تحقیق در مورد مثلث های رلو

بخشی از مقاله

مثلث هاي رلو

براي جابجا كردن يك جسم از چهار چرخه استفاده مي كنيم ولي اگر جسم سنگين باشد ممكنست محور چرخها در اثر سنگيني جسم كج شده و يا بشكند. همانطور كه اغلب ديده ايم براي حركت دادن چنين اجسامي سنگيني بهتر است چند غلتك استوانه اي شكل (مثل لوله يا ميله گرد قطور) را به موازات يكديگر روي زمين قرار دهيم ، سپس يك صفحه محكم مسطح روي آنها بگذاريم و بعد جسم سنگين را روي اين صفحه منتقل نمائيم ، با هل دادن اين دستگاه ، صفحه با بارش روي استوانه ها غلتيده و به جلو خواهد رفت . ضمن حركت بايد هر يكاز استوانه ها را كه به ترتيب از عقب دستگاه خارج مي شوند برداشته و مجداَ در جلو صفحه روي زمين قرار دهيم .

اگر زميني كه دستگاه روي آن حركت مي كند مسطح باشد ، جسم بدون تكان و به محاذات خود خواهد رفت .
علت حركت بدون تكان جسم اينست كه مقطع استوانه اي چرخنده دايره است و دايره نيز به اصطلاح رياضيدانان يك منحني مسدود متساوي العرض مي باشد كه در نتيجه فاصله بين صفحه زير جسم و زمين هميشه ثابت
مي ماند .

اگر يك منحني مسدود محدب رابين دو خط موازي محاط مي كنيم به

طوريكه دو خط با دو سمت متقابل منحني تماس حاصل مي كنند ، فاصله بين دو خط موازي را عرض منحني در جهت مفروض نامند .
طبق تعريف بالا يك بيضي داراي عرضهاي مختلف در جهات مختلف مي باشد و بر خلاف دايره ، متساوي العرض نيست .
حال اگر جسمي را روي تعدادي استوانه هاي بيضي القاعده قرار دهيم مسلماً به طور افقي حركت نخواهد كرد و دايماً بالا و پايين خواهد جهيد ، در حاليكه حركت هموار همين جسم روي استوانه هاي با قاعده دايره بدين دليل است كه دايره داراي عرضهاي مساوي در جهات مختلف مي باشد و مي توان آنرا بين دو خط موازي (يا دوصفحه موازي) چرخاند بدون اينكه لازم باشد

فاصله بين خطوط (و يا صفحات) را تغيير دهيم .
غالباً تصور مي شود كهدايره تنها شكل هندسي است كه در كليه جهات متساوي العرض مي باشد ، در حاليكه تعداد چنين منحني هايي نامحدود بوده و هر يك از آنها مي توانند به عنوان مقطعي از غلتكهاي زير جسم به كار روند و جسم را با نرمي

و همواري به جلو رانند . اين خود نمونه مثال كاملي است كه نشان مي دهد چگونه ممكنست تصورات ظاهري يك رياضيدان باعث گمراهي و انحراف او گردد .
عدم اطلاع و شناخت چنين منحني هايي نتايج اسف انگيزي در صنعت به بار مي آورد ، بطور نمونه ممكنست در موقع ساختن يك زيربناي دريايي مدور ، فقط قطر مقاطع‌آنرا در جهات مختلف اندازه گرفته و كنترل كنيم . در حاليكه به سهولت مشاهده مي شود بدنه چنين زيردريايي داراي ناهمواري هاي زيادي خواهد بود و هر چه با كنترل اقطار آن بخواهيم ناهمواريها را برطرف كنيم موفق نمي شويم .

به همين دليل است كه كنترل مقاطع مختلف يك زيردريايي و يا ساير صنايع دقيق را توسط قالبها و قواره هاي مخصوص (Tamplate) انجام مي دهند .
ساده ترين منحني غير مدور متساوي العرض ، مثلث رلو مي باشد كه به نام رياضيدان و استاد دانشكده فني برلين ، مهندس فرانس رلو ناميده شده است ، رياضيدانان قبل نيز اين منحني را مي شناختند ولي اولين كسي كه به خاصيت متساوي العرض بودن آن پي برد رلو بود .
ترسيم وساختن منحني رلو ساده و به شكل زير است :

مثلث متساوي الاضلاع دلخواه ABC را رسم كنيد (شكل 16) به مركز A و شعاع AB ، قوس BC را بكشيد و به همين ترتيب دو قوس ديگر را رسم كنيد . واضح است كه مثلث منحني الاضلاح (نامي كه رلو روي آن گذاشته ) مذكور داراي عرضه هاي ثابت در جهات مختلف بوده و اندازه آنها مساوي ضلع مثلث داخلي مي باشند .

اگر يك منحني متساوي العرض را در داخل دو جفت خطوط موازي عمود به يكديگر محاط مي كنيم ، خطوط محيطي يك مربع را تشكيل خواهند داد كه اضلاع آن در همه حالات بر منحني مفروض مماس خواهند بود .

مثلث رلو شبيه يك دايره و يا ساير منحنيهاي متساوي العرض مي تواند به سهولت در داخل چنين مربعي بچرخند و در همه حال تماس خود را با اضلاع مربع حفظ كند (شكل 17) .

اگر خواننده يك مثلث رلو را روي يك مقوا كشيده و آنرا قيچي كند و در داخل يك سوراخ مربع شكل مناسب كه روي مقواي ديكري در آورده است بچرخاند صحت گفته ما را تصديق خواهد كرد .
در موقع چرخش مثلث رلو در داخل مربع ، نوك هر يك از گوشه هاي مثلث تقريباً مسيراضلاع مربع را طي مي كنند و فقط در گوشه هاي مربع يك انحناي كوچك ايجاد مي شود .

مثلث رلو موارد استعمال زيادي در صنعت دارد ولي عجيب ترين آنها ابزاريست كه با استفاده از خاصيت مذكور ساخته شده است . در سال 1914 مهندس هاري جمس وات انگليسي بر مبناي خواص مثلث رلو مته دواري اختراع كرد كه سوراخ چهارگوش بيرون مي آورد ! و تا سال 1916 اين مته عجحيب فقط در كارخانه ابزارسازي برادران وات ساخته مي شد . در يكي از كاتالوگهاي اين مته چنين نوشته شده است :
«درست است كه اگر كسي درباره لگن پوستي و يا موز چدني صحبت كند مي دانيم كه قصد شوخي دارد ولي حالا ما بدون شوخي مته اي را به شما نشان مي دهيم كه سوراخ چهارگوش در مي آورد . »

چنين دستگاهي در شكل 18 نشان داده شده است . شكل 19 مقطع مته
را نشان مي دهد كه در ضمن چرخيدن سوراخ مربع ايجاد مي كند ، طرز كار آن بدين ترتيب است كه‌: اول يك صفحه فلزي به سوراخ روي جسمي كه بايد سوراخ شود گذاشته مي شود . وقتي كه مته در داخل سوراخ نامبرده شروع به چرخش كند ، گوشه هاي مته يك سوراخ مربع در داخل جسم به وجود
مي آورد .

همانطور كه مشاهده مي شود شكل كلي مقطع مته يك مثلث رلو مي باشد كه فقط در سه محل آن بريدگيهايي براي ايجاد لبه هاي تيز به وجود آمده تا بتواند عمل تراشيدن را انجام دهد .

چون محور مته در موقع چرخش تغيير مكان مي دهد لازم است كه نگهدارنده مته به شكلي ساخته شود تا اجازه چنين حركت خارج از مركزي به مته داده شود . اين عمل نيز توسط مكانيسمي در داخل نگهدارنده انجام مي گيرد . كه حق ساختن آن در انحصار شركت سازنده آن است و براي اطلاع بيشتر از مكانيسم آن مي توان به كاتالوگها و دفترچه مشخصات فني اين مته مراجعه كرد .
مثلث رلو منحني مسدود ممتساوي العرضي است كه با عرض مفروض n در بين ساير اشكال داراي كمترين مساحت مي باشد (مساحت آن مساوي است با و همچنين هر يك از زواياي رئوس آن 120 درجه

مي باشد كه كوچكترين زاويه ممكنه براي چنين منحني مي باشد .
اگر اضلاع مثلث متساوي الاضلاع داخلي را از هر طرف به طور مساوي امتداددهيم مي توانيم گوشه هاي مثلث رلورا گردتر كرده و از تيزي آن بكاهيم (مطابق شكل 20 ) به مركز A و دو شعاع AD و AG دو قوس DI و GF را رسم مي كنيم و اين عمل را براي ساير گوشه ها تكرار مي كنيم ، عرض منحني حاصله در جميع جهات مساوي و برابر با مجموع دو شعاع نامبرده يعني DG خواهد بود . و بدين صورت يك منحني متساوي العرض با گوشه هاي گرد به دست خواهيم آورد . همان اعمالي كه درباره مثلث متساوي الاضلاع انجام داديم مي توانيم درباره يك پنج ضلعي منتظم (و يا هر كثير الاضلاع منتظم ديگري كه تعداد اضلاع آن فرد باشد ) تكرار كنيم و

منحني هاي متساوي العرض متقارن ديگري به دست آوريم .
براي رسم منحنيهاي متساوي العرض نامتقارن طرق مختلفه اي وجود دارد . يك نوع آن ترسيم به وسيله ستاره هاي چندپر نامنظم (با تعداد
پره هاي فرد ) است كه نمونه اي از ان ستاره هفت پر شكل 21 مي باشد . به اين نكته بايد توجه داشت كه تمام پاره خطهايي كه ستاره را تشكيل مي دهند بايد با يكديگر مساوي باشند . اگر به مركز هر يك از نوكهاي پره هاي ستاره ، دو نوك تقابل را باقوسي به يكديگر وصل كنيم چون شعاع تمام قوسها مساوي

است ، منحني حاصله (منحني داخلي شكل 21) متساوي العرض خواهد بود . با روشي كه قبلاً ذكر شد مي توانيم گوشه هاي تيز اين منحني را گرد كنيم . كافي است كه هر يك از پاره خطهاي ستاره را به يك اندازه از دو طرف امتداد دهيم (خطوط خط چين) و انتهاي آنها را با قوسهايي به مركز نوك ستاره ها به يكديگر متصل نماييم ، منحني با گوشه هاي مدور حاصله (منحني خارجي شكل 21) نيز متساوي العرض خواهد بود .

شكل 22 طريقه ترسيم ديگري را بيان مي كند بدين نحو كه هر چند خط مستقيم ميل داريد رسم كنيد به طوري كه به ترتيب هر يك ديگري را قطع كند. هر قوسي كه رسم مي كنيد بايد به دو خط متقاطع محدود شود و مركز قوس مفروش نيز محل تقاطع آن دو خط باشد .

به روش ساده تر چنين مي توان عمل كرد كه مثلاً دو خط متقاطع A و‌ B رسم كنيد ، به مركز تقاطع A و B و شعاع دلخواه در يكي از زواياي حاده اين دو خط قوسي رسم كنيد ، سپس خط C را متقاطع B بكشيد ، به مركز تقاطع B و C قوس ديگري در امتداد قوس قبلي بين خطوط B و C رسم كنيد . بالاخره خط N را كه متقاطع خط A باشد رسم كنيد . و به مركز تقاطع A و N قوس ديگري در امتداد قوسهاي قبلي بين خطوط A و‌N رسم كنيد . اكنون نيمي از منحني رسم شده است ، براي تكميل آن به ترتيب به مراكز قبلي قوسهاي متقابل را در دنباله قوسهاي قبل بزنيد ، اگر اين عمل را با دقت انجام دهيد منحني بسته خواهد شد و عرض آن در تمام جهات مساوي خواهد بود . (اثبات بسته شدن منحني و متساوي العرض بودن ان خيلي ساده و شيرين است . اگر خواننده خواسته باشد مي تواندمدتي از وقت خود را به اثبات اين سرگرمي جالب مشغول بدارد).

لازم نيست كه هر منحني متساوي العرضي حتما از مجموع قوسهاي دايره تركيب شده باشد ، بلكه مي توانيد يك منحني محدب دلخواهي را در داخل يك مربع بكشيد به طوري كه از يك نقطه در ضلع بالاي مربع شروع شده وپس از تماس با ضلع چپ تا نقطه قرينه شروع منحني و تا ضلع پايين امتداد پيدا كند (قوس ABC شكل 23 ) اين منحني قسمت چپ يك منحني متساوي العرض خواهد بود . براي پيدا كردن قسمت راست آن كافيست خطوط بيشماري كه هر يك موازي با

مماس منحني باشند رسم كنيم به طوري كه فاصله اين خوط با خطوط موازي مماس آنها مساوي ضلع مربع باشد . اين عمل را مي توانيم با دو لبه يك خط كش به سهولت انجام دهيم . عرض چنين خط كشي بايد مساوي ضلع مربع باشد . يك لبه خط كش را طوري قرار مي دهيم كه بر يكي از نقاط قوس ABC مماس باشد و از لبه ديگر خط كش براي كشيدن خط موازي استفاده مي كنيم . اين عمل را در تمام نقاط منحني از ابتدا تا انتها ادامه مي دهيم . نصف راست منحني مفروض پوش اين خطوط خواهد بود . بدينوسيله مي توانيم هر نوع منحني مسدود متساوي العرض دلخواهي به دست آوريم .

لازمست توضيح داده شود كه قوس ABC نمي تواند كاملاً اختياري باشد . به طور اجمال مي توان گفت كه خميدگي و انحناي قوس در هر نقطه نبايد كمتر از انحناي دايره اي به شعاع ضلع مربع باشد . مثلاً نمي تواند در هيچ نقطه اي داراي پاره خط مستقيم باشد .

اگر شما در كارهاي نجاري مهارت داريد ، مي توانيد براي تفريح چند غلتك استوانه اي بسازيد كه مقطع آنها منحني متساوي العرض مختلف الشكل ولي هم عرض باشد . هر گاه يك كتاب بزرگ روي آن قرار دهيد و كتاب را حركت دهيد . اغلب كساني كه آنرا مشاهده مي كنند ، از اينكه مي بينند كگتاب بدون تكان و پايين و بالا رفتن ، به طور يكنواخت روي اين غلتكهاي جوراجور

حركت مي كند تعجب خواهند كرد .
طريق ديگر براي نشان دادن خاصيت چنين منحنيهايي اينست كه از مقوا دو قطعه منحني متساوي العرض مختلف الشكل كه عرض هر دو به يك اندازه باشد بريده و آنها را به دو سمت يك گرده چوب نازك به طول تقريباً 15 سانتي متر ميخ كنيد . لازم نيست كه محل ميخ كوبي در جايي كه حدس مي زنيد مركز منحني است باشد ، بلكه هر جا كه ميل داشتيد ميخ را بكوبيد . يك جعبه توخالي سبك به طول بيش از 15 سانتيمتر را روي آنها قرار دهيد به طوريكه با مقواهاي متساوي العرض تماس داشته باشد . جعبه را جلو و عقب ببريد ، دوسر گرده چوب به طور ناموزوني بالا و پايين مي رود در حالي كه جعبه به طور افقي و بدون تكان مثل اينكه روي دو چرخ دايره شكل بغلتد حركت مي كند .

درباره خواص منحنيهاي متساوي العرض مطالعات زيادي به عمل آمده . يكي از خواص جالب آنها (كه اثباتش به اين سادگيها هم نيست ) اينست كه طول محيط كليه منحنيهاي متساوي العرض مختلف الشكل كه داراي عرض ثابت n باشندبا يكديگر مساويست و چون دايره نيز خود يك منحني متساوي العرض است بنابراين محيط هر منحني متساوي العرضي با عرض n مساوي
يعني مساوي محيط دايره اي با قطر n مي باشد .