرفته میشوند.
در بخش دوم این مقاله، معادلات دینامیکی پهپاد با سرعت ثابت ارائه می شوند، سپس در بخش سوم روش شبه طیفی چبیشف توضیح داده خواهد شد. در بخش چهارم با استفاده از روش شبه طیفی چبیشف، مراحل تبدیل مسئله طراحی مسیر بهینه پهپاد، به مسئله بهینه سازی مقید صورت خواهد گرفت و سپس در بخش پنجم، نتایج شبیه سازی طراحی مسیر پرواز بهینه هواپیمای بدون سرنشین بهواسطه مجموعه نقاط هوایی 5 بعدی ارایه خواهند شد و کارایی روش شبه طیفی چبیشف ارزیابی میگردد. در بخش نهایی، نتیجه گیری این مقاله ارایه خواهد شد.
.2 معادلات حرکت
یک هواپیما که با سرعت ثابت قصد انجام یک ماموریت گشتزنی را دارد، در نظر میگیریم. در این بخش معادلات حرکت سینماتیکی یک هواپیما ارایه میگردد. برای این کار ابتدا فرضیاتی در نظر گرفته میشود: - 1 هواپیما به صورت یک نقطه دارای جرم در فضای سه بعدی در نظر گرفته میشود، - 2 زمین مسطح و غیرچرخان، - 3 اتمسفر استاندارد و بدون باد، - 4 عدم وجود باد جانبی و صفر بودن زاویه سرش جانبی
