بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
کنترل ربات صفحه اي انعطاف پذیر دو لینکی با مفاصل دورانی
چکیده
در این مقاله، معادلات حرکت یک بازوي الاستیک صفحه اي با دو لینک انعطاف پذیر و مفاصل چرخشی به شکل بسته استخراج می شوند. مدل سینماتیکی بر اساس چارچوب گذاري ماتریس هاي انتقال استاندارد که چرخش هاي صلب و جابه جایی هاي الاستیک را با فرض کوچک بودن آنها در بر دارد، بنا می شود. براي استخراج مدل دینامیکی بازو از روش لاگرانژ استفاده می شود. لینک هاي بازوي انعطاف پذیر بصورت تیر اویلر- برنولی با شرایط مرزي گیردار- جرم دار مدل می شوند. از روش مدهاي فرضی براي بدست آوردن مدلی با درجات آزادي محدود استفاده می شود. مسئله مقدار ویژه براي شرایط مرزي لینک ها مورد بررسی قرار می گیرد و توابع مد انتخاب شده بگونه اي می باشند که بار موجود در پنجه و محرك هاي سیستم را در بر می گیرند و سعی بر آن است تا مدل دینامیکی دقیقتري حاصل شود. در انتها قانون کنترلی غیر خطی براي کنترل این بازو، بنحوي که انتهاي آن مسیر معینی را تعقیب نماید بر اساس تئوري لیاپانوف طراحی می شود و نتایج حاصل از شبیه سازي عددي ارائه می گردد که تاییدي به روش اتخاذ شده جهت کنترل سیستم می باشد.
مقدمه
ساخت منیپولاتورهاي سبک وزن و انعطاف پذیر با محدوده سرعت کاري بالا یکی از اهداف عمده و مهم در طراحی بازوهاي ربات هاي صنعتی می باشد. در دو دهه اخیر، تحقیقات وسیعی براي مدل نمودن و کنترل ربات هایی با اعضاء انعطاف پذیر صورت گرفته است. از جمله فواید این ربات ها می توان به داشتن جرم کم، حرکت سریع، افزایش گنجایش حمل بار توسط پنجه ربات، کاهش مصرف انرژي و غیره اشاره نمود. در مقایسه با ربات هاي صلب ربات هاي انعطاف پذیر در زمینه طراحی سیستم، بهینه سازي ساختاري، مدلسازي و کنترل بمراتب پیچیده تر بوده و نیاز به تحقیقات وسیعی در این زمینه ها می باشد. بر خلاف ربات هاي صلب که موقعیت پنجه تنها تابعی از متغییر هاي مفصلی می باشد، حرکت پنجه در ربات هاي انعطاف پذیر، ترکیبی از حرکت مفاصل و خیز لینک هاي الاستیک می باشد. بازوهاي الاستیک جزء سیستم هاي پیوسته می باشند و این موضوع تحلیل دینامیکی این سیستم ها را با مشکل مواجه می کند. از جمله روش هاي مدلسازي تقریبی که بصورت رایج براي مدل نمودن منیپولاتورهاي انعطاف پذیر مورد استفاده قرار می گیرند می توان به روش مدهاي فرضی و اجزاي محدود اشاره نمود. مدل باید فهم و درك خوبی از دینامیک سیستم و وظایف کنترلی در اختیار طراح قرار دهد، در ضمن مدل باید به اندازه کافی دقیق باشد. اما باید توجه نمود که افزایش دقت در مدل همیشه مطلوب نمی باشد به دلیل اینکه این موضوع ناچارا باعث پیچیدگی طراحی کنترلر، افزایش بار محاسبات و غیره می گردد. در حقیقت نکته کلیدي عبارت است از حفظ تاثیرات ضروري و ذاتی و در عین حال صرف نظر نمودن از موارد غیر ضروري در دینامیک در محدوده عملیاتی سیستم که تاثیر چندانی ندارند و بدون از دست دادن اطلاعات کلی از سیستم می توان از آن ها صرفنظر نمود. از جمله کارهایی که اخیرا در رابطه به کنترل ربات هاي الاستیک انجام شده است می توان به موارد زیر اشاره نمود. در سال 2000 مارکو آرتگا مسئله کنترل ترکینگ یک بازوي انعطاف پذیر همراه با یک مشاهده گر غیر خطی را مورد بررسی قرار داد. وي پس از استخراج مدل دینامیکی یک بازوي انعطاف پذیر با استفاده از روش مدهاي فرضی، الگوریتمی براي محاسبه مسیر مطلوب براي مختصات انعطاف پذیر بصورت همزمان ارائه نمود و اثبات نمود این مسیر مطلوب محاسبه شده، کراندار می ماند و براي تامین پایداري سیستم از تکنیک هاي کنترل مقاوم بهره برد. یکی از مشکلاتی که در این الگوریتم وجود داشت کوچک بودن ناحیه جذب بود.[1] تیسو و همکارانش در سال 2003 مدل دینامیکی یک ربات تک لینکی انعطاف پذیر را با استفاده از روش مدهاي فرضی بدست آوردند و سپس به کنترل این ربات تک لینکی انعطاف پذیر با استفاده از فید بک کرنش غیر خطی و استفاده از روش مستقیم لیاپانوف پرداختند.[2]
اوکی و همکارانش در سال 2003 مدل دینامیکی یک ربات دو لینکی صفحه اي با مفاصل دورانی را با صرف نظر کردن تاثیرات گرانش و پیچش اعضاء با استفاده از روش مدهاي فرضی بدست آوردند و سپس با استفاده ازشیوه کنترلی وفقی – فازي موقعیت پنجه ربات را روي یک مسیر نیم دایره کنترل نمودند. [3]
گرین و ساسیادیک در سال 2005 ، با استخراج مدل دینامیکی یک ربات دو لینکی صفحه اي با مفاصل دورانی با استفاده از شیوه مدهاي فرضی و ارائه قانون کنترل فازي ژاکوبین ترانسپوز توانستند مسئله کنترل موقعیت پنجه ربات را روي یک مسیر مربعی انجام دهند.[4] در این مقاله پس از بدست آوردن مدل دینامیکی براي یک بازوي انعطاف پذیر دو لینکی با استفاده از روش مدهاي فرضی و در نظر گرفتن دو مد براي هر لینک، سعی خواهد شد با استفاده از روش لیاپانوف قانون کنترلی غیر خطی پایداري براي کنترل سیستم ارائه شود بگونه اي که با میل متغییرهاي مفصلی به مقادیر مطلوبشان که از حل سینماتیک معکوس بازو با فرض صلب بودن لینک ها بدست می آیند و حذف ارتعاشات لینک ها، پنجه بازو مسیر مشخص تعیین شده را تعقیب نماید.
سینماتیک ربات
در این قسمت سینماتیک یک منیپولاتور انعطاف پذیر دو لینکی با مفاصل دورانی که تنها تغییر شکل خمشی در صفحه حرکت مد نظر می باشد و از اثر ارتعاشات طولی و پیچشی اعضاء صرف نظر شده است مورد بررسی قرار می گیرد شکل .(1)
شکل((1 بازوي انعطاف پذیر دو لینکی با مفاصل دورانی
با توجه به چارچوب گذاري که در شکل1 انجام شده است ، به عنوان چارچوب اینرسی و چارچوب محرك واقع در ابتداي لینک i ، بطوري که محور همواره بصورت مماس در ابتداي این لینک i ، بطوري قرار دارد و چارچوب محرك واقع در انتهاي لینک که محور نیز همواره بصورت مماس در انتهاي این لینک قرار می گیرد. حرکت صلب بازو توسط زوایاي مفاصل ،توصیف می شود و جابجایی عرضی لینک i را در نشان می دهد. به عنوان موقعیت یک نقطه از لینک تغییر شکل یافته i در چاچوب بعنوان موقعیت مطلق این نقطه در چارچوب در نظر گرفته می شود. همچنین بعنوان موقعیت مبداء چارچوب نسبت به چارچوب بعنوان موقعیت مطلقش نسبت به چاچوب در نظر گرفته می شود.
A i ماتریس همگن انتقال استاندارد براي مفصل i ناشی از حرکت صلب (چرخش مفصل) و Ei به عنوان ماتریس انتقال همگن ناشی از تغییر شکل لینک i در نظر گرفته می شود. [5]
ماتریس Ai بصورت زیر بیان می شود.
همچنین ماتریس Ei بصورت زیر بیان می شود.
در رابطه((2، که با توجه به فرض کوچک بودن تغییر شکل ها بدست آمده است.
بدین ترتیب موقعیت هر نقطه اي که در چارچوب مختصات X i ,Yi بیان شود با توجه به روابط ارائه شده بصورت زیر براحتی قابل بیان در چاچوب اینرسی می باشد.
دینامیک ربات
هدف این بخش بدست آوردن مدل دینامیکی تا حد امکان ساده براي طراحی کنترلر می باشد. در این بخش معادلات دینامیکی سیستم با استفاده از روش لاگرانژ بدست می آیند و گسسته سازي سیستم توسط روش مدهاي فرضی صورت می گیرد. مجموعه معادلات دیفرانسیل حرکت که توصیف کننده ي دینامیک منیپولاتور انعطاف پذیر می باشند، به وسیله محاسبه انرژي جنبشی T و انرژي پتانسیل U سیستم و تشکیل لاگرانژین L T −U و بکارگیري روش لاگرانژ استخراج می شوند.
انرژي جنبشی
انرژي جنبشی کل سیستم شامل مجموع انرژي جنبشی تمام اجزاي سیستم می باشد.
∑Thi ، معرف مجموع انرژي جنبشی محرك هاي سیستم می باشد
همچنین ممان اینرسی هاب ها در مفاصل محرك ها در نظر گرفته شده اند.
Tli انرژي جنبشی مربوط به لینک i ام با دانسیته ρi (جرم بر واحد طول) می باشد که بصورت زیر محاسبه می شود.
Tp ، انرژي جنبشی مربوط به باري است به جرم m p و ممان اینرسی جرمی I p که در انتهاي لینک دوم قرار گرفته است.
در رابطه (13) مختصات انتهاي لینک دوم می باشد که بصورت زیر محاسبه شده است.
انرژي پتانسیل
به علت عدم حضور نیروي گرانش (حرکت در صفحه افق می باشد) انرژي پتانسیل تنها شامل انرژي الاستیک ذخیره شده در لینک هاي انعطاف پذیر منیپولاتور می باشد که بصورت زیر بدست می آید.
تا اینجا هیچ گونه گسسته سازي روي سازه انعطاف پذیر سیستم انجام نشده است و بواسطه طبیعت پیوسته بودن سیستم می توان نشان داد که از این لاگرانژین کلی می توان مدلی دقیق با درجات آزادي نامحدود استخراج نمود. اما از سویی کار کردن با چنین مدلی با درجات آزادي نامحدود به منظور طراحی کنترلر کاري دشوار می باشد. در بخش بعدي سعی شده است مدل دینامیکی با درجات آزادي محدود و البته با دقت کافی به منظور طراحی کنترلر ارائه شود.
روش مدهاي فرضی
براي گسسته سازي سیستم و ساختن یک مدل دینامیکی با درجات آزادي محدود و دقت کافی از روش مدهاي فرضی استفاده می شود. در این روش با فرض جدایش بین متغییرهاي مکانی و زمانی، خیز لینک ها بصورت
تقریب زده می شود. در رابطه (16)، ( ϕi(xi بردار تابع مد لینک i وδi(t) بردار مختصات انعطاف پذیر لینک i می باشند و mi معرف تعداد مدهاي مورد استفاده در این گسسته سازي می باشد. لینک هاي منیپولاتور بصورت تیر اویلر – برنولی با دانسیته یکنواخت ρi و
سختی خمشی ثابت (EI )i مدل می شوند. در این کار سعی شده است تا مدل دقیقتري از بازوي انعطاف پذیر بدست آید بطوري که با بکار گرفتن تعداد مدهاي کمتر نیز دقت قابل ملاحظه اي حاصل شود. براي انجام چنین کاري لینک ها بصورت تیري در پایه گیردار و در انتهاي دیگر حامل جرمی با ممان اینرسی مشخص در نظر گرفته شده اند.
براي استخراج معادلات توابع مد مربوط به لینک هاي منیپولاتور با شرایط تیر یک سر گیردار – یک سر بار شکل((2، از اصل هامیلتون استفاده شده است M t . [6] و It بترتیب به عنوان جرم و ممان اینرسی معادل در انتهاي تیر در نظر گرفته شده اند و توابع مد و معادله فرکانسی سیستم بصورت زیر استخراج شده اند.
شکل (2) تیر یک سر -گیردار یک سر بار
در روابط فوق امین فرکانس زاویه اي طبیعی لینک i می باشد. تنها ثابت مجهول در رابطه (17)، cir می باشد که این ثابت از طریق یک مالیزاسیون مناسب می تواند بدست آید.
شکل (3) و (4) بترتیب توابع مد را براي لینک اول و دوم نشان می دهد. روابط ذکر شده براي هر دو لینک منیپولاتور یکسان می باشند تنها تفاوت در مقادیر M t و It می باشد. بدین صورت که مقادیر این کمیت ها براي لینک دوم بصورت زیر می باشد.
مقادیر M t و It براي لینک اول نیز بصورت زیر در نظر گرفته شده اند.
در روابط فوق M h2 شامل جرم محرك دوم و همچنین جرم دیگر متعلاقاتی که در انتهاي لینک اول قرار دارند می باشد. I h2 نیز شاملممان اینرسی محرك دوم و متعلاقاتی که در انتهاي لینک اول قرار دارند، می باشد Io2 معرف ممان اینرسی لینک دوم در حالت بدون تغییر شکل نسبت به انتهاي لینک اول می باشد.
معادلات حرکت
بر اساس شیوه گسسته سازي که در بخش قبل معرفی شد، لاگرانژین L بصورت تابعی از یک مجموعه n تایی از مختصات تعمیم یافته {qi (t)} بدست می آید. اکنون براي بدست آوردن معادلات دیفرانسیل دینامیکی حرکت منیپولاتور انعطاف پذیر رابطه لاگرانژ مورد استفاده قرار می گیرد بطوري که لاگرانژین محاسبه شده براي سیستم باید n معادله دیفرانسیل زیر را ارضاء نماید.
در رابطه ui (23) بیان کننده نیروهاي تعمیم یافته می باشند که روي مختصات تعمیم یافته {qi (t)} کار انجام می دهند. با اعمال رابطه لاگرانژ معادلات حرکت سیستم بصورت زیر بدست می آیند.
بردار گشتاور محرك ها، M ماتریس مثبت معین و متقارن اینرسی، Ke ماتریس سختی، B ماتریس وزن ورودي که بصورت [I 22 02(n−2) ]t می باشد و علت آن فرض گیردار در نظرگرفتن لینک ها در پایه می باشد[5] و h بردار گشتاور نیروهاي جانب مرکز و کوریولیس می باشد. ماتریس h را می توان به شکل زیر نیز بیان نمود.
(27) ماتریس C بگونه در رابطه اي اختیار شده است که ماتریس ، پادمتقارن می باشد.[8],[7]
کنترل
کنترلري که در این بخش طراحی خواهد شد، بر پایه مدل دینامیکی بدست آمده در قسمت قبل می باشد و فرض بر این است که مدل بدست آمده با در نظر گرفتن دو مد فرضی براي هر لینک، دقت کافی را دارد و همچنین تمام پارامترهاي سیستم کاملا معلوم می باشند و هیچگونه عدم قطعیت پارامتري وجود نداشته باشد. مسیر مطلوب براي متغییرهاي مفصلی همراه مشتقات مرتبه اول و دوم بصورت در نظر گرفته می شوند.
متغییرهاي مفصلی مطلوب از حل سینماتیک معکوس براي مسیر معینی که پنجه ربات با اعضاء صلب تعقیب می کند، بدست می آیند. مسیر مطلوب براي مدهاي الاستیک صفر در نظر گرفته شده است. در حقیقت قصد بر آن است قانون کنترلی به گونه اي طراحی گردد که با میل متغییر هاي مفصلی به مقدار مطلوبشان و مهار نمودن ارتعاشات لینک ها، پنجه ربات مسیر مطلوب از پیش تعیین شده را تعقیب نماید.
در روابط زیر اندیس r به مدهاي صلب (متغییرهاي مفصلی)و اندیس f به مدهاي الاستیک متعلق می باشد.
با توجه به فرضیات فوق، خطاي سیستم بصورت زیر تعریف می شود.
