تحقیق در مورد منطق فازی

بخشی از مقاله

مقدمه :
بشر به مدد تعقل و انديشه است که توانسته طبيعت چموش را رام خود کند، و فرهنگ و تمدن را رنگ و جلا ببخشد. مگر نه اينکه فرهنگ از انگيختگي و پويايي ارتباط دوره به دوره ي انسان و طبيعت، انسان و انسان، انسان و ابزار، انسان و جامعه و زبان معنا يافته است؟ به مدد همين انديشه است که آدمي مخلوق توانسته اثر انگشت خودش را بر طبيعت و زمانه ي خود حک کند، و حتي تا مقام خالق، خودش را بالا کشد. هيچ فکر کرده ايد که علم و صنعت با سرعت نور، چنان در خدمت بشر قرار گرفته که به جاي او محاسبه و انديشه مي کند؟ هيچ فکر کرده ايد که همه لوازم پيرامون مان که آسايش را برايمان معنا مي کنند و تکنيک اتومات را در خود دارد خالق ومبتکري به نام پروفسور "لطفي زاده" دارد؟

در اولين نگاه به اطراف خود به سادگي مي توانيد مجموعه اي از اين دستگاه ها و لوازم را در خانه و محل کار خود بيابيد. بله، مخترع منطق نوين علمي که جهان صنعت را دگرگون کرد و در کنار منطق ديجيتالي در ساختمان دستگاه هاي الکترونيکي، "منطق فازي" را به دنيا عرضه نمود، کسي نيست جز پروفسور لطفي زاده.
منطق فازي تعميمي از منطق دو ارزشي متداول است و درحاليکه در منطق دودويي جايي برا

ي واژه هايي همچون "کم"، "زياد"،"اندکي"،"بسيار" و... که پايه هاي انديشه واستدلالهاي معمولي انسان را تشکيل مي دهند وجود ندارد، واژه فازي در فرهنگ لغت آکسفورد بصورت مبهم ،گنگ،نا دقيق،گيج،مغشوش،در هم ونامشخص تعريف شده است. روش پروفسورلطفي زاده برمبناي بکارگيري همين عبارات زباني است امروزه هيچ دستگاه الکترونيکي، از جمله وسايل خانگي، بدون کاربرد اين منطق در ساختار فني خود ساخته نمي شود. با منطق فازي پروفسور لطفي زاده اين دستگاه ها هوشمند مي شوند. امروزه اروپايي ها، ژاپني ها و آمريکايي ها و همه و همه ي کشورهاي پيشرو در علم و صنعت، پروفسور لطفي زاده را مي شناسند و از اهميت کار او در دانش مدرن بشري آگاهند.
بر خلاف آموزش سنتي در رياضي، پروفسور "زاده" منطق انساني و زبان طبيعت را وارد رياضي کرد. شايد بتوان با دو رنگ سياه و سفيد مثال بهتري ارائه داد. اگر در رياضي، دو رنگ سياه و سفيد را صفر و يک تصور کنيم، منطق رياضي، طيفي به جز اين دو رنگ سفيد و سياه نمي بيند و نمي شناسد. ولي در مجموعه هاي نامعين منطق فازي، بين سياه و سفيد مجموعه اي از طيف هاي خاکستري هم لحاظ مي شود و به اين طريق فصل مشترک ساده اي بين انسان و کامپيوتر بوجود مي آيد.
بسط و گسترش منطق فازي و تئوري مجموعه هاي فازي بدليل ابهام و عدم قطعيتي بود

ه كه در مسائل پيرامون ما وجود دارد و به همين جهت در منطق فازي (علي رغم منطق دو ارزشي) گستره اي از ارزشها تعريف شده است تا ما قادر باشيم احساسات و تفكرانسان را بدون ابهام به مخاطبان خود انتقال دهيم .بدون اغراق زندگي روزمره ما آميخته با مفهوم فازي

است ، يعني بطور ناخودآگاه از عباراتي استفاده مي کنيم که براي مخاطب دقيقا مشخص نيست. . بعبارت ساده تر، مفهوم کلمه يا عبارت به تنهايي ممکن است واضح و روشن باشد ، اما زمانيکه از آن بعنوان معياري در تعيين اعضاي يک مجموعه رياضي استفاده مي شود ، شايد نتوان بطور قاطع شيء را به آن نسبت داد و بالعکس.
دکتر لطفي زاده در سال 1921 در شهر باکو در جمهوري آذربايجان به دنيا آمد. پدرش يک ژورناليست ايراني بود که در آن زمان به دلايل شغلي در باکو بسر مي برد و مادرش يک پزشک روس بود.
وي ده ساله بود که در اثر قحطي و گرسنگي سراسري پديد آمده در سال 1931، به اتفاق خانواده به وطن پدري اش ايران بازگشت. لطفي زاده در دبيرستان البرز تهران، تحصيلات متوسطه را به پايان رساند و در امتحانات کنکور سراسري، مقام دوم را کسب نمود. در سال 1942 رشته الکترونيک دانشگاه تهران را با موفقيت به پايان رساند و در طي جنگ دوم جهاني براي ادامه تحصيلات به آمريکا رفت.
او در سال 1946 موفق به اخذ مدرک ليسانس از دانشگاه ماساچوست شد. در سال 1949 به دريافت مدرک دکترا از دانشگاه کلمبيا نائل شد و در همين دانشگاه با تدريس در زمينه "تئوري سيستم ها" کارش را آغاز کرد. او در سال 1959 به برکلي رفت تا به تدريس الکتروتکنيک بپردازد و در سال 1963 ابتدا در رشته الکتروتکنيک و پس از آن در رشته علوم کامپيوتر کرسي استادي گرفت.
لطفي زاده به طور رسمي از سال 1991 بازنشسته شده است، وي مقيم سانفرانسيسکو است و در آنجا به پروفسور "زاده" مشهور است. لطفي زاده به هنگام فراغت به سرگرمي محبوبش عکاسي مي پردازد. او عاشق عکاسي است و تاکنون شخصيت هاي معروفي همچون روساي جمهور آمريکا، ترومن و نيکسون، رو به دوربين وي لبخند زده اند.

پروفسور لطفي زاده داراي بيست و سه دکتراي افتخاري از دانشگاه هاي معتبر دنياست، بيش از دويست مقاله علمي را به تنهايي در کارنامه علمي خود دارد.

فصل 1 : تفکر فازي
بر اساس مباني و اصول علم، همه چيز تنها مشمول يک قاعده ثابت مي شود که به موجب آن يا آن چيز درست يا غلط است. دانشمندان نيز در گذشته بر اساس همين منطق محيط خود را تحليل مي کردند. در علم منطق و رياضيات نيز همين استدلال حاکم بوده است.

اشتباه علم در چنين تحليلي بيانگر اين است که آنچه را که تنها براي موارد خاصي مصداق دارد به تمام پديده ها تعميم داده است. در حاليکه در عالم واقعي همه چيز کاملا درست يا غلط نيست. اما تحت اين شرايط، افزايش تغيير ابهام و عدم اطمينان در محيط، تصميم گيران را با مشکلات عديده اي مواجه کرده است. اگر مبناي تصميم گيري، منطق کلاسيک باشد، انحراف از واقعيت افزايش خواهد يافت. در شرايطي که انحرافات اپسيلوني موجب خروج سازمان ها از صحنه رقابت مي شود، استفاده از اين منطق علمي صحيح به نظر نمي رسد. لذا براي توانمند سازي مديران، که وظيفه اصلي آن ها تصميم گيري است، در مواجهه با شرايط نامطمئن لازم است که آن ها را به علوم و فنون خاص اين محيط ها مجهز کرد. واضح است که در تمامي محيط هاي سازمان شرايط تصميم گيري نادقيق و مبهم است و عمدتا داده هاي مورد استفاده ناقص، مبهم، سربسته و نادقيق مي باشند. تحليل چنين داده هايي نيازمند منطق و دستگاه تحليل يويژه اي است که امروزه تحت عنوان تئوري مجموعه هاي فازي يا منطق فازي (Fuzzy logic) به دنيا معرفي شده است.
در محيط فازي، استدلالهاي انساني عامل اصلي تصميم گيري است. شواهد نشان مي دهد که بهره وري تصميم گيراني که منطق فازي را به کار مي گيرند، ممکن است از 3000 درصد افزايش يابد. رويکرد فازي به تصميم گيري، مي تواند امکان استنباط شهودي، ابتکارات و تجربه هاي انسان را فراهم کند
در مقابل منطق کلاسيک، در سال 1965 منطق فازي توسط پروفسور لطفي زاده، استاد ايران الاصل دانشگاه برکلي کاليفرنيا، طي مقاله اي تحت عنوان مجموعه هاي فازي (Fuzzy sets) ارائه شد. گرچه تا حدود يک دهه پيش بحث فازي با مخالفت شديد دانشمندان، رياضيدانان و مهندسين رو به رو بود، اما به دليل ارائه نتايج خارق العاده در مسائل عملي و بهبود قابل توجه در پديده هاي کاربردي اين مخالفت ها به تشويق و تحسين بدل شد. کاربرد اصلي اين منطق در شرايط عدم اطمينان است. طبق اين منطق، براحتي مي توان بسياري از مفاهيم و تفسيرها را که در قالب اعداد کمي نمي گنجند و به نوعي متغير زباني به حساب مي آيند، را صورتبندي رياضي کرد و از آن ها در جهت تصميم گيري و استدلال استفاده کرد. بر اساس منطق فازي، اين متغيرهاي مبهم و نادقيق عوامل مهمي در هوشمندي انسان به شمار مي آيند. بنابراين مي توان گفت که در محي

ط فازي، استدلالهاي انساني عامل اصلي تصميم گيري است. شواهد نشان مي دهد که بهره وري تصميم گيراني که منطق فازي را به کار مي گيرند، ممکن است از 3000 درصد افزايش يابد. رويکرد فازي به تصميم گيري، مي تواند امکان استنباط شهودي، ابتکارات و تجربه هاي انسان را فراهم کند.
رويکرد ستني غربي به دنياي مديريت بر مبناي منطق دودويي متکي بود. اين نوع تحليل در عصر

اطلاعات که رايانه هاي ديجيتالي همه شرايط را کنترل مي کنند غير ممکن است. به طور خلاصه، مديريت اثربخش وابسته به اخذ تصميمات مناسب و تجزيه و تحليل صحيح داده ها است. لذا استفاده از منطق کلاسيک موجب انحراف مديران خواهد شد و مديران ملزم به بررسي فاصله بين دو گزينه و به صورت يک پيوستار هستند. منطق فازي رويکردي نوين براي پاسخ به ابهامات مومنطق فازي، همانند حافظه انسان داده ها را پردازش کرد و اطلاعات مورد نياز مديران را جهت تصميم گيري فراهم مي کند. علاوه بر اين، اين سيستم با ترکيب شدن با شبکه هاي عصبي و به کارگيري توابع يادگيرنده براحتي قادر است که تجربه هاي مديران را در نظر گرفته و به طور خودکار خود را به روز کند.
سيستم هاي مديريت فازي با بهره گيري از منطق فازي، همانند حافظه انسان داده ها را پردازش کرد و اطلاعات مورد نياز مديران را جهت تصميم گيري فراهم مي کند
با به کارگيري نظريه سيستم هاي فازي، مديريت قادر خواهد بود در برابر موقعيت هاي پوياي اقتصادي و اجتماعي به طور انعطاف پذيري پاسخگو باشد. علم مديريت فازي قادر است مدل هايي ايجاد کند که تقريبا همانند انسان، اطلاعات کيفي را به صورت هوشمند پردازش نمايد. بدين ترتيب سيستم هاي مديريت، انعطاف بيشتري پيدا مي کنند و اداره سازمان پيچيده و بزرگ در محيط هايي با تغييرات متناوب امکان پذير مي شود.
فصل2 : تاريخچه و سير تکاملي
تفکر فازي از ديدگاهي فلسفي نشات مي گيرد که سابقه اي چند هزار ساله و به قدرت فلسفه تاريخ دارد.
همان گونه که فلسفه اديان الهي ، طبيعت و سرشت انسان سازگار است تفکر فازي با الهام از فلسفه شرقي جهان را همان گونه که هست معرفي مي کند.

اما به طور کلاسيک در سال 1920 اولين بار منطق چند ارزشي براي کار با اصل عدم قطعيت هايزنبرگ مکانيک کوانتومي پيش گرفته شد اين اصل رياضي مي گويد اگر شما چيزي را دقيقا اندازه گيري کنيد، چيز ديگري را نمي توانيد با همان دقت اندازه گيري کنيد اين اصل پيشنها

د مي کند که ما واقعا با منطق سه مقداري برخورد داريم. بيان هايي که درست، نادرست و ميانه هستند و در مقياس کوچکتر منطقدان لهستاني جان لوکاسه ويچ حالت ميانه را خرد و به چندين قسمت تقسيم کرد و به حالت چند ارزشي رسيد.
لوکاسه ويچ قدم بعدي را برداشت و حالت چند ارزشي را به صورت يک محيط پيوسته تعريف کرد. طيفي بين درستي و نادرستي، بين صفر و يک.
در اوايل دهه 1920 برتراند راسل به صورت مبهم منطق فازي را بيان کرد اما هرگز موضوع را دنبال نکرد و نتوانست اين گربه خاکستري را از کيسه سياه و سفيد بجهاند.
در سال 1937 فيلسوف کوانتومي ماکس بلک مقاله اي در رابطه با مجموعه هاي گنگ، يا آنچه که ما اکنون مجموعه ها فازي مي ناميم منتشر ساخت. جهان علم و فلسفه مقاله بلک را ناديده گرفت.
تا سال 1965 که دکتر لطفي زاده که يک شخص برجسته در تئوري فازي و مقاله اي به نام مجموعه هاي فازي را بيان کرد که هم با استقبال و هم مخالفت روبرو شد لطفي زاده در سال 1962 چيزي را بدين مضمون براي سيستم‌هاي بيولوژيك نوشت: ما اساساً به نوع جديد رياضيات نيازمنديم، رياضيات مقادير مبهم يا فازي كه توسط توزيع‌هاي احتمالات قابل توصيف نيستند.لطفي‌زاده پس از معرفي مجموعة فازي، مفاهيم الگوريتم فازي را در سال 1968، تصميم‌گيري فازي را در سال 1970 و ترتيب فازي را در سال 1971 ارائه نمود. ايشان در سال 1973 اساس كار كنترل فازي را بنا كرد. اولين دانشجويي كه درجهان رسما‏دوره دكتري خودرادراين رشته درسال 1972 ميلادي زيرنظرآقاي پروفسورزاده به اتمام رسانيد مرحوم ولي ا...طحاني بود

كه روحش شاد و قرين رحمت باد. ايشان اولين كسي بود كه در ايران به تحقيق فازي پرداخت اما نهال اين رشته علمي وادبيات آن در ايران و در دانشگاه كرمان د رسال 1366 كاشته شد همچنين اولين فارغ التحصيل دكتري رياضي ايران در رشته جبرفازي بود
در سال 1975 تولد کنترل کننده هاي فازي براي سيستم ها بود در اين سال پروفسور ابراهيم ممداني استاد ايراني تبار دانشگاه کوين مري لندن و دانشجويش اسيليان چهار چوب اوليهد بخار در يک نيروگاه بکار گرفتند.
دهة 1980 از لحاظ نظري، پيشرفت كندي داشت؛ اما كاربرد كنترل فازي باعث دوام نظريه فازي شد.مهندسان ژاپني به سرعت دريافتند كه كنترل‌كننده‌هاي فازي به سهولت قابل طراحي بوده و در مورد بسياري مسائل مي‌توان از آنها استفاده كرد. به علت اينكه كنترل فازي به يك مدل رياضي نياز ندارد، مي‌توان آن را در مورد بسياري از سيستم‌هايي كه به وسيلة نظريه كنترل متعارف قابل پياده‌سازي نيستند، به كار برد.سوگنو مشغول كار بر روي ربات فازي شد، ماشيني كه از راه دور كنترل مي‌شد و خودش به تنهايي عمل پارك را انجام مي‌داد. ياشونوبو و مياموتو از شركت هيتاچي كار روي سيستم كنترل قطار زيرزميني سندايي را آغاز كردند. بالاخره در سال 1987 پروژه به ثمر نشست و يكي از پيشرفته‌ترين سيستم‌هاي قطار زيرزميني را در جهان به وجود آورد. در دومين كنفرانس‌ سيستم‌هاي فازي كه در توکيو برگزار شد، درست سه روز بعد از افتتاح قطار زيرزميني سندايي، هيروتا يك روبات فازي را به نمايش گذارد كه پينگ‌پونگ بازي مي‌کرد؛ ياماكاوا نيز سيستم فازي را نشان داد كه يك پاندول معكوس را در حالت تعادل نشان مي‌داد. پس از اين كنفرانس، توجه مهندسان، دولتمردان و تجار جلب شد و زمينه‌هاي پيشرفت نظريه فازي فراهم شد.در سال 1985 در آزمايشگاه بل تراشه اي بر پايه منطق فازي ساخته شد.
موفقيت سيستم‌هاي فازي در ژاپن، مورد توجه محققان امريكا و اروپا در دهه 1990 واقع شد و ديدگاه بسياري از محققان به سيستم‌هاي فازي تغيير کرد. در سال 1992 اولين كنفرانس بين‌المللي در مورد سيستم‌هاي فازي به وسيله بزرگترين سازمان مهندسي يعني IEEE بر

گزار شد و اين در زماني بود که ژاپن در سال 1991 بالغ بر 2 ميليارد دلار از محصولات فازي درآمد کسب کرده بود.
از آن به بعد در دهه 2000 ديگر سيستم هاي فازي به صورت يک تکنولوژي استاندارد در آمد.
فصل 3 : مجموعه هاي فازي
ابتدا اشاره اجمالي به مجموعه‌هاي كلاسيك خواهيم داشت.يك مجموعه كلاسيك بعنوان يك مجموعه اي از اشياء يا اجزايx є A تعريف مي شود .در واقع تابع مشخصه‌اي وجود دارد كه براي هر x متعلق به مجموعه مرجع U مقدار (x) µ را بررسي مي كند , تا مشخص شود كه آن 
1 , if and onlyif x є A
0 , if and onlyif x έ A
بعبارت ديگر گزاره " x є A , يا درست است و يا غلط ". چنين مجموعه اي به اشكال مختلف قابل تعريف است:
1- مي تواند ليست عناصري باشد كه به مجموعه متعلقند .
2- توصيف مجموعه با بيان شرط عضويت A={x| x<5 }
3- تعريف عناصر بوسيله يك تابع مشخصه كه در آن" 1" نشانه عضويت و "0" نشانه عدم عضويت است .
اما زمانيكه تابع مشخصه ميتواند مقادير پيوسته اي در [0,1]به خود اختصاص دهد آنگاه
µ(x): U  [0,1]

0 µf(x) 1
شکل 3-1 تابع عضويت
يعني ديگر نميتوان بطور دقيق عضوي از U را به مجموعه A نسبت داد يا بالعكس , بلكه براي هر x يك "درجه عضويت "تعريف مي شود, مثلا وقتي گفته مي شود درجه عضويت x در مجموعه A 0.8 است , بيانگر اينستكه امكان تعلق x به اين مجموعه بيش از امكان عدم تعلق آن است.اين نكته پايه تئوري مجموعه هاي فازي است و عمل تخصيص درجه عضويت نيز برعهده توابع عضويت عهده دارند.
براي مثال فردي با 30 سال سن ,بيش از آنكه به مجموعه old تعلق داشته باشد به مجموعه با عنوان young متعلق است و اين وابستگي را با عددي بين 0 تا 1 نشان مي دهيم .
تعريف- يك مجموعه فازي A در مجموعه مرجع U بصورت زوج مرتب زير است:
A={ (x, µ (x)) |x є A }
معمولا اعضاء با درجه عضويت صفر نوشته نميشوند.
يك مشاور معاملات ملكي طبقه بندي راحتي خانه ها را براساس تعداد اتا

قهاي خواب آن به نسبت تعداد اعضاء خانواده در نظر مي گيرد .ممکن است مشاورديگر "راحتي" را درچيزديگري بداند!
اگر A = {1,2,..,10 } مجموعه اي از انواع خانه هاي مو جود باشد كه هر x є A نشاندهنده تعداد اتاقهاي خواب خانه است. آنگاه مجموعه فازي خانه راحت براي يك خانواده 4 نفري بشكل زير تعريف مي شود:
A={ (1,0.2),(2,0.5),(3,0.8),(4,1.0),(5,0.7),(6,0.3)}
كه در آن مناسبترين خانه , با 4 اتاق خواب در نظر گرفته شده و بالاترين درجه عضويت هم به آن تخصيص يافته است .بالطبع اگر B مجموعه فازي براي يك خانواده 5 نفره باشد , حاصل متفاوت از مجموعه A خواهد بود.

شكل تابع عضويت براي مجموعه "اعداد حقيقي نزديك به 10 " بصورت زير است:
مقدار ماکزيمم براي متغيرزباني "about 10" عدد 10است و ازطرفين هر چقدر ازآن فاصله ميگيريم ازميزان درجه عضويت کاسته ميشود.
تعريف- مجموعه اي از عضوهائي كه به مجموعه فازي Aبا حداقل درجه عضويت α تعلق دارد ,مجموعه فازي مرتبه α ناميده مي شود:
A α ={x є A | µ (x) ≥ α }
براي مثال در مجموعه فازي خانه راحت براي يك خانواده 4 نفري بشكل مجموعه غير فازي زير تعريف مي شود :
A 0.4={2,3,4,5 }
مجموعه α-cut بصورت فوق و بدون ذكر درجات عضويت , يك زير مجموعه كلاسيك از مجموعه فازي A است.
براي انتخاب تابع عضويت مناسب , در شروع كار طراح بايدمجمو عه مرجع را براي متغير هاي زباني كه در نوشتن قوانين بكار رفته اند ,مشخص نمايد. مثلا براي مثال اتاقهاي خانه مجموعه مرجع مي تواند بصورت بازه [1,20] باشد.البته اين بازه منطقي براي مجموعه مرجع لزوما" همواره بهترين جواب نيست , مثلا خانه اي مي تواند 21 اتا ق داشته باشد.در نتيجه اغلب نياز هست كه آنرا نرماليزه يا مقياس گذاري كنيم .
بعبارت ساده تر فاكتور مقياس بندي ورودي يا خروجي ,يك ورودي(خروجي) اسكالر به سيستم را به ورودي نرماليزه تبديل مي كند تا مقاديرش را در بازه مجموعه مرجع حفظ كند, چون ممكن است ورودي يا خروجي بزرگتر يا كوچكتر از بازه تعيين شده براي مجموعه مرجع باشد .
مثلا در همان مثال بالا بايد يك Scaling factor مناسب بيابيم تا 21 اتاق را هم به بازه مجموعه مرجع [1,20] منتقل كنيم.
فصل 4 : تابع عضويت
تابع عضويت هرمقدار عددي را به درجه عضويت عبارات زباني(بين 0تا 1) مي نگارد.
در تعريف استاندارد, 3 مرحله براي بدست آوردن تابع عضويت يک متغي

رزباني ذکر شده است:
مرحله 1
براي هرعبارت, آن مکاني که شامل نزديکترين مقدارعددي به مفهوم زباني عبارت است را انتخاب ميکنيم, و غالبا داراي µ=1(ماکزيمم درجه عضويت)هم است.
مرحله2
براي هرعبارت زباني, مکاني(يامکانهايي) را که مقدار درجه عضويت عبارت درآنجا صفر است معين مي کنيم.
مرحله3
نقطه اي که داراي µ=1 بوده رابه نقاطي که داراي µ=0 بودند باخطوط مس

تقيم وصل مي کنيم , که ميتواند تابعي به شکل Λ ايجاد نمايد . يا براي حالتي که دو نقطه ماکزيمم داريم بصورت Π باشد.
براي متغيرهاي خروجي ,همين روند تکرار ميشود.
براي توابع عضويت شکل هاي مختلفي وجود دارد , مهمترين آنها عبارتند از:

1-مثلثي و ذوزنقه اي triangular :
به 2 دليل اين نوع شكل , در رسم توابع عضويت بيشترين كاربرد را دارند . اول , سادگي اين توابع در محاسبه خروجي يك سيستم فازي است . دليل دوم هم اينست كه براي مجموعه هاي فازي مرتبه بالاتر , فرضيات محاسبات تاثيري در كيفيت خروجي مدل فازي ندارد
2 –quadratic :
مكعبي شکل هم به آن مي گويند.
3-Gaussian(exponential) :
البته با توجه به نوع فرآيند تحت كنترل ﺃشكال ديگري هم تعريف شده است. مانند تابع عضويت براي متغير زباني short كه بعنوان يك مجموعه فازي در نظر گرفته مي شود.
عمليات اساسي روي مجموعه‌هاي فازي
چون مجموعه هاي فازي با توابع عضويتشان تعريف مي شوند, در واقع عملگر ها روي اين توابع عمل مي كنند.
تعريف-مكمل مجموعه فازي با تابع عضويت µA (x) بصورت مجموعه اي با تابع عضويت روبرو تعريف مي شود :
µA (x)=1- µA (x)
فرضا تابع عضويت مجموعه فازي "About 10" با اعمال اين عملگر_يعني not _به شكل زير تبديل مي شود :
تعريف- اشتراك 2 مجموعه فازي C=A П B , مجموعه با تابع عضويت زير است:
µc (x)=min{µA (x) , µB (x)} x є A

 عضويت
µA (x) * µB (x) يا روابط ديگري كه افراد مختلف بكاربرده اند .
تعريف-اجتماع 2 مجموعه فازي C=A υ B تابع عضويتي بشكل زير دارد:
µc (x)=max {µA (x) , µB (x)} x є A

فصل 5: احتمال فازي
در نظريه احتمال غيرفازي، براي بدست آوردن احتمال رخدادن يک پيشامد -همان (P(A -آزمايشي تصادفي انجام مي‌دهيم که عبارتست از: يک انتخاب تصادفي از يک فضاي نمونه...
اما در نظريه احتمال فازي اين انتخاب تصادفي از فضاي نمونه‌اي انجام مي‌شود که شامل عناصر و اعضايي است که هرکدام با درجه‌اي مخصوص ، متعلق به اين فضا هستند.
(مثلاً در پرتاب يک تاس پيشامدهاي ۱ و ۲ و .. و ۶ بطور يکسان و قطعي عضو فضاي نمونه ما هستند و يا مثلاً پيشامدهاي ۷ و ۸ و ... بطور قطعي و يکسان عضو فضاي ما نيستند.
اما در يک فضاي نمونه‌اي فازي اين ۱ و ۲ و ... و ۶ بطور يکسان و همگون در فضاي ما حضور ندارند بلکه با يک درجه عضويتي متعلق به اين فضا هستند.
مثلاً ۱ با درجه عضويت ۱ بطور کامل متعلق به اين فضاست و ۲ با درجه عضويت ۳/۱ و ۳ با درجه عضويت ۲/۱ و مثلاً ۷ با درجه عضويت ۰ اصلاً تعلقي به اين فضا ندارد و الي آخر...)
بنابراين در احتمال فازي، تعبير زيبايي براي (P(A بدست مي‌آيد که عبارتست از انتظار ما از اينکه آن عضوي که به تصادف انتخاب شده است تا چه حد داراي ويژگي آن فضاي نمونه‌اي است. (به بيان فازي، درجه عضويتش در آن مجموعه چند است؟
فصل 6: متغير هاي زباني
پروفسورZadeh در سال 1973 مي نويسد:"متغير هاي زباني ,متغير هايي هستند كه مقاديرشان اعداد نيستند , بلكه لغات يا جملات يك زبان طبيعي يا ساختگي[2] هستند."اگرچه تئوري مجموعه هاي فازي فقط با مدلهاي رياضي سروكار دارد, ولي امكان مدلسازي لغات و عبارات يك زبان طبيعي را به كمك متغير هاي زباني مي دهد . بطور كلي متغير ها به 2 دسته تقسيم مي شوند:
1- Linguistic: مانند كلمات و عبارات مربوط به يك زبان طبيعي
2- Numerical: كه متغير ها داراي مقادير عددي هستند.
يك متغير زباني در واقع يك عبارت زبان طبيعي است كه به يك مقدار كميت خاص اشاره مي كند و اصطلاحا مانند مترجم عمل مي كند و به كمك تابع عضويت نشان داده مي شود. مانند "سرد" در جمله "هوا سرد است."سردي خود متغيري است براي دماي هوا كه مي تواند مقادير مختلفي به خود اختصاص دهد و در واقع يك تابع عضويت براي آن تعريف مي‌شود.
متغير هاي زباني از الحاق عبارات u=u1,u2,..,u n تشكيل مي شوند كه هر كدام از u i ها عبارتي اتميك(تجزيه ناپذير) است,مانند عبارت very almost cold كه بطور كلي به 4 دسته زير تقسيم مي شود:

عبارات اصلي , كه بعنوان برچسبهايي براي مجموعه هاي فازي در نظر گرفته مي شوندو مانند cold در مثال بالا و يا عباراتي مانند short,high,.. كه هر كدام تابع عضويت مخصوص خود را دارند.
حروف ربط مانند and,or ,not,..
تعديل كننده ها[3], كه روي عبارات اوليه اعمال شده و اثر تشديد يا تضعيف

در مفهوم آن عبارت را بهمراه دارد مانندvery,more or less ,..
حروف نشانه مانند پرانتز و ...
تمامي تعديل كننده ها روي عبارات اصلي u بصورت u به توان p عمل مي كنند كه p ε [0,∞) است و اگر p=∞ شود عبارت Exactly حاصل مي شود و نشان مي دهد كه هيچ ابهام و ترديدي وجود ندارد. اگر فرضا متغير زباني “old” را بعنوان برچسب[4] يك مجموعه فازي بصورت زير در نظر بگيريم :
Old={(45,0.3),(50,0.5),(55,0.8),(60,0.9),(70,1),(75,1)}
آنگاه عبارت very old =(old)^2 خواهد بود و مجموعه فازي حاصل بشكل زير تبديل مي‌شود:
Very old ={(45,0.09),(50,0.25),(55,0.64),(60,0.81),(70,1),(75,1)}
يعني تمام درجات عضويت به توان 2 مي رسد و تابع عضويت حاصل هم بشكل زير است:

و يا عملگري مثل more or less كه خاصيت تضعيف كنندگي دارد :
More or less (old) = (old)^0.5
توانهاي معادلي كه براي تعديل كننده ها در نظر گرفته مي شود، از تجربيات روانشناسي حاصل مي شود و شايد عبارت more or less براي يك نفر مفهوم تضعيف كنندگي كمتري داشته با شد مانند (old)^0.4.
پس نميتوان بطور قطع گفت كه فقط همين روابط برقرارند.
بر خلاف تصور ,بكار بردن تعديل كنندهvery درجه تابع عضويت را افزايش نمي دهد . فرضا براي فردي با180 cm قد , عبارت “high” داراي درجه 0.75 و “very high” درجه 0.57 خواهد داشت , بعبارت ديگر اگر “very high” بخواهد با درجه عضويت 0.75 مورد بررسي قرار گيرد , فرد بايد داراي حداقل 190 cm قد باشد .
همچنين به كمك يكسري عبارات مانند near,about و قادر خواهيم بود اعداد اسكالر را فازي كنيم ,يعني يك دامنه فازي براي آن تعريف مي كنيم.

فصل 7: منطق فازي
منطق کلاسيک هر چيزي را بر اساس يک سيستم دوتايي نشان مي دهد (0 يا 1،سياه يا سفيد )
ولي منطق فازي درستي هر چيزي را با يک عدد که مقدار آن بين صفر و يک است نشان مي دهد مثلا اگر رنگ سياه را عدد صفر و رنگ سياه را عدد يک نشان دهيم آن

گاه رنگ خاکستري عددي نزديک به صفر خواهد بود. در فضايي که دانشمندان علوم مهندسي به دنبال روش هاي رياضي براي شکست مسائل دشوارتر بودند، نظريه فازي يه گونه اي ديگر از مدل سازي اقدام کرد. منطق فازي معتقد است که ابهام در ماهيت علم است.بر خلاف ديگران که معتقدند که بايد تقزيب ها را دقيق تر کرد، تا بهروه وري افزايش يابد. لطفي زاده معتقد است که بايد به دنبال ساختن مدل هايي بود که ابهام را به عنوان بخشي از سي

ستم مدل کند در منطق بولي يک: دسته بندي درست يا نادرست وجود دارد. تمام گزاره ها درست يانادرست هستند. بنابر اين جمله (( هوا سرد است )) در مدل بولي و ارسطوي

ي اساسا ي: گزاره نمي باشد، چرا که مقداري درست و مقداري نادرست است، براي مثال جمله (( هوا سرد است )) يک گزاره فازي است که درستي آن گاهي کم و گاهي زياد است، گاهي هميشه درست و گاهي هميشه نادرست و گاهي تا حدي درست است.
منظق فازي مي تواند پايه ريز فن آوري جديدي باشد که تاکنون دست آورد هاي فراواني داشته است.
تئوري فازي مبتني بر امکان است در حالي که علم آمار و رياضيات مبتني بر احتمال است و توضيح مختصري درباره مفهوم اين منطق ضروري است.در منطق فازي هر چيزي بر حسب درجه است و هر سيستم منطقي مي تواند فازي شود.در منطق فازي، استدلال دقيق به عنوان يک حالت حدي تصور مي شود.
هنگامي که مي گوييم "احتمال" اينکه آقاي x دکتر باشد برابر 70 درصد است، يع

ني 70 درصد آدمهايي که در وضعيت مشابه اين آقا قرار دارند دکتر بوده اند و چنين احتمالي استخراج شده است. اما هنگامي که مي گوييم "امکان" اينکه آقاي x دکتر باشد 70 درصد است (يا به بيان ديگر، درجه عضويت آقاي x به مجموعه دکترها 70 درصد است) يعني اينکه 70 درصد از شواهدي که براي اثبات دکتر بودن لازم است در آقاي x يافت شده است. اين موضوع اصلا به اين معني نيست که آقاي x داراي 30 درصد خواص ديگر دکتر بودن نيست، بلکه اساسا ا

فصل 8: پايگاه قواعد و استنتاج فازي
يک پايگاه قواعد فازي از مجموعه اي از قواعد
اگر– آنگاه فازي تشکيل شده است. قلب يک سيستم فازي پايگاه قواعد آن است ، پايگاه قواعد فازي از اين لحلظ مورد اهميت است که تمام اجزا سيستم فازي براي پياده سازي به شکل موثر و کارا در اين قسمت در ارتباط هستند.

1-8 موتور استنتاج فازي :
در يک موتور استنتاج فازي، اصول منطق فازي براي ترکيب قواعد اگر – آنگاه در پايگاه قواعد فازي نگاشت مي شود. استنتاج مبتني بر ترکيب قواعد، تمامي قواعد موجود در پايگاه قواعد فازي در يک رابطه فازي ترکيب شده و آنگاه يک فاعده اگر – آنگاه فازي تنها به بيرون داده مي شود و هر قاعده در پايگاه قواعد فازي يک خروجي فازي را معين مي کند.
شکل 8-1 پايگاه قواعد فازی
قضيه FAT :
FAT مخفف قضيه تقريب فازي است. قضيه FAT به شما ميگويد که مي توان

يد هميشه يک منحني را با تعداد محدودي از قطعات فازي بپوشانيد. قوانين غير دقيق قطعات بزرگ و قوانين بهتر قطعات کوچکتري مي دهند، هر چه شما کمتر درباره مساله اي بدانيد، قوانين شما درباره اش غير دقيق تر خواهد بود.