بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله جبر سه جسمی در حالت برهمکنش مثلثاتی مورد مطالعه قرار گرفته و عملگرهای دیفرانسیلی جابجاپذیر و ناوردای ویل آن معرفی شده اند.
در این راستا، برای اولین بار ثابت های حرکت این مسئله بدست آمده است. برای این کار، شکل ثابت های حرکت را حدس زده و با استفاده از انتگرال پذیری این مدل، حدس خود را به اثبات رسانده ایم. یکتایی ثابت های حرکت نیز بررسی شده است.
کلید واژه ها : جبر ، عملگرهای جابجاپذیر، سیستم های انتگرال پذیر.
مقدمه
مسائل انتگرال پذیر، تکنیک هایی برای حل نیاز دارند که از عملگر های جبری مثل وارون یا قطری کردن ماتریس های متناهی،یافتن صفرهای چند جمله ای های معروف و ... بهره می گیرد. ازسوی دیگر، این مدل ها نیازمند شیوه هایی هستند که منجر به جستجوی ثابت های حرکت مساله می شود. سیستم انتگرال پذیر به سیستمی گفته می شود که تعداد ثابت های حرکت آن با تعداددرجه های آزادی سیستم برابر باشد. در این صورت این مدل انتگرال پذیر، حل پذیر نیز می باشد؛ گرچه در حالت کلّی درستی این ادّعا نیازمند دقّت نظر بیشتری می باشد .[1]فضای ریشه هر جبر لی به فضای همگن و متقارن گروه آن جبر مربوط می شود که مولّدهای کارتان آن جبر در این فضا قرار میگیرند.
دینامیک برخی از سیستم های کوانتومی کاملاً انتگرال پذیر نیز ارتباط نزدیکی با حرکت در این فضاهای تقارنی دارد .[2] طبققضیه نوتر در دینامیک، وجود انتگرال های حرکت - ثابت هایسیستم - به نظریه تقارن مربوط می شود و ثابت های حرکت درهمین فضای تقارنی قرار می گیرند.[3]ثابت های حرکت سیستم های با جبر کلاسیک در مراجع مختلف مورد بررسی قرار گرفته [4-6] ولی جبرهای استثنایی کمتر مد نظر بوده اند. از سوی دیگر جبر 2 در شاخه های مختلف فیزیکی مانند نظریه یانگ-میلز، ابر ریسمان ها و فیزیک مربوط بهبرهمکنش های قوی و حرکت اسپینورها کاربرد دارد .[7-8] در این مقاله ثابت های حرکت هامیلتونی مثلّثاتی سه جسمی وحاصل از جبر 2 را از روی ثابت های جبر کلاسیکی 2 حدس زده سپس با دادن ویژگی عملگری به آنها، نشان می دهیم که اینانتخاب با انتگرال پذیری سیستم همخوانی دارد و این برهانی است بر تایید حدس ما.
مروری بر جبر سه جسمی و هامیلتونی مثلثاتی آندر ابتدا لازم است مروری بر جبر 2 و هامیلتونی حاصل از آن درحالت مثلثّاتی داشته باشیم .>9@ این جبر رتبه دو دارد و دارای شش ریشه مثبت است:هامیلتونی مثلثّاتی حاصل از ریشه های - 1 - سیستمی سه جسمی راتوصیف می کند که ذرّات آن روییک دایره مثلثّاتی حرکت می کنند و دارای دو نوع برهمکنش دو و سه جسمی با یکدیگر هستند:ثابت های جفت شدگی متناظر با برهمکنش های دو و سه جسمی هستند. پتانسیل هامیلتونی - 2 - در = و + = 2 تکینگی دارد و به همین دلیل ترتیب ذرّات در این سیستم نمی تواند تغییر کند. همچنین فضای پیکربندی این سیستم بخش داخلی زاویه چند وجهی زیر است :[10]عملگرهای جبری که هامیلتونی - 2 - با آن نوشته می شود دارای بی نهایت فضای نمایش متناهی به صورت چند جمله ای های تقارنی بر حسب دو متغیر ناوردای سیستم - به تعداد رتبه آن - و روی فضای کارتان این جبر است و در نتیجه این هامیلتونی حل پذیر [9] و انتگرال پذیر می باشد.
ثابت های حرکت هامیلتونی جبر
حال می خواهیم انتگرال پذیری جبر 2 را مورد بررسی قرار دهیم ولی ابتدا باید بدانیم انتگرال پذیری یک عملگر از دیدگاهریاضی به چه صورت بیان می شود. عملگر هامیلتونی شرودینگر با تابع انرژی پتانسیل - - که متغیر در آن تابع n متغیر= - 1, 2, … , - می باشد به صورت زیر تعریف می شود:رابطه 4 - - کاملاً انتگرال پذیرنامیده می n عملگر شود اگردیفرانسیلی 1, 2, … , به گونه ای باشند که: یعنی 1, 2, … , به طور جبری از هم مستقل هستند؛ به اصطلاح ریاضی جبر پوچ توانی را می سازند. در این صورت عملگرهای 1, 2, … , ثابت های حرکت هستند و روی فضای تقارنی جبر ساخته می شوند. در واقع، عملگرهای دیفرانسیلی 1, 2, … , با برآورده کردن شرط - 5 - نقشی مثل پایه های کارتان یک جبر نیم ساده را می گیرند.
به بیان ریاضی،این عملگرهای دیفرانسیلی بخش های شعاعی و تقارنی مولّد های مربوط به حلقه دیفرانسیلی عملگر های هامیلتونی را می سازند که روی فضای تقارنی ریمانی مربوط به جبر، خانوادهای جابجاپذیردارند و در نتیجه جداپذیری هامیلتونی - 2 - را نیز تضمین می کنند.[2]جبر 2 و 2 دو زیر فضای دوبعدی از فضای سه بعدی ℝ3هستند و در واقع جبر 2 با روش کاهش1 به جبر 2 درمختصات مرکز جرم تبدیل می شود .[11]به لحاظ هندسی، جبر 2 میدانی از -3فرمی ها را دارد که آن هارا در این جا با ̂ و ̂ و ̂نشان می دهیم و به همین علّت میتوان این جبر را به سیستمی سه جسمی نسبت داد .[12] در خمینه ای با همبند لوی چی ویتا شرط موازی بودن عبارتست از: ∇Hi = 0 که همبند متریک است .[13]
این رابطه برای سه عملگر جبر 2 به این شکل است: 1 3 = 0 و= 0 1 2 که در فضای خمینه 2 انتگرال پذیر به شکل زیر در می آید: چنین خمینه ای 2 موازی نام دارد و در فیزیک انرژی های بالا و
نظریه ریسمان کاربرد زیادی دارد .[14] در این مقاله قصد داریم نشان دهیم هامیلتونیمثلّثاتی 2 و انتگرال پذیر به گونه ای است که دارای سه ثابت حرکت ̂است و این ثابت ها رابطه - 6 - را برآورده می کنند.ثابت های حرکت سه جسم با هامیلتونی مثلثاتی فرض می کنیم P3 ، P2 ،P1 سیستمی از عملگرهای دیفرانسیلیباشند که با جبر 2 هومومورفیسم اند و بر روی فضای برداری V
با خواص ناوردای ویل اثر می کنند، یعنی:
ثابت های حرکت سه جسم با هامیلتونی مثلثاتی هستند و با این انتخاب شکل توابع و به صورت زیر خواهد بود: اثبات: همانطور که در بالا اشاره شد، حرکت سه جسم با هامیلتونی مثلثاتی 2 انتگرال پذیر است. بنابراین با استفاده از رابطه - 5 - داریم :این جابجاپذیری ایجاب می کند:همچنین رابطه [ 2, 3] = 0 نیز ایجاب می کند:که به دو نتیجه می رسیم : - 1 - از آن جایی که عملگر 1 متشکل از سه مشتق مرتبه اول باتاثیر بر روی تابع - - ، نتیجه صفر می دهد، باید تابع - - مجموع توابعی با تفاضل دوتایی مختصّه های - 1, 2, 3 - و با ترتیب دوری باشد. با برقراری این نتیجه برایعملگر ̂ با یک مشتق، رابطه - 12 - با دو مشتق نیز تائید می شود.
- 2 - برای این که شکل تابع - - با - - برابر نباشد یعنی طبق روابط جابجایی - 5 - ثابت های حرکت مستقل از هم درآیند و شرط های - 11 - و - 12 - برقرار باشند، تابع - - باید ازمجموع سه ختصّهم دوری ساخته شود که ضریب یکی دارای علامت منفی و دو برابر بقیه باشد .به عبارت دیگر نتیجه - 1 - و - 2 - شکل توابع - - با - - را مطابق ریشه های جبر 2می دهند.برای اثبات یکتایی - - و - - ،اگر فرض کنیم تابع دیگری مثل - - به - - اضافه شود: با استفاده از رابطه - 10 - خواهیم داشت: ∑ 1 - - = 0 که نتیجه آن این است که تابع - - ثابت است. بنابراین، آن را صفرمی گیریم. همین استدلال را برای - - نیز داریم.بنابراین برای حفظ روابط جابجایی در هامیلتونی انتگرال پذیر - 2 - بایدشکل توابع ودر ثابت های حرکت1 و 2 و 3 همانند رابطه - 9 - باشند. ثابت های حرکت مانندتوابعی هستند که مولّد هامیلتونی نیز می باشند [15]؛ زیرا در صورت اعمال تبدیلات کانونیک بر هامیلتونی باید این تغییر بر ثابت ها اثر کند که به دلیل ثابت بودن آن ها، تقارن هامیلتونی دراثر تبدیلات کانونیک حفظ می شود.
به سادگی می توان هامیلتونی - 2 - را با این سه عملگر به صورت زیر بازنویسی کرد:یکی از ساده ترین تبدیلات کانونیک، تبدیل انتقالی است و این سه ثابت ناوردای انتقالی هستند؛ زیرا به سادگی می توان دید که باافزودن جمله ای ثابت به هر یک از آن ها روابط جابجایی تغییرینمی کنند. همچنین اگر در مختصات مرکز جرم باشیم است. همانگونه که گفتیم جبر 2 در مختصات مرکز جرم با روش کاهش به جبر 2 و روی صفحه تبدیل می شود که برهم کنش آن ها کالوجرو مانند است؛ و یکتایی این سه عملگر برای جبر 2[16] تاییدی بر یکتایی عملگرهای جبر سه جسمی 2 می باشد.در این جا که مورد مثلّثاتی را بحث کردیم سیستم سه جسمی ما بر روی دایره ای قرار دارد که فضای پیکربندی آن مطابق - 3 - است ودر واقع برهمکنش ساترلند مانندی بین آن ها وجود دارد.
