مقاله بررسی عددی تغییر شکل بستر سواحل ماسه ای در مجاورت دیوار های ساحلی با استفاده از روشSPH

بخشی از مقاله

*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***

بررسی عددي تغییر شکل بستر سواحل ماسه اي در مجاورت دیوار هاي ساحلی با استفاده از روشSPH

چکیده

مطالعه در زمینه جریانهاي سطح آزاد، به علت اهمیت و کاربرد فراوان آن همواره مورد توجه محققین بوده است. از جمله این جریانها، جریان امواج ساحلی می باشد. در این تحقیق با استفاده از یک روش کاملاً لاگرانژي عددي مبتنی بر ذرات و بدون شبکه بندي به نام روش هیدرودینامیک ذرات هموار (SPH)1 ، شبیه سازي تغییر شکل بستر سواحل ماسه اي در اثر امواج ساحلی انجام شده است. در این روش معادلات ناویر-استوکس که در واقع معادلات حاکم بر جریانهاي با سطح آزاد هستند حل می شوند. در این شبیه سازي یک سري نقاط درون یابی با توزیع دلخواه وجود دارند که می توانند ذرات سیال فرض شوند. کلیه متغیرها بوسیله این نقاط و توسط یک تابع درون یابی محاسبه می گردند. معادلات حاکم با استفاده از یک روش پیش بینی-تصحیح حل می شوند. در این تحقیق از یک الگوریتم ﺟﺪﻳﺪ SPH در حل مسائل سیال استفاده می شود که باعث افزایش پایداري و دقت این روش خواهد شد. به منظور معتبرسازي روش، مسائل متنوع جریان با سطح آزاد، مانند انتشار امواج گرانشی با موفقیت حل شده اند. بر اساس اطلاعات موجود، شبیه سازي تغییر شکل بستر سواحل ماسه اي با روشSPH تاکنون انجام نشده است.

در این مقاله بر اساس یک مدل آزمایشگاهی، این مساله به روشSPH مورد بررسی قرار گرفته است. مقایسه نتایج بدست آمده با تحقیقات آزمایشگاهی و عددي گذشته، بیانگر توانایی این روش در شبیه سازي چنین جریانهایی می باشد.

مقدمه

درك پدیده هاي طبیعی که در اطراف بشر به وقـوع مـی پیوندنـد از دیرباز داراي اهمیت زیادي بوده است. از این رو همـواره محققـان در تلاش بوده اند تا با یافتن قوانین حاکم بر این پدیده ها به کنترل آنها پرداخته و به نحو مطلوب از آنها در جهت رشد و توسعه زندگی بشـر استفاده نمایند. یکی از این پدیده ها، پدیده جریانهاي بـا سـطح آزاد است که داراي کاربردهاي بسیار زیادي می باشـد. حرکـت سـیال در کانالهاي باز، جریان ناشی از شکست سد، انتشار و شکسـت امـواج در ساحل، امواج ضـربه اي و آب شسـتگی بسـتر سـواحل در اثـر امـواج ساحلی از نمونه هاي پراهمیت جریانهاي با سطح آزاد هستند.

با پیشرفت روزافزون کامپیوترها روشهاي عددي در شبیه سـازي چنین مسائلی بسیار معمول شـده اسـت. اگرچـه معـادلات ریاضـی و آماري که تعیین کننده رفتار ماسـه و آب در نـواحی سـاحلی باشـند تاکنون بطور کامل شناخته نشده است، با این حال بدلیل مزایایی که در روشهاي عددي وجود دارد، می توان با انجام برخی فرضیات سـاده شونده، نتایجنسبتاً قابل قبولی بدست آورد.

اصولاً شـبیه سـازي چنـین جریانهـایی مشـکل اسـت، زیـرااولاً، تغییرات شکل سطح آزاد در آنها زیاد بوده و اعمال شرط مرزي بـراي این جریانها دشوار می باشدثانیاً،. در روشـهایی کـه از شـبکه بنـدي فضاي محاسباتی براي انجام محاسـبات خـود اسـتفاده مـی کننـد2،
تولید شبکه هایی که بتواند فیزیکهاي پیچیده را مدل کند، مشکلاتی را ایجاد می کند. به همین دلیل براي این نوع جریانها گـرایش بـراي مدلسازي سطح آزاد با استفاده از روشهاي بدون شبکه بندي افـزایش یافته است.
در تحقیق حاضر، براي شبیه سازي تغییر شکل بستر سواحل ماسه اي بر اثر امواج ساحلی از روش عددي هیدرودینامیک ذرات هموار (SPH) که یکی از روشهاي بدون شبکه بندي است، استفاده می شود.
روش SPH یک روش کاملا لاگرانژي است که در آن احتیاج به هیچ نوع شبکه بندي نیست. این روش براي اولین بار توسط Lucy در زمینه مسائل فیزیک ستاره شناسی به کار گرفته شد .[1] از دیگر پیشگامان این روش می توان به Monaghan اشاره کرد که علاوه بر مسائل فیزیک نجوم براي اولین بار این روش را براي تحلیل جریانهاي با سطح آزاد به کار گرفت و نتایج قابل قبولی نیز کسب کرد .[2] با توجه به قابلیت این روش در شبیه سازي تغییرات زیاد مربوط به سطوح مشترك از جمله پخش شدگی و به هم پیوستن ذرات، تاکنون در محدوده وسیعی از مطالعات از جمله برخورد سیال اساس این روش بر تئوري درون یابی انتگرالی4 بنیان نهاده شده است. در این روش اطلاعات مقادیر پارامترهاي سیال از قبیل چگالی، سرعت و فشار مشخص است. معادلات دیفرانسیلی با استفاده از یک تابع درون یابی به معادلات انتگرالی تبدیل می شوند. مشتقات مکانی بجاي کمیتهاي فیزیکی بر روي تابع درون یابی که یک تابع تحلیلی و مشتق پذیر است، عمل می کنند.

در این مقاله بر پایه روش SPH تراکم ناپذیر [7] یک الگوریتم SPH سه مرحله اي براي شبیه سازي تغییر شکل بستر سواحل ماسه اي بکار رفته است. این الگوریتم، مشابه الگوریتم سه مرحله اي SPH است که ابتدا توسط حسینی و همکاران [8] براي شبیه سازي جریانهاي سیال تراکم ناپذیر پیشنهاد شده است. در گام اول، معادله ممنتوم تنها با حضور نیروهاي حجمی و در غیاب سایر نیروها حل می شود. سرعت میانی محاسبه شده از این مرحله با اعمال اثرات نیروي لزجت در گام دوم، اصلاح می شوند. یک معادله پواسون فشار در گام سوم، بعنوان جایگزین معادله حالت در روش SPH استاندارد استفاده می شود تا فشار ذرات را محاسبه نماید. این معادله پواسون، یک تعامل بین فشار و چگالی بوجود می آورد تا تغییرات چگالی را اصلاح نموده و تراکم ناپذیري سیال را اعمال نماید.

به منظور معتبرسازي نتایج، ابتدا مساله انتشار موج با این روش مدلسازي شده است و نتایج محاسباتی با روش SPH استاندارد و نتایج آزمایشگاهی مقایسه شده است. آنگاه این روش، براي شبیه سازي یک الگوي بستر ساحلی استفاده شده است و نتایج آن یا نتایج یک مدل آزمایشگاهی [9] از لحاظ کیفی مقایسه شده است.

معادلات حاکم

معادلات حاکم براي شبیه سازي دو بعدي سیال، با روش SPH معادلات بقاي جرم (پیوستگی) و ممنتوم می باشد که به فرم لاگرانژي به شکل زیر نوشته می شود:

معادلـه (1) بـراي جریــان تـراکم پـذیر نوشـته شـده امـا بـراي مدلسازي جریانهاي تراکم ناپذیر ﭘﺲ از حل این معادله مـی بایسـت مقدار انحراف چگالی نسبت بـه چگـالی اولیـه سـنجیده شـود تـا در مرحله اصلاحی هر گام زمانی، چگالی به مقدار اولیه تصحیح گردد تـا شرط تراکم ناپذیري سیال برقرار شود.

الگوریتم SPH تراکم ناپذیر سه مرحله اي

در این بخش، یک الگوریتم سه مرحله ايکاملاً صریح براي نشان دادن ترتیب مراحل انجام محاسبه معادلات حاکم بر سیال اراﺋﻪ می گردد .[9] در گام اول این الگوریتم، معادله ممنتوم اباعمال نیروهاي حجمی و بدون در نظر گرفتن سایر نیروها حل می شود و یک سرعت میانی بدست می آید. در صورتی که تنها نیروي حجمی موثر بر سیال، نیروي جاذبه زمین باشد، خواهیم داشت:

در گام دوم، از این سـرعتهاي میـانی بـراي محاسـبه دیـورژانس تانسور تنش استفاده می شود و سرعتهاي جدیدي بدست می آید. در این مقاله دیورژانس تانسـور تـنش از معادلـه ممنتـوم بصـورت زیـر بدست می آید:

در انتهاي گام دوم، سرعتهاي میانی هر ذره بصـورت زیـر اصـلاح می شود:

تا این مرحله، هیچ شرطی براي اعمـال تـراکم ناپـذیري در نظـر گرفته نشده اسـت. بنـابراین انتظـار مـی رود چگـالی ذرات از مقـدار واقعی خود منحرف شده باشند. در واقع با کمـک معادلـه پیوسـتگی، چگالی میانی (موقتی) ذرات را به شکل زیر می توان محاسبه نمود:

در معادله فوق ρ* چگالی لحظه اي سـیال در پایـان مرحلـه پـیش بینی اولیه وρ0 چگالی ثابت سیال است. اکنون باید میدان سرعت ذره دوباره محاسبه شود تا چگالی سیال به مقدار اولیه خود اصلاح گردد. براي این منظور در گام سوم که مرحله تصحیح الگوریتم می باشد، گرادیان فشار در معادله مومنتم با معادله پیوستگی به شکل زیر ادغام می شود:

در معادلات بالا V میدان سرعت تصحیح شده، می باشد. با ترکیب معادلات فوق، معادله پواسون فشار5 به شکل زیر بدست می آید:

در صورتی که معادله (10) به شکل SPH نوشته شود، فشار هر ذره را در یک گام زمانی می توان محاسبه نمود:

با استفاده از معادله بالا و محاسبه فشار هر ذره، سرعت اصلاحی، مطابق زیر بدست می آید:

در نهایت، سرعت نهایی ذرات در پایان گام زمانی به صـورت زیـر محاسبه می شود:

موقعیت نهایی ذرات نیز با استفاده از دیفرانسیل مرکزي روي ذره بدست می آید:

لازم به ذکر است که براي کاهش حجم محاسباتی و بالا بردن سرعت اجراي برنامه کامپیوتري، از یک الگوریتم درختی (ADT)6 براي یافتن همسایه هاي هر ذره استفاده شده است.

معتبرسازي نتایج

در این قسمت یک مدل آزمایشگاهی [10] که به منظور مطالعه انتشار امواج در ناحیه ساحلی بکار گرفته شد معرفی می شود. در این آزمایش، سیال درون یک تانک آب با حرکت افقی و رفت و برگشتی یک جسم بلند کهاصطلاحاً به آن موجساز یا wave-maker می گویند، به حرکت در آمده و موج تشکیل می شود.

مطابق آنچه که براي مدل آزمایشگاهی مرجع [10] توضیح داده شد، در محاسبات کامپیوتري، تانک آب به طول 17/3متر و ارتفاع 1/2 متر در نظر گرفته می شود. براي کاهش زمان محاسباتی طول و ارتفاع تانک عددي کوتاهتر از مدل آزمایشگاهی انتخاب می شود.
ارتفاع آب درون تانک نیز مطابق مدل آزمایشگاهی برابر با 65 سانتیمتر می باشد. با توجه به اینکه موج ایجاد شده، قبل از رسیدن به دیواره سمت راست، مستهلک می شود، بنابراین انتخاب طول کوتاهتر براي تانک، مشکلی را از لحاظ مقایسه با نتایج آزمایشگاهی ایجاد نمی کند. مدل فیزیکی تانک عددي در شکل (1) نشان داده شده است.

ذرات سیال در حالت اولیه به صورت منظم و در فواصل مساوي با سرعت و فشار اولیه صفر قرار داده شده اند. اندازه ذرات دیواره که در سه لایه چیده شده اند نیز مشابه ذرات سیال انتخاب می شود. ذرات موجساز (Wave-maker) نیز که جایگزین دیواره عمودي سمت چپ شده اند، در سه لایه و با فواصل مشابه سایر ذرات قرار دارند. تعداد کل ذراتی که در این شبیه سازي بکار می روند برابر با 8874 ذره خواهد بود. گام زمانی محاسبات برابر dt  0.00001 گرفته شده است.

براي بررسـی صحت نتـایج بدست آمده، شکل سـطح آزاد موج در فاصلـه هاي ثابت از موقعیت ابـتدایی دیواره سمت چپ wave-) (maker، محاسبه شده و با نتایج آزمایشگاهی حاصل از مرجع [53]
و نتایج عددي که با استفاده از روش SPH استاندارد بدست آمده است [56]، مقایسه می شود (شکل .((2)

در شکل (2) مشاهده می شود که موج بدست آمده از مدل SPH ارائه شده در این رساله، هم از لحـاظ فاز و هم از لحاظ دامنه، به نتایج آزمایشگاهی بسیار نزدیک بوده و نسبت به روش SPH استاندارد [11]، از دقت بالاتري برخوردار است. با این حال، اختلافاتی هم بین نتیجه عددي و آزمایشگاهی مشاهده می شود. این تفاوتها می تواند ناشی از این حقیقت باشد که موج عددي ورودي به wave-maker از یک فیلتر تابع هموارسازي عبور کرده است و تیزي قله هاي موج تا حدودي هموار شده است. باید توجه شود که در شبیه سازي هاي گذشته با استفاده از روش SPH استاندارد، نوعی تمایل براي جمع شدگی ذرات گزارش شده است، در حالی که Hosseini و [4] Amanifard نشان دادند که در الگوریتم سه

نتایج و جمع بندي

شبیه سازي تغییر شکل بستر ساحل ماسه اي

در این مقاله از مدل آزمایشگاهی لشته نشایی [9] استفاده شده تا مدل عددي در نظر گرفته شده از لحاظ کیفی تا حدود زیادي به شکل واقعی ناحیه ساحلی نزدیک شود. به منظور شبیه سازي میزان تغییرات بستر ساحل ماسه اي، از روش SPH تراکم ناپذیر که در این مقاله ارائه شده است، استفاده می شود. جزئیات مربوط به مدل آزمایشگاهی در [9] موجود می باشد.

براي کاهش زمان محاسباتی، مدل عددي ناحیـه سـاحلی مـورد بررسی، کوچکتر از مدل آزمایشگاهی در نظر گرفته شده است. شـبیه سازي براي دو حالت تغییر شکل بستر ساحل ماسـه اي الـف- بـدون دیواره ساحلی و ب- در مجاورت دیواره ساحلی انجام گرفته است.

الف- شبیه سازي بستر ساحل بدون دیواره ساحلی: شـکل

(3) مدل عددي دو بعدي اولیه ساحل در حالت بدون دیواره را نشـان می دهد. طول کلی در نظر گرفته شده براي آن برابر با 18 متر بـوده و حداکثر ارتفاع سیال 0/6 متر است. یک سطح شیبدار با شیب ثابت 6% که در قسمتی از سطح خود، پوشیده از ماسه مـی باشـد، بسـتر ساحل را به قسمت خشکی متصل می کند.

براي ایجاد موج، یک wave-maker به ارتفاع 2 متر در سمت چپ ساحل قرار داده شده است که یک حرکت سینوسی با دامنه و فرکانس ثابت یک، مطابق معادله زیر به آن داده می شود.

در معادله (15)، u سرعت افقی موجساز می باشد.
نکته مهم، انتخاب یک مدل مناسب براي ماسه است تا بتواند ویژگی هاي خاص آن را به خوبی نمایان سازد. در این مقاله براي مدلسازي کردن ماسه از یک مدل رئولوژیکی که در [12] ارائه شده است، استفاده می گردد. بر این اساس، ماسه به عنوان یک سیال غیر نیوتنی مدل بینگهام پلاستیک در نظر گرفته می شود. مدلهاي مختلفی براي تخمین مقدار لزجت در چنین سیالاتی پیشنهاد شده است. مدل کراس7 یکی از این مدلها است که در آن:

که μ0 لزجت در تنشهاي برشی خیلی کوچک، μ∞ لزجت در تنشهاي برشی خیلی بالا، μeff ضریب لزجت سیالات غیر نیوتنی γ& نرخ تغییر شکل برشی، K و n ضرایب ثابت هستند .[16]
مدل بینگهام نیز مدل دیگري است که در آن:

که μB ضریب لزجت و τB تنش تسلیم بینگهام است .[16]
با ترکیب این دو مدل و اعمال فرضیاتی به منظور افزایش پایداري نتایج عددي و همچنین اختصاص مقدار واحد براي n مدل زیر را می توان معرفی کرد :[16]