بخشی از مقاله
آمار و احتمال
توزيع دو جمله ای :
اگر آزمايشی دارای ويژگی های زير باشد ، آزمايش تصادفی دوجمله ای است .
1- آزمايش ها مستقل از يکديگر تکرار شوند
2- آزمايش ها به تعداد دفعات معين مثلا n بار تکرار شوند
3- آزمايش تصادفی به دو نتيجة ممکن موفقيت و شکست منجرگردد .
4- احتمال موفقيت ها در همة آزمايش ها ثابت و برابر p باشد .
مثال 1 : کدام يک از موارد زير می تواند به عنوان آزمايش دوجمله ای تلقی شود ؟
الف- نمونه گيری تصادفی از 500 زندانی برای تعيين اينکه آيا آنها قبلا در زندان بوده اند يا خير .
ب- نمونه گيری تصادفی از 500 زندانی برای تعيين طول مدت محکوميت آنها .
حل :
مورد « الف » شرايط لازم برای يک آزمايش دوجمله ای را دارد .
1- آزمايش ها مستقل از يکديگرند
2- تعداد آزمايش ها ( 500 ) ثابت است
3- هرآزمايش دو نتيجه دارد : يا در زندان بوده يا نبوده
4- احتمال موفقيت ها ( مثلا زندانی نبودن ) در همة آزمايش ها ثابت است .
مورد « ب » شرايط لازم برای يک آزمايش دوجمله ای را ندارد زيرا طول مدت محکوميت زندانيان متفاوت بوده و بنابراين هرآزمايش بيش از دو نتيجه دارد .
متغير تصادفی و تابع توزيع احتمال
متغير تصادفی دو جمله ای عبارت است از تعداد موفقيت ها دريک آزمايش تصادفی دو جمله ای تابع توزيع احتمال دو جمله ای که در آن p احتمال موفقيت و x تعداد موفقيت ها در n آزمايش باشد به صورت زير تعريف می شود :
نکتة 1 : توزيع احتمال دوجمله ای دارای دو پارامتر p , n می باشد .
مثال 2 : يک آزمون چندگزينه ای دارای 30 سئوال ، و هرسئوال دارای 5 جواب ممکن است که يکی از آنها درست می باشد اگر به تمام سئوالات پاسخ داده شود ، چقدر احتمال داردکه دقيقا 4 تای آنها پاسخ درست باشد ؟
حل :
اميد رياضی ، واريانس و تابع مولدگشتاور
1- E ( X ) = np
2- Var ( X ) = npq
3-
مثال 3 : احتمال اينکه مشتری ای که وارد فروشگاهی می شود چيزی بخرد 6 /0 است . اگر 10 مشتری وارد فروشگاهی شده باشند اميد رياضی و واريانس تعداد مشتريان خريدکرده چقدر است ؟
حل :
اين موقعيت شرايط لازم برای يک آزمايش دوجمله ای را داردکه درآن 6 /0 = p ، 4/0= q و 10 = n ، پس :
24 /0 = 4 /0 * 6 /0 * 10 = npq = Var ( x) ، 6 = 6 /0 * 10 = np = E ( X)
مثال 4 : تابع مولدگشتاورهابرای کميت تصادفی X به صورت10 ( t e 8 /0 +2 /0 ) =M x ( t )
به دست آمده است ضريب تغييرات متغيرتصادفی X را بيابيد .
حل :
10 = n ، 8 /0 = p ، 2 /0 = q → 10 ( t e 8 /0 + 2 /0 ) = M X ( t )
27 /1= → 6 /1 = 2 /0 * 8 /0 * 10 = npq = Var (x) ،
8 = 8 /0 * 10 = n .p = μ = E ( X )
توزيع پواسن :
اگر آزمايشی دارای ويژگی های زيرباشد ، آزمايش تصادفی پواسن است .
1- احتمال رخداد بيش ازيک حادثه دريک فاصله زمانی يا مکانی بسيارکوچک تقريبا صفر باشد .
2- احتمال رخداد يک حادثه درهرفاصله زماني يامکانی متناسب با طول آن فاصله باشد.
3- احتمال رخدادها درفواصل زمانی يا مکانی مستقل ازهم باشد .
متغير تصادفی و تابع توزيع احتمال :
متغير تصادفی X که بيانگر رخدادهای تصادفی پواسن دريک فاصله زمانی يامکانی معين است را متغير تصادفی پواسن گويند اگر متوسط تعداد موفقيت درهرفاصله زماني يامکانی برابر λ باشد ، تابع احتمال پواسن به صورت زيرتعريف می شود :
. . . و 2 و 1 و 0 = x
نکتة 2 : توزيع احتمال پواسن دارای يک پارامتر λ می باشد .
مثال 1 : به طورمتوسط درهردقيقه 2 اتومبيل برای تحويل بنزين وارد پمپ بنزين می شوند احتمال اينکه 2 اتومبيل در 5 دقيقه وارد پمپ بنزين شوند ، چقدر است ؟
حل :
اتومبيل دقيقه
2 1
10 = λ 5
نکتة 3 : اگر در توزيع دوجمله ای n بزرگ و p خيلی کوچک باشد می توان از توزيع پواسن استفاده کرد به طورکلی وقتی 20 ≤ n و 05 /0 ≥ p باشد ، توزيع پواسن تقريب خوبی برای توزيع دوجمله ای و وقتی 100 ≤ n و 10 ≥ np باشد ، تقريب بسيارعالی برای آن محسوب می شود يعنی :
Np = λ ،
مثال 2 : احتمال اينکه محصولی ضمن توليد معيوب شده 2 % است . 200 واحد محصول را به طورتصادفی انتخاب می کنيم ، احتمال اينکه حداقل يک محصول معيوب باشد چقدر است ؟
حل :
5 > 4 = λ = np → 02 /0 = p ، 200 = n
982 / 0 = - 1 = ( 0 = x ) f x -1 = ( 1 ≤ x ) f x
اميد رياضی ، واريانس و تابع مولدگشتاور
1- λ = E ( X )
2- λ = Var ( X)
3- = ( t ) M x
مثال 3 : براساس تجربه مشخص شده است که يک تلفنچی 4 % از تلفن ها را اشتباه وصل می کند . اگر امروز 200 تلفن وصل کرده باشد ، واريانس تلفن هايي که اشتباه وصل شده است را پيدا کنيد .
حل :
8 = 04 /0 * 200 = p ، n = λ
8 = λ = Var ( X )
توزيع نرمال :
مهمترين توزيع احتمال پيوسته در سرتاسر علم آمار ، توزيع نرمال است . نمودار آن به نام منحنی نرمال ناميده شده و هم شکل زنگوله است .
متغيرتصادفی X که دارای توزيع زنگوله ای شکل باشد متغيرتصادفی نرمال ناميده می شود اگر X يک متغيرتصادفی نرمال با ميانگين μ و واريانس باشد تابع چگالی آن به صورت زير خواهد بود :
که درآن . . . 14159 / 3 = π و . . . 71828 / 2 = e است . وقتی که مقادير μ و σ مشخص شده باشند منحنی نرمال دقيقا مشخص شده است . معمولا وقتی متغيرتصادفی X دارای توزيع نرمال با ميانگين μ و واريانس است آن را به صورت زير نمايش می دهيم :
نکته 4 : توزيع احتمال نرمال دارای دو پارامتر μ و می باشد .
مثال 1 : تابع فراوانی توزيع X به صورت است . ميانگين و انحراف معيار اين توزيع را به دست آورده و مقدار A را حساب کنيد .
حل :
از مقايسة تابع با تابع توزيع نرمال نتيجه می شودکه : 4 = μ و 1= و از اينجا 707 / 0 = σ از طرفی :
اميد رياضی ، واريانس و تابع مولدگشتاور :
1- E ( X ) = μ
2- Var ( X ) = σ 2
3-
مثال 2 : تابع مولدگشتاورها برای کميت تصادفی X به صورت بيان شده است . ضريب تغييرات کميت تصادفی X ، چقدر است ؟
حل :
ازمقايسة M x ( t ) با تابع مولدگشتاور نرمال نتيجه می شودکه 50 = μ و 16= يا 4 = σ و ضريب تغييرات مساوی خواهد شد با :
خواص توزيع نرمال :
1- توزيع نرمال نسبت به خط μ = x دارای تقارن است .
2- در توزيع نرمال پارامترهای مرکزی يعنی ميانگين ، ميانه و مد با هم برابرند ، پس :
μ=me= mo
3- توزيع نرمال دارای يک نقطه ماکزيمم به ازای μ = x می باشد که مقدار ماکزيمم برابر با است .
4- توزيع نرمال دارای دو نقطة عطف به ازای σ ± μ = x می باشدکه دارای عرضی برابر با است .
5- در دو طرف ميانگين ، منحنی به مجانب خود يعنی محور x ها نزديک می گردد .
6- با تغيير پارامتر μ شکل توزيع تغييرنمی کند ولی با تغيير شکل توزيع نيز تغييرمی کند.
7- مساحت زير منحنی نرمال و محور x ها برابر 1 است .
8- مساحت زير منحنی نرمال به وسيلة خط μ = x به دو قسمت مساوی که هريک مساوی است ، تقسيم می شود . يعنی همواره بيشتر از 50 درصد از اندازه ها بيشتر ازميانگين و 50 درصد از اندازه هاکمتر ازميانگين است .
مثال 3 : فرض کنيد توزيع عمر يخچال های توليدی يک کارخانه با ميانگين 30 و واريانس 15 نرمال باشد . احتمال آنکه طول عمريکی از يخچال ها که به طورتصادفی انتخاب می شود کمتراز ميانگين چقدراست ؟
حل :
چون محور تقارن منحنی توزيع نرمال μ = x می باشد و مساحت سمت چپ آن است بنابراين .
توزيع نرمال استاندارد :
اگريک متغيرتصادفی مانند X دارای ميانگين μ و واريانس باشد آنگاه اگرميانگين اين متغير تصادفی را از آن کسر و برانحراف معيار آن تقسيم کنيم ، داريم :
به متغير تصادفی حاصل که معمولا آن را با حرف Z نشان می دهيم « متغيراستانداردشده » و به اين عمل استاندارد کردن می گويند . ميانگين متغير استاندارد شده صفر و واريانس آن يک می باشد و به صورت نشان می دهند .
ثابت می شودکه اگر توزيع X نرمال باشد توزيع Z هم نرمال خواهد بود و لذا تابع چگالی آن به صورت :
است ، به چنين توزيعی ، توزيع نرمال استانداردگويند .
مثال 4 : اگر اندازة دو نفر از جامعه نرمالی 10 و 16 و اندازة اين دو نفر برحسب متغير استاندارد Z صفر و 2 باشد ، ميانگين و انحراف معيارکدامند ؟
حل :
نکتة 5 : تابع مولدگشتاور توزيع نرمال استاندارد به صورت زير است :
مثال 5 : تابع مولدگشتاورها برای متغير تصادفی X به صورت بيان شده است.
اميد رياضی و واريانس کميت x 3 = y را پيدا کنيد .
حل :
بنابراين کميت Y برطبق قانون نرمال با اميد رياضی 0 و واريانس 9 توزيع خواهد شد .
سطح زير منحنی نرمال :
برای محاسبة احتمال اينکه متغير تصادفی X کميتی بين x1 تا x2 را اختيارکند ، همان طور که دربحث توزيع های پيوسته گفته شد ، عبارت است از :
و در خصوص توزيع نرمال داريم :
محاسبة انتگرال فوق ، عملی مشکل و وقت گير است اين مشکل به وسيلة استانداردکردن داده های آماری حل می شود .
