بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
بهبود روش FDTD و کاربرد آن در نانواپتیک و نانوفوتونیک
چکیده – به منظور افزایش کارایی روش FDTD در حوزه نانواپتیک و نانوفوتونیک روشهایی ارائه میکنیم که مدلسازي گروه وسیعی از مسائل مطرح در این حوزه را بر روي کامپیوترهاي معمولی امکان پذیر میسازد. کارایی این روشها را بر روي چند مسئله نمونه شامل پراکندگی نور توسط نانوذرات، موجبر خمیدة بلور فوتونیک، پلاسمون سطحی و نانوآنتن نشان میدهیم. مقایسه نتایج حاصل از شبیه- سازي و جوابهاي تحلیلی نشاندهنده دقت و کارایی روشهاي ارائه شده میباشد.
کلید واژه- اجسام مدور، روش تفاضل متناهی در دامنه زمان، گذردهی مؤثر، نانو اپتیک، نانوفوتونیک.
-1 مقدمه
پیشرفتهاي اخیر در فناوري تولید ساختارهاي نانو، امکان دستیابی به سیستمهاي تمام اپتیکی و همچنین انجام پژوهشهاي بنیادي و بررسی فرآیندهاي اپتیکی در ابعاد نانو را فراهم کرده است. در این راستا شاخههاي جدیدي از علم همچون نانواپتیک و نانوفوتونیک پدید آمدهاند که به بررسی پدیده هاي اپتیکی، برهمکنش نور-ماده و امکان کنترل نور در ابعاد نانو میپردازند. در این حوزه، به دلیل پیچیدگی در ساختارهاي مورد بررسی و میدانهاي برهمکنشکننده، اغلب از تکنیکهاي محاسباتی استفاده میشود:
(1 در حوزه تکنولوژي میتوان هزینه بسیار بالاي طراحی و ساخت قطعات را بطور قابل ملاحظهاي کاهش داد. بدین منظور ابتدا مدل مورد نظر توسط نرمافزارهاي بهینه- سازي و شبیهسازي طراحی میگردد. پس از اطمینان از کارایی مدل با پارامترهاي به دست آمده از شبیهسازي، قطعه مورد نظر ساخته میشود.
(2 در حوزه پژوهشهاي بنیادي با توجه به اینکه ابعاد مورد مطالعه بسیار کوچکتر از طول موج میباشد، تقرباًی بسیاري از روشهاي تحلیلی (جز در موارد خاص) غیر قابل استفاده میباشند و باید از روش هاي عددي به منظور مطالعه پدیدههاي فیزیکی و همچنین بررسی نتایج به دست آمده از آزمایش استفاده کرد. از میان روشهاي عددي موجود، روش تفاضل متناهی در دامنه زمان[1] (FDTD) 1 به دلیل توانایی در حل معادلات ماکسول در دامنه زمان براي ساختارهاي پیچیده با ابعاد و شکل دلخواه از اهمیت ویژهاي برخوردار است. با پیشرفت در ساخت کامپیوترهاي شخصی، این روش به عنوان کارآمدترین روش در مطالعه انتشار و برهمکنش امواج الکترومغناطیس-ماده در بسیاري از شاخه هاي علم از قبیل:
فیزیک، الکترونیک، مخابرات، فوتونیک و ... مطرح شده است.
-2 روش FDTD کلاسیک
در این روش، فضاي شیبهسازي با سلولهاي یکسان شبکه- بندي شده و با اختصاص خواص اپتیکی به سلولهاي این شبکه، ساختار مورد مطالعه مدلسازي میشود. بر روي هر سلول مؤلفههاي میدان الکتریکی و مغناطیسی با ترتیب خاصی قرار داده میشوند (شکل.(1 با بکارگیري تفاضل متناهی بر روي معادلات وابسته به زمان ماکسول، مجموعه- اي از روابط براي محاسبه مؤلفههاي میدان الکترومغناطیسی بر حسب مقادیر مربوط در زمانهاي قبل به دست میآیند.
بدین ترتیب که ابتدا میدانهاي مورد بحث با شرایط اولیه مناسب مقداردهی میشوند و سپس در یک حلقه زمانی مقادیر جدید براي هر مؤلفه با در اختیار داشتن میدانهاي الکتریکی و مغناطیسی مجاور در یک گام زمانی عقبتر به دست میآیند. پس از پایان یافتن زمان شبیهسازي، با در اختیار داشتن مقادیر میدانهاي الکتریکی و مغناطیسی در تمامی سلولها، میتوان کمیتهاي فیزیکی مورد نظر را محاسبه کرد.
شکل :1 محل قرارگیري میدانها بر روي سلول دو بعدي.
-3 بهبود روش FDTD
در این بخش، بدون ذکر جزئیات، به معرفی روشهایی که جهت افزایش دقت و کارایی الگوریتم FDTD ارائه کردهایم، میپردازیم و نشان میدهیم که تغییرات اعمال شده در روش کلاسیک FDTD، کاربرد آن را براي مدلسازي در حوزهي گستردهاي از نانواپتیک و نانوفوتونیک بر روي کامپیوترهاي معمولی میسر میسازد .[2-10]
-1-3 روش CPEP
در الگوریتم FDTD کلاسیک، از شکل دیفرانسیلی معادلات ماکسول استفاده شده که مشکل پلکانی شدن مدل را به همراه دارد. به هر سلول، گذردهی مدل و یا محیط اطراف آن نسبت داده میشود. بنابراین مرز واقعی جسم با مرز پله- اي شکل جایگزین و خطاي پلکانی2 را وارد شبیه سازي می- کند. با به کارگیري شبکههاي بسیار ریز میتوان این خطا را کاهش داد. اما از آن جایی که حجم حافظه مورد نیاز و زمان اجرا به ترتیب با توان سوم و چهارم تعداد سلولهاي شبکه متناسب است، شبیهسازي بسیاري از مسائل بر روي کامپیوترهاي معمولی غیر عملی میشود. یک راه حل ممکن، استفاده از گذردهی متوسط حجمی3 متناسب با حجم اشغال شده سلول میباشد. نشان خواهیم داد که در بسیاري از موارد، روش VEP مناسب نبوده و حتی باعث افزایش خطا نیز میگردد. براي حل این مشکل، از شکل انتگرالی معادلات ماکسول شروع میکنیم و با استفاده از شرایط مرزي براي میدان الکتریکی و بردار جابجایی الکتریکی، معادلات FDTD را براي سلولهاي نیمه پر بازنویسی میکنیم.[3] در این روش که آن را گذردهی مؤثر پربند4 نامیدهایم، به هر سلول با توجه به میزان فضاي اشغال شده و زاویه مرز درون سلول یک گذردهی مؤثر نسبت داده میشود. شکل2 چند حالت ممکن را نمایش میدهد. به عنوان نمونه، با به کارگیري روش CPEP، گذردهی مؤثر براي سلول f به صورت زیر محاسبه میشود:[3]
که ε1 و ε2 گذردهی دو محیط، d و f کسر پرشدگی سلول در دو راستا، اندازة سلول و m و n تصویربردارهاي m و n در راستاي میدان الکتریکی میباشند.
-2-3 روش VPEP
به عنوان روشی سادهتر که پیچیدگی فرمولبندي CPEP را نداشته و بتواند مرز اجسام را با دقت قابل قبولی مدلسازي کند، روش گذردهی مؤثر متوسط قطبیده5 را ارائه می-کنیم.[3] در این روش با استفاد از CPEP گذردهی مؤثر دو سلول خاص موازي و عمود با مرز را محاسبه کرده و طبق رابطه زیر گذردهی مؤثر را براي سلولهاي دیگر با زاویه θ به دست میآوریم:[3]
آن براي آزمودن و مقایسه روشهاي ذکر شده استفاده کرد.
در شکل3 فضاي شبیهسازي، سطح مقطع پراکندگی و خطاي مربوطه براي نور پراکنده شده توسط یک نانوذرة استوانهاي شکل نشان داده شده است. روش VEP بیشترین خطا را دارد، خطاي روش پلکانیمتناوباً تغییر میکند و همگرایی جواب یکنواخت نیست. روشهاي CPEP و VPEP سریعاً همگرا شده و خطاي بسیار کوچکی حتی براي سلول- هاينسبتاً درشت وجود دارد.
-3-3 روش DCP
با ترکیب روش CPEP و تبدیل 6Z، روش دیگري به نام پربند پاشنده7 براي کاهش خطاي پلکانی در مرز میان محیط پاشنده و ديالکتریک ارائه کردهایم که میتواند خطا را تا ده برابر کاهش دهد.[4]
-4-3 روش BOR
گروه بزرگی از مسائل مهم و مطرح در حوزه نانواپتیک داراي تقارن محوري میباشند. با بهرهگیري از تکنیک 8BOR این گونه مسائل سه بعدي را به هم ارز دو و نیم بعدي آنها (فضاي دو بعدي با شش مؤلفه میدان) کاهش میدهیم که حاصل، کاهش قابل ملاحظهاي در حافظه کامپیوتر و زمان اجراي برنامه میباشد.[5] یادآوري میشود که در مسائل سه بعدي حافظه مورد نیاز متناسب با N3 و زمان اجرا متناسب با N4 میباشد که N تعداد سلولهاي به کار رفته در راستاي x , y , z است. این در حالی است که در مسائل دو بعدي (و همچنین در روش (BOR-FDTD حافظه مورد نیاز متناسب با N2 و زمان اجرا متناسب با N3 میباشد.
-4 کاربرد در نانواپتیک و نانوفوتونیک
-1-4 پراکندگی نور توسط نانوذرات
محاسبه پراکندگی، یکی از متداولترین کاربردهاي روش FDTD میباشد.[6] به دلیل وجود پاسخ تحلیلی، میتوان از ان براي
برای ازمودن و مقایسه روش های ذکر شده استفاده کرد . در شکل 3 فضای شبیه سازای ، سطح مقطع پراکندگی و خطای مربوطه برای نور پراکنده شده توسط یک نانو ذره استوانه ای شکل نشان داده شده است . روش VEP بیشترین خطا را دارد . خطای روش پلکانی متناوبا تغییر میکند و همگرایی جواب یکنواخت نیست . روش های بیشترین خطا را دارد . خطای روش پلکانی متناوبا تغییر میکند و همگرایی جواب یکنواخت نیست . روش های CPEP و VPEP سریعا همگرا شده و خطای بسیار کوچکی حتی برای سلول های نسبتا درشت وجود دارد .
-2-4 ابزارهاي نانوفوتونیک
به منظور کنترل و هدایت نور در ابعاد نانو، ابزارهاي فوتونیکی معادل با ابزارهاي الکترونیکی موجود از قبیل کاواك، موجبر، سوئیچ و غیره، به کمک بلورهاي فوتونیک ساخته شدهاند. بلورهاي فوتونیک ساختارهاي متناوبی از دو ماده با ثابت ديالکتریک متفاوت میباشند. مدلسازي بلورهاي فوتونیک، به دلیل وجود تعداد بسیار زیادي حفرة نسبتاً کوچک و اختلاف بالا در ضریب شکست دو محیط،
