تحقیق در مورد جبر

بخشی از مقاله

کوتاه شده تاریخ جبر و نمادهای حرفی
جبر بعنوان دانش حل معادله ها پدید آمد . در مصر و بابل کهن و همچنین در دوران های جدیدتر در هند ، با مقدمه های جبر "آشنا بودند و با توجه به داده های مسأله ، می توانستند معادله را تشکیل دهند و برخی از گونه های آن را حل کنند . البته آنها از حرف برای نشان دادن داده ها و مجهول ها آگاهی نداشتند و نمی توانستند معادله ها را به صورت کلی خود تنظیم کنند . در دوران ریاضیات کاربردی ، عنصرهای جبری ، همچون ادامه دانش حساب تلقی می شد . با وجود این ، به ویژه بابلی ها تا مرز بالایی از جبر جلو رفته بودند و می توانستند مساله های عملی را که منجر به گونه هایی از معادله درجه دوم و در بعضی حالت ها ، حتی درجه سوم شود ، حل کنند .

به واژه « جبر » برای نخستین بار در سده نهم میلادی و در کارهای محمد فرزند موسا مشهور به خوارزمی مجوسی ، برخورد می کنیم . خوارزمی کتاب « حساب جبر و مقابله » ر ابه تشکیل و حل معادله ها اختصاص داده است . او از شش نوع معادله صحبت می کند که یکی از آن ها ، معادله درجه اول و پنج گونه دیگر درجه دوم است
( در واقع معادله درجه اول را هم حالت خاصی از معادله درجه دوم ، وقتی که ضریب درجه دوم برابر صفر باشد ، می گیرد ) . « حساب جبر و مقابله » همه چیز ر ابا واژه ها بیان می کند و هیچ گونه نماد حرفی ندارد .

اصطلاح های « جبر » به معنای « جبران کردن » ، و « مقابله » ( مقابل هم قرار دادن ) ، معرف دو عمل ساده جبری است ؛ به نحوی که همه جمله های سمت چپ و راست معادله ، مثبت یا با ضریب مثبت باشند . واژه « جبر » به همان معنایی آمده است که در این مصراع سعدی : « که جبر خاطر مسکین بلا بگرداند » و از نظر عمل های جبری ، به معنای انتقال جله منفی به طرف دیگر معادله است تا مثبت شود . اصطلاح « مقابله » هم به معنای مقابل قرار دادن جله ها در دو طرف برابر ی و حذف مقدارهای برابر از دو طرف است .
به این ترتیب « جبر و مقابله » به معنای ساده کردن معادله و ساده کردن جمله های متشابه است . نمادهای امروزی به تدریج و در طول زمان به وجود آمد .

« محمد کرجی » ریاضیدان ایرانی اول سده یازدهم میلادی ، برای نشان دادن مجهول نمادی را انتخاب کرد . معادله ها نزد ایرانی ها تا جایی رسید که « خیام » معادله های درجه سوم ر ابه یاری برش های مخروطی حل می کند . باید توجه داشت که ایرانیان به پیروی از یونانی ها ، از هندسه برای حل مساله های جبری کمک می گرفتند . خوارزمی مسله های خود را گاهی با شیوه جبری و گاهی با کمک هندسه حل می کند . ولی خیام برای حل معادله های درجه سهم ، تنها ار هندسه و برش مخروطی استفاده
می کند تا سرانجام جمشید کاشانی راه حلی جبری برای معادله درجه سوم می یابد که جواب ر اتا هر درجه دقت به دست می دهد .

ریاضیدانان ایرانی ، به معادله های بالاتر از درجه سوم اعتقادی نداشتند ؛ زیرا فضا را سه بعدی و a3 را حجم مکعبی به ضلع a می دانستند و چون در فضا بیش از سه بعد نداریم ، برای a4 و a5 و غیر آن معنایی قائل نبودند .
نمادهای جبری برای اولین بار در اروپای سده های پانزده و شانزدهم برای مجهول و سپس برای عمل ها پدید آمد . خوارزمی برای مجهول از واژه « شیء » استفاده می کرد ؛ همین واژه بعدها در اروپا به « x » تبدیل شد و برای نشان دادن مجهول به کار رفت .

نخستین کسی که از حرف های الفبای لاتین برای نامیدن مجهول استفاده کرد فرانسوا ویت بود . او برای مجهول ، حرف N ر ابه کار مب برد . سپس بیش از همه ریاضیدان آلمانی « لایب نیتس » ( 1646 – 1716 ) و ریاضیدان و فیزیکدان انگلیسی « نیوتون » و ریاضیدان فرانسوی « دکارت » ( 1596 – 1650 ) ، در شکل گیری نمادها نقش داشتند .
در سده پانزدهم « رکورد » ریاضیدان انگلیسی ، نماد برابری را به صورت دو پاره خط راست موازی ( = ) انتخاب کرد . در این باره ، خود رکورد می نویسد : « هیچ چیز مثل دو پاره خط راست موازی ، نمی تواند مفهوم برابری را برساند . »

تاریخ عددهای منفی
مفهوم عددهای منفی به تقریب در سده اول پیش از میلاد ، به وسیله هندی ها پدید آمد ( آنها عدد منفی را ، یعنی عددی کهکمتر از صفر بود ، « وام یا قرض » می نامیدند و مقدار مثبت را « دارایی » ) . برخی ریاضیدانان ایرانی هم از این اصطلاح برای بیان عدد استفاده می کردند . ولی به طور کلی ، ریاضیدانان ایرانی تنها به جواب مثبت معادله توجه داشتند .
ریاضیدانان اروپایی سد های شانزدهم و هفدهم ، اغلب به جواب منفی معادله ها بی توجه بودند ، به آنها اهمیت نمی دادند و آنها را جواب های « دروغ » و « بی معنا »
می دانستند ( از جمله ، فرانسوا ویت ریاضیدان فرانسوی ) .

عددهای منفی تنها وقتی مورد قبول عام قرار گرفتند که سرچشمه واقعی آنها پیداشد . ولی دانشمندان یکباره به این سرچشمه پی نبردند . برای رسیدن به این مرحله ، دشواری ها و موانع بسیاری وجود داشت .
یکی از روش های تفسیر مقدارهای مثبت و منفی را ، هندی ها یافتند که بسیار هم طبیعی بود . آنها سرچشمه مقدارهای مثبت و منفی را در دارایی و قرض یافتند . آنها با آغاز از اینجا ، بدون این که این مطلب را از نظر علمی تجزیه و تحلیل کرده باشند ، عمل روی عددهای منفی را آغاز کردند . برای نمونه « براهما گوپتا » ( 598 –660 میلادی ) یکی از بزرگترین ریاضیدانان و اختر شناسان ، در کتاب اخترشناسی اختصاص دارد ) و در سال 628 میلادی نوشته شده است می گوید :
« مجموع دو دارایی ، یک دارایی و مجموع دو قرض ، قرض است . مجموع دارایی و قرض ، تفاضل آنها و اگر برابر باشند صفر است . مجمووع صفر و دارایی ، دارایی ، و مجموع صفر و قرض ، قرض است . مجموع دو صفر ، برابر صفر است . »
سپس می گوید :
« وقتی کوچکتر ر ااز بزرگتر کم کنیم ، از دارایی ، دارایی به دست می آید و از قرض ، قرض ؛ ولی اگر بزرگ را از کوچک کم کنیم ، از دارایی به قرض و از قرض به دارایی می رسیم . وقتی دارایی را از صفر کم کنیم ، قرض و وقتی قرض ر ااز صفر کم کنیم ، دارایی به دست می آید . »
یکی دیگر از ریاضیدانان و اختر شناسان هندی به نام بهاسکارا – آکاریا ( در 1114 میلادی زاده شد ؛ ولی تاریخ مرگ اومعلوم نیست ) ، بیشتر توجه خود را روی عددهای منفی گذاشت . پسوند « آکاریا » که به دنبال نام او آمده است ، معنای « دانشمند » و « اندیشمند » را می دهد . او به تقریب در سل 1150 میلادی ، کتابی به نام « تاج دستگاهها » نوشت . پیشگفتار این کتاب می نویسد :

« حاصلضرب دو دارایی یا دو قرض برابر است با دارایی . نتیجه ضرب دارایی در قرض ، عبارت است از زیان . در تقسیم هم همین نتیجه به دست می آید . مربع دارایی یا قرض برابر دارایی است . دارایی دارای ریشه دوم است ؛ یکی دارایی است و دیگری قرض . »
ریاضیدانان ایتالیایی سده شانزدهم ( پاچیلو ، تارتاگلیا . فه رو ) ، گرچه از قانون علامت ها در عمی استفاده می کردند ؛ ولی علامت منفی را تنها به عنوان نماد تفریق در نظر می گرفتند ؛ نه به صورت عددهای منفی .

در بین اروپایی ها ، نخستین کسی که ریشه های مثبت معادله رادر کنار ریشه های منفی آن به حساب آورد ، « کاردان » ( 1501 – 1576 ) ریاضیدان ایتالیایی بود . او ریشه های منفی را « ساختگی و بدلی » نامید . او با این نامگذاری ، می خواست بگوید که ریشه های منفی ، قابل توجیخ نیستند .

ریاضیدانان آلمانی هم ، همزمان با همکاران ایتالییی خود در سده شانزدهم ، استفاده از عددهای منفی را آغاز کردند . برای نمونه « شتیفل » در کتاب « حساب
آلمانی » خود ، با پیروی از « قانون علامت ها » در عمل های جبری ، به فراوانی از عددهای منفی استفاده می کند . شتیفل به این مناسبت می نویسد :
« ... عمل های جبری روی این عددها ، در واقع منجر به نتیجه ای شگفت می شود .... ما ناچاریم از عددهای کمتر از صفر یا کمتر از « هیچ » استفاده کنیم . »
در کنار هواداران عددهای منفی ، مخالفان هم وجود داشتند . از جمله مخالفان

( همان طور که پیش از این هم گفتیم ) فرانسوا ویت بود که نه عددهای منفی را به رسمیت شناخت و نه در نوشه های خود به کار برد .
توجیه امروزی عددهای منفی ، به عنوان پاره خط های جهت دار ، در سده هفدهم داده شد که بیش از همه در نوشتارهای دو ریاضیدان دیده می شود ؛ « ژیرار » ریاضیدان هلندی ( 1595 – 1634 ) و دکارت ریاضیدان و فیلسوف فرانسوی . امروز از عددهای منفی در رسم منحنی ها استفاده می شود . در ضمن ، عددهای مثبت و عددهای منفی به وسیله یک نقطه از محور ، از یکدیگر جدا می شوند .

اتحادها
پس از آشنایی با عمل های جبری روی چند جمله ای هایی که ضریب های درستی داشته باشند ، می توان به تاریخچه اتحادها رپداخت ، که برای ساده کردن ضرب چند جمله ای ها ، اهمیت بسیاری دارد .

استفاده از اتحادها ر اباید دردوران کهن جستجو کرد . یونانی ها ، هر گونه مفهوم ریاضی ر اتا جایی که ممکن بود ، به هندسه تبدیل کردند . توجه بیشتر آنها به این دلیل بود که گمان می کردند ، هندسه دانشی مجرد است و هیچ گونه کاربرد عملی در زندگی ندارد . برای نمونه ، فیثاغورس ، که در سده ششم پیش از میلاد زندگی می کرد یا هواداران او ، یک رشته اتحاد را روی طول ضلع های مثلث قائم الزاویه مطرح کردند .

ولی اقلیدس ، که در سده سوم یش از میلاد می زیست ، بیشتر اتحادهای جبری را ، البته به صورت هندسی ، منظم کرده است . او در « مقدمات » خود که شامل سیزده کتاب است ، کتاب دوم را به اتحادهای جبری ، البته با استدلال هندسی آنها ، اختصاص داده است . اقلیدس به کمک شکل های هندسی ، ده اتحاد جبری را بررسی می کند که اتحاد :
(a + b )2 = a2 + 2 ab + b2

چهارمین آنهاست .
اقلیدس این اتحاد را به صورت قضیه ای تنظیم کرده است که در این جا آن را با اندک تغییری می آوریم :
اگر پاره خط راست دلخواهی در نظر بگیریم که دو پاره خط راست تقسیم شده باشد ، مساحت مربعی که روی تمام پاره خط راست رسم شود ، برابر است با مجموع مساحت های دو مربع کع روی بخش های پاره خط راست اصلی رسم شوند ، به اضافه دو برابر مساحت مستطیلی که روی بخش های اصلی پاره خط راست به وجود می آید .
روشن است که استدلال هندسی اقلیدس و دیگر ریاضیدانان یونانی ، نمی تواند امروز برای عددهای منفی به کار رود .
« دیوفانت اسکندرانی » که در سده سوم پیش از میلاد می زیست ، در کتاب « حساب » خود ، اتحاد جبری :

( a + b ) 2 = a 2+ 2ab + b2
( a – b ) 2 = a2 – 2ab + b2
A2 – b 2 = ( a + b ) ( a – b )

را از دیدگاه حساب بررسی می کند و آنها ر اقانون های اصلی حساب می داند .
خوارزمی ، ریاضیدان ایرانی هم ، در کتاب حساب خود ، از تعبیر هندسی اتحادهای جبری برای بیان آنها استفاده می کند . ویت و دکارت بیش از دیگران ، اتحادهای جبری را با نمادها نشان داده اند .

معادله های درجه اول با یک مجهول
در مصر و بابل باستان ، با مساله هایی آشنا بودند که به حساب مربوط می شد و حل آنها منجر به معادله هایی درجه اول و با یک مجهول می شد . برای نمونه در پاپیروس مصری رایند که به دوران 2000 تا 1700 سال پیش از میلاد مربوط می شود یک فصل کامل درباره « محاسبه توده » وجود دارد که به این گونه مساله منجر می شود .
مساله ای از این پاپیروس را می آوریم .
مسأله . « عددی ر ابیابید به شرطی که بدانیم ، اگر به این عدد آن را اضافه کنیم و از مجموع حاصل ، این مجموع را کم کنیم ، عدد 10 به دست آید . »
مسأله با نمادهای امروزی ، منجر به این معادله می شود :

در همین سند ، این معادله ها هم بررسی شده است :

در پاپیروس مسکو هم ، این گونه مسأله ها وجود دارد :
« طول ضلع اتاقی را بیابید که نسبت ها و در ضمن مساحت اتاق ، معلوم باشد . »
حل مسأله منجر به بررسی دستگاهی با دو معادله و دو مجهول می شود .

مردمی هم که در سرزمین بابل زندگی می کردند ، راه حل بسیاری از مسأله ها را منجر به معادله یک مجهولی درجه اول می شود ، می دانستند . یک مسأله بابلی :
« طول ، عرض و مساحت را جمع کن ، به دست می آید 4250 . طول و عرض را جمع ، به دست می آید 350 . طول و عرض چیست ؟
اگر طول را x و عرض را y بگیریم ، مساله منجر به حل دستگاه زیر می شود که حل آن دشوار نیست :

خود مساله تنها پاسخ را داده است 210= x و 140= y
پژوهشگر آلمانی ، « نیگه باور » درباره یکی از مساله های بابلی می نویسد :
« ... هنوز از نظم هندسی پیروی می شود . ولی محاسبه ، چیزی جز تعیین جبری مجهول ها بر اساس داده ها نیست . محاسبه با ظرافتی فوق العاده و با همان روش امروزی انجام می گیرد . این نشان می دهد ، بابلی ها با روش هایی که بر پایه استفاده از دستورها قرار دارند ، آشنا بوده اند ... »
م . یا . ویگودسکی هم درباره مساله دیگری می نویسد :

« می بینم زیر نقاب یک مساله کاربردی ، پرسش های ذهنی – که در عمل و زندگی پیش نمی آید – طرح شده است ... این وضع ، نشانه آن است که در زمان تنظیم این متن ، به تدریج نظریه انتزاعی ریاضی شکل می گیرد و برای جلب توجه ، از موضوع های مربوط به زندگی ، ولی با ساختاری ذهنی و مصنوعی ، استفاده شده است . »
در یونان باستان ، در شده های نهم تا سوم پیش از میلاد ، با مفهوم های جبری معادله ها کار نداشتند و آنها را با مضمون هندسی خود مطرح و به یاری خط کش و پرگار حل می کردند ، که در واقع ، منجر به حل یک معادله یک مجهولی درجه اول می شد .

ریاضیدانان هندی ، موفقیت زیادی در جبر بدست آوردند . در سال 1881 در « باهشالی » یک کتاب خطی به دست آمد که در آن مسأله هایی داده شده است که منجر به حل معادله درجه اول می شود . یکی از این مسأله ها را می آوریم :
« از چهار هندی ، دومی دو برابر اولی بخشید و سومی سه برابر دومی ؛ اما آخری چهار برابر سومی هدیه داد . هدیه هر چهار نفر روی هم 132 شد . اولی چقدر هدیه کرده است ؟ »
نویسنده کتاب خطی مسأله را این طور حل می کند ؛ فرض کنید اولی یک واحد داده باشد ، در این صورت دومی 2 واحد ، سومی 6 واحد و چهارمی 24 واحد داده است . جمع هدیه ها 33 واحد است ؛ در حالی که باید 132 واحد باشد . بنابراین سهم بخشش هر نفر باید :
4 = 33 : 132
برابر بزرگ کنیم . بنابراین بخشش نفر اول 4 واحد بوده است .
در میانه های سده ششم میلادی ، آریابهاتا ، ریاضیدان و اخترشناس هندی ، کتابی نوشت که بخش دوم آن به « دانش محاسبه » مربوط است . در این جا 33 قاعده آمده است ، که بنا به رسم هندی ها آن روزگار با شعر بیان شده است . قاعده سی ام به حل مسأله اختصاص دارد :
« دو نفر سرمایه هایی برابر دارند ، که شامل مقدار معلومی شیء و پول است . در ضمن ، تعداد چیزها و محموع پول ها متفاوت است . ارزش شیء ها را پیدا کنید . »
x را ارزش چیزها می گیریم . سپس فرض کنید نفر اول a شیء و c روپیه داشته باشد و نفر دوم b شیء و d روپیه . در این صورت ، بنا به شرط مسأله ، به دست
می آوریم :
ax + c = bx + d
که از آنجا :

خود آریابهاتا با نمادهای حرفی آشنا نبود و نتیجه آخر را با این توضیح به دست می دهد :
« ... اختلاف بین عددهای روپیه ای را که متعلق به دونفر است برخلاف تعداد چیزها تقسیم کنید ، خارج فسمت ارزش شیء را می دهد ؛ به شرطی که سرمایه پولی آنها برابر باشد . »
بهاسکارا آهاریا دانشمند دیگر هندی ، جبر را زیر عنوان « محاسبه ریشه ها » طرح می کند ، که در آن جای زیادی را به مسأله هایی داده است که سرانجام منجر به معادله درجه اول می شوند ، بهاسکارا بر خلاف سنت های هندی ها ، نوشته های خود را نه به شعر ، بلکه به نثر آورده است ، به همین مناسبت ، موضوع های مورد بحث او ، روشنی دیگر ریاضیدانان هندی را ندارد . با وجود این ، اغلب داده های مساله ر ابه صورت معکوس می دهد .
اینک مسأله ای از بهاسکارا که حل آن منجر به معادله درجه اول می شود :
« یک پنجم گروه زنبوران عسل روی گلی نشسته اند ، یک سوم آنها از شهد گلی دیگر استفاده می کنند . سه برابر تفاضل این زنبورها دور و بر درخت گلی می چرخند . یک زنبور باقیمانده هم به طور دائم از گلی به گل دیگر می رود . حالا زیبای من ، بگو تعداد همه زنبورها چندتاست ؟ »
داده های مسأله ، ما را به این معادله می رساند :

که از آن جا بدست می آید : 15= x
« دیوفانت » ، بخش بزرگی از کتاب حساب خود را به معادله ها اختصاص داده است . در « گلچین یونانی » که « مترودور » جمع آوری کرده است ، مسأله ای وجود دارد که گویا بر سنگ قبر دیوفانت بوده است . این مسأله چنین است ( این قطعه به صورت شعر سروده شده است و ما مضمون آن را در این جا آورده ایم ) :
« دیوفانت در این جا به خاک سپرده شده است . سنگ قبر با محاسبه ظریفی به ما گواهی می دهد که دیوفانت چه قدر زندگی کرده است . به فرمان پروردگار ، او یک ششم زندگی خود را در کودکی گذراند ؛ دوران جوانی و شادابی او یک دوازدهم
زندگی اش را گرفت . یک هفتم زندگی اش در کنار کانون خانواده اش بود . پنج سال گذشت و خداوند به او پسری داد . ولی طفلک بچه ! پسر به اندازه نیمی از زندگی پدر عمر کرد . چهار سال بعد دیوفانت از این غم سنگین مرد . بگویید خود دیوفانت چند سال عمر کرده است ؟ »
جالب است که این یادداشت قبر دیوفانت هم به معادله درجه اول تبدیل می شود :

که با این حل این معادله ، معلوم می شود که دیوفانت 84 سال زیسته است .
دیوفانت مسأله ها را با توجه به عددهای مشخص مفروض حل کرده است ؛ بدون این که از عددهای منفی و عددهای گنگ آگاه باشد . همچنین از تقسیم که از تفریق های متوالی استفاده می کند . باید یادآوری کرد که دیوفانت از نمادهای حرفی برای مجهول و توان های آنها استفاده می کرد .
خوارزمی توجه زیادی به معادله های درجه اول داشت و برای حل این گونه معادله ها ، از روش خود « جبر و مقابله » استفاده می کرد . « جبر » و « مقابله » به معنای « جبران کردن » و « مقابل هم قرار دادن » است . این روش را روی مثالی روشن می کنیم .
فرض کنید این معادله را به ما داده باشند :
2 – x3 = 2 + x7
و با « مقابل قرار دادن » مقدارهای دو طرف برابری ب هدست می آید :
3 = x4
از آن جا :

نظریه حل معادله های درجه اول در سده سیزدهم ، برای اروپاییان هم به تقریب به همین شیوه خوارزمی بود . دلیل این امر این است که ریاضیدان اروپایی در این زمینه ، دنباله رو ریاضیدانان ایرانی و به طور کل شرقی بودند . برای نمونه ، فیبوناچی ریاضیدان ایتالیایی سده سیزدهم ، در « کتابی درباره حساب » ( 1202 ) از همان روش خوارزمی پیروی می کند .
تکامل بعدی روش های حل معادله درجه اول ، با پیدایش نمادها و ساده کردن عمل ها انجام گرفت .

چند جمله ای ها
چند جمله ای ، یکی از مفهوم هایی است که در مقام نخست را در جبر دارد . چند جمله ای یا یک مجهول ، در حالت کلی ، چنین صورتی دارد :

عدد طبیعی n ، توان چند جمله ای است . ویژگی های چند جمله ای ها ، درست شبیه ویژگی های عددهای درست است . در واقع مجموع ، تفاضل و حاصلضرب چند جمله ای است ؛ در ضمن از قانون های جابه جایی ، شرکت پذیری و سرایت پذیری پیروی می کنند . نسبت یا خارج قسمت دو چند جمله ای ، همیشه یک چند جمله ای نیست و برای آنها ، مثل عددها ، باید تقسیم با باقیمانده را به حساب آورد . در حالتی که بخشیاب برابر x – a یعنی از درجه اول باشد ، باقیمانده یک عدد است که با قرار دادن a به جای x در چند جمله ای مقدار ان به دست می آید . این را « به زو» ( 1730-1783 ) ریاضیدان فرانسوی ثابت کرد .
عددهای درست رادر مبنای 10 می نویسیم ؛ یعنی هر عدد مانند 34759 برابر است با :

در نظریه عددها ، مبنای عدد شماری را می توان هر عدد مثبت دلخواه و بزرگتر از واحد گرفت . تاریخ عدد نویسی هم نشان می دهد که در بین ملت ها و قوم های مختلف ، مبناهای مختلف وجود داشته است . ولی به علت وجود 10 انگشت در دست ها ، مبنای 10 عمومی شده است .
چند جمله ای ها را از جهتی می توان تعمیم مبنای عدد شماری دانست . اگر برای همان عدد 34759 مبنای x را در نظر بگیریم ، به این صورت در می آید :

تنها در این جا مبنای x می تواند هر عددی ( درست ، کسری ، گنگ ، منفی و حتی مختلط باشد . در ضمن ، لازم نیست بین جمله ها همیشه علامت جمع باشد .
ریاضیدانان بابلی می توانستند معادله درجه دوم را حل کنند . حتی در یک مورد به معادله درجه سوم دست یافتند و آن را حل کردند . تاریخ پیدایش دستوری برای حل معادله درجه سوم سطرهای غم انگیزی را در تاریخ ریاضیات تشکیل می دهد . به سادگی می توان ثابت کرد ، هر معادله درجه سوم را می توان به این صورت تبدیل کرد :

این معادله را برای مقدارهای مثبت q , p ، « فه رو » ( Ferro ؛ 1465-1526 ) حل کرد . در آن زمان ، هنوز عددهای منفی به رسمیت شناخته نشده بود و معادله ها را در حالت منفی بودن p یا q و یا هر دو ، به این صورت ها می نوشتند :

« فه رو » روش حل را به شاگرد و داماد خود « فی یوره » اطلاع داد . « فی یوره» ریاضیدان مشهور ایتالیایی « نیکولوتارتاگلیا » ( 1499 – 1557 ) را به مسابقه ای برای حل معادله درجه سوم دعوت کرد . چند روز پیش از آغاز مسابقه ، « تارتاگلیا » راه حل معادله درجه سوم را یافت و در طول مدت مسابقه ( 2 ساعت ) ، هر 30 مسأله ای را که به او پیشنهاد شده بود ، حل کرد .