بخشی از مقاله
چکیده
با بهرهگیري از تکنیک BOR به همراه روش FDTD کد مدلسازي جهت استفاده در حوزه نانواپتیک و نانوفوتونیک براي مسائلی که داراي تقارن محوري میباشند، ارائه میگردد. با اعمال تصحیحات لازم بر روي اجزاي مختلف روش FDTD - شامل شرایط مرزي جاذب، میدان فرودي، آشکارسازها و... - ، کد حاصل از توانائی مدلسازي گروه بزرگی از مسائل مورد بحث در نانواپتیک برخوردار میباشد. به منظور بررسی دقت و کارایی کد، پراکندگی موج تخت توسط نانوذرات کروي شکل با شعاع و ضریب شکست مختلف، شبیهسازي می-گردد. مقایسه نتایج حاصل از شبیهسازي و جوابهاي تحلیلی نشاندهنده دقت و کارایی این کد میباشد.
کلید واژه- اجسام مدور، روش تفاضل محدود در حوزه زمان، نانو اپتیک، نانوذرات، نانوفوتونیک
-1 مقدمه
با پیشرفتهاي اخیر در فناوري تولید ساختارهاي نانو، امکان دستیابی به سیستمهاي تمام اپتیکی و همچنین انجام پژوهشهاي بنیادي و بررسی فرآیندهاي اپتیکی در ابعاد نانو میسر گردیده است. با توجه به پیچیدگی در ساختارهاي مورد بررسی و میدانهاي برهمکنش کننده، روشهاي عددي که توانایی حل تمام برداري معادلات ماکسول را داشته باشند، مورد نیاز است. کاربرد این روشها در حوزه نانو را میتوان به دو دسته تقسیم کرد: - 1 در حوزه تکنولوژي میتوان هزینه بسیار بالاي طراحی و ساخت قطعات در ابعاد نانو - مثل بلورهاي فوتونیک1، نانو ذرات2 و... - را بطور قابل ملاحظهاي کاهش داد. بدین منظور ابتدا مدل مورد نظر توسط نرم افزارهاي بهینهسازي و شبیهسازي طراحی میگردد.
پس از اطمینان از کارایی مدل با پارامترهاي بدست آمده از شبیهسازي، قطعه مورد نظر ساخته میشود. - 2 در حوزه پژوهشهاي بنیادي با توجه به اینکه ابعاد مورد مطالعه بسیار کوچکتر از طول موج می-باشد، تقریًبا بسیاري از روشهاي تحلیلی - جز در موارد خاص - غیر قابل استفاده میباشند و باید از روشهاي عددي به منظور مطالعه پدیدههاي فیزیکی و همچنین بررسی نتایج بدست آمده از آزمایش استفاده گردد.روش تفاضل محدود در حوزه زمان[1] - FDTD - 3 به دلیل توانایی در حل معادلات ماکسول در دامنه زمان براي ساختارهاي پیچیده با ابعاد و شکل دلخواه از اهمیت ویژهاي برخوردار است. در این روش با شبکهبندي فضاي مدلسازي و اختصاص خواص اپتیکی به سلولهاي این شبکه، ساختار مورد مطالعه و میدانهاي برهمکنش کننده تعریف می-گردند.
این روش در سال 1966 توسط یی] 4٢[ ابداع گردید. اما به دلیل عدم دسترسی به کامپیوترهاي با سرعت و حافظه مورد نیاز تا اواخر دهه 80 مورد توجه واقع نگردید.با پیشرفت در ساخت کامپیوترهاي شخصی، این روش به عنوان کارآمدترین روش در مطالعه انتشار و برهمکنش امواج الکترومغناطیس- ماده در بسیاري از شاخههاي علم از قبیل:فیزیک، الکترونیک، مخابرات، فوتونیک و ... مطرح گردید. از این روش در حوزه نانو اپتیک و نانو فوتونیک بطور محدود استفاده میگردد. دلیل این امر نیاز به شبکههاي بسیار ظریف که بتوانند مرز خارجی اجسام را با دقت بالا مدلسازي کنند، میباشد که این مستلزم استفاده از کامپیوترهاي با حافظه و سرعت بسیار بالا - ابر کامپیوتر - میباشد.
گروه بزرگی از مسائل مهم و مطرح در حوزه نانواپتیک داراي تقارن محوري میباشند - شکل - 1 که با بهرهگیري از تکنیکBOR5 ضمن کاهش فضاي سه بعدي به دو بعد میتوان این گونه مسائل را توسط کامپیوترهاي معمولی مورد مطالعه قرار داد. از این روش براي مدلسازي پراکندگی امواج الکترومغناطیسی[3]، رادار زیرسطحی[4]، لنزهاي اپتیکی[5] و کاواك تشدید[6] استفاده شده است. در این مقاله، از تکنیکهاي پیشرفته FDTD کلاسیک [1] - شامل شرایط مرزي جاذب، چشمه نقطهاي و موج تخت، آشکارسازها و محاسبه انرژي و بردار پوینتینگ و... - با اعمال تصحیحات لازم به منظور استفاده در روش BOR-FDTD، جهت توسعه کد مدلسازي در حوزه نانواپتیک براي اجسامی که داراي تقارن محوري میباشند، استفاده می-گردد.
در شکل1، سه نمونه از مسائل مهم که توسط این کد قابل بررسی میباشند، نشان داده شده است: - aمیکروسکوپ اپتیکی میدان نزدیک - b [7]6 - SNOM - نانوآنتن - c [8]7 نانوجت فوتونیک.[9]8 به عنوان مثال براي بررسی نانوجت فوتونیک حاصل از پراکندگی نور توسط کرة ديالکتریکی به شعاع 5 میکرون، با فرض dx 10 nm به بیش از50 گیگابایت حافظه احتیاج داریم. علاوه بر این، زمان شبیهسازي نیز بسیار طولانی میباشد. در نتیجه استفاده از روش FDTD براي چنین مسائلی عملی نمی-باشد. در حالی که با روش BOR-FDTD حافظه مورد نیاز به 24 مگابایت کاهش مییابد و زمان اجراي برنامه 2000مرتبه کمتر خواهد بود. در نتیجه شبیهسازي این مسئله توسط کامپیوترهاي معمولی به آسانی انجامپذیر میباشد.
-2 روش BOR-FDTD
در این تکنیک، ابتدا فضاي فیزیکی مورد بحث - شامل جسم برهمکنش کننده با امواج الکترومغناطیسی - با سلولهاي مناسب - شکل - 2 شبکهبندي میگردد.[1] براي مشخص کردن وجود جسم در این شبکه، ثابتهاي الکترومغناطیس - ضرایب گذردهی، تراوایی، رسانش - مربوط به جسم به نقاط شبکه نسبت داده میشود. میدانهاي الکتریکی - E - ومغناطیسی - H - را میتوان در سیستم مختصات استوانهاي توسعه کد BOR-FDTD و کاربرد آن در حوزه نانواپتیک و نانوفوتونیک به صورت سري فوریه بسط داد:[1]
که m اندیس هارمونیک دورانی است. با جایگذاري روابط - 1 - در معادلات ماکسول در سیستم مختصات استوانهاي، معادلات دیفرانسیلی FDTD به دست میآید. به عنوان مثال معادله بههنگامسازي مؤلفه r میدان الکتریکی به صورت زیر بدست میآید:[1]
که i و j محل سلول، ε ضریب گذردهی، σ رسانش، t و nبازه و اندیس زمانی، z اندازه سلول در امتداد محور تقارن میباشند. سایر معادلات به هنگامسازي براي دیگر مؤلفه-هاي میدانهاي الکتریکی و مغناطیسی به طور مشابه بدست میآید. بدین ترتیب، مسئله سه بعدي را به هم ارز دو و نیم بعدي آن - فضاي دو بعدي با شش مؤلفه میدان - کاهش میدهیم که حاصل کاهش قابل ملاحظهاي در حافظه کامپیوتر و زمان اجراي برنامه میباشد. قابل ذکر است که در مسائل سه بعدي حافظه مورد نیاز متناسب با N3 و زمان اجرا متناسب با N4 میباشد که N تعداد سلولهاي به کاررفته در راستاي میباشد. این در حالی است که درمسائل دو بعدي - و همچنین در روش حافظه مورد نیاز متناسب با N2 و زمان اجرا متناسب با N3 میباشد.از حد مشخصی بیشتر شود، به این مرز، حد پایداري کورانت9 گفته میشود و مطابق زیر تعریف میشود.[1]
-2-2 میدان فرودي
در روش FDTD با توجه به مسئله مورد مطالعه، انواع مختلفی از چشمههاي الکترومغناطیسی به کار برده می-گردد. در این کد سه نوع چشمه با کاربردهاي متفاوت استفاده شده است.
1.موج گاوسی: از این منبع، در مسائلی که انتشار پرتوي گاوسی و برهمکنش آن با ماده مورد بررسی میباشد - مانند شکل - 1a، استفاد میگردد.
-1-2 شرط پایداري
