بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
تحليل الاستوپلاستيک تنش در پوسته مخروطي جدار ضخيم FGتحت فشار داخلي
چکيده
در اين مقاله ،ميدان تنش در يک پوسته مخروطي جدار ضخيم FG، مشخص مي گردد. خواص در پوسته مخروطي FG ،به صورت شعاعي تغيير مي کندولي در امتداد يال مخروط ، تغييري ندارند. اين پوسته مخروطي به صورت دو انتها باز بوده و تحت اثر فشار داخلي قرار دارد. مسأله ،ابتدافقط به صورت الاستيک ،حل مي گردد يعني شرايط مرزي به گونه اي فرض مي گردد که ماده به حد تسليم خود نرسد.در ادامه ، معادلات در حالت الاستيک -پلاستيک حل شده و حد تسليم ماده نيز منظور مي گردد. آنچه نهايتاً از حل اين معادلات به دست مي آيد، منحني هاي توزيع تنش هاي مماسي ،شعاعي و طولي در پوسته مخروطي است و حساسيت جوابها نسبت به پارامتر هاي مختلف مسأله بررسي مي گردد.
واژه هاي کليدي : پوسته مخروطي FG ،تنش مماسي و شعاعي ،حل الاستيک ، حل پلاستيک -الاستيک ،ترمو الاستو پلاستيک .
مقدمه
در اين تحليل .از ميان خواص ماده ، مدول الاستيک E و ضريب انبساط حرارتي به صورت تابعي از شعاع ، تغيير مي کنند. ضريب پواسون ν را مي توان با تقريب خيلي خوبي ثابت در نظر گرفت . مقدار تنش تسليم نيز متغير و تابعي ازr است .نکته مهم اين است که در اين تحليل ، ماده نرم در نظر گرفته شده تا معيار ترسکا براي تسليم معتبر بماند.
در اين مقاله براي مدل سازي خواص از مدل تواني استفاده شده است . مدل تواني به فرم زير مي باشد[٥] :
. در اين مدل Q يک خاصيت ماده مثل مدول الاستيک E ، تنش تسليم ، ضريب انبساط حرارتي ،ضريب هدايت حرارتي k و... مي باشد.
اين خواص با توان n از لايه داخلي به شعاع Ri با مقدار Qi تا شعاع خارجي Ro ومقدار Qo تغيير مي کنند. رفتار ماده نيز الاستيک -پلاستيک کامل در نظر گرفته شده است .
نتايجي که از جوابها و منحني هاگرفته مي شود،مي تواند حداقل درمرحله اوليه طراحي استفاده شود و ديدي کلي از مسأله به طراح بدهد.بديهيست که در مراحل بعدي طراحي به خصوص براي هندسه هاي پيچيده تر، از روشهاي المان محدود و طراحي به کمک کامپيوتر استفاده مي شود.
استخراج و ساده سازي معادلات اساسي
زاويه رأس مخروط حداکثر۶۰ درجه مي باشد. اين فرض ،يک فرض اساسي است که از آن در ساده سازي معادلات استفاده شده و حالت تنش عاري از برش فرض گرديده است .
معادلات کرنش جابجايي
براي سيستم هاي داراي تقارن محوري در مختصات استوانه اي (r,θ z)، معادلات کرنش - جابجايي به صورت زير خواهند بود[١] :
معادلات سازگاري [١]
معادله تعادل
معادله تعادل ،براي پوسته مخروطي با زاويه راس کوچک که بتوان اثر برش را ناديده انگاشت ،به صورت زير در مي آيد [٢,٣] (شکل1 :(
معادلات تنش _کرنش
الف )در حالت الاستيک ،همان معادلات هوک هستند[١]:
ب )در حالت پلاستيک با توجه به معيار ترسکا به صورت زير
است [٤] :
شرايط مرزي
شرايط مرزي در حالت الاستيک به صورت زير خواهد بود:
پس از آنکه در نقطه اي از پوسته تنش به حد تسليم رسيد،دو ناحيه مجزا داريم که لازم است در مرز مشترک اين دو ناحيه تنش ها پيوسته باشند ،چراکه اين دو محيط در يک ماده مي باشند.بنابرين اگر فرض کنيم تسليم از سطح داخلي آغاز شده و تا شعاع گسترش يافته است ، در مرز مشترک معادلات زير را خواهيم داشت :
حل معادلات در حالت الاستيک
پس از جايگذاري و ساده سازي معادلات (۲) تا (۵) به معادله زيربراي تنش شعاعي مي رسيم :
اين يک معادله مرتبه دوم با ضرايب متغير است .يادآوري مي شود
که در معادله اخير E و مشتقات آن تابعي از r مي باشند. براي حل اين معادله از کدنويسي در محيط MATLAB استفاده شده است . تحليل جواب ها بدين صورت است که منحني تنش ها با تغيير پارامترهاي دخيل در مسأله رسم مي شوند و در واقع حساسيت جواب به تغيير اين پارامتر ها سنجيده مي شود.اين پارامتر ها عبارتند از:شدت تغيير خواص ماده n،زاويه راس R
مخروط نسبت شعاع خارجي به شعاع داخلي و ضخامت جداره مخروط t.
در اين تحليل ، اولا هربار فقط تأثير يکي از اين پارامتر ها بر روي توزيع تنش ها بررسي شده ،ثانياً منحني ها حتي الامکان
بر حسب پارامترهاي بي بعد، مثل ارائه خواهد شد که به ترتيب معرف تنش (مماسي يا شعاعي ) و فشار داخلي و همچنين x و t به ترتيب معرف فاصله از شعاع داخلي و ضخامت پوسته مخروطي مي باشند
نتايج حل الاستيک مخروط جدار ضخيم FGM ،تحت اثر فشار داخلي و بررسي حساسيت جوابها به تغيير پارامترهاي مختلف
در شکل (۲) تاثير ضخامت و بر تنش شعاعي ديده مي شود. باز هم همانند تنش مماسي ضخامت اثري بر توزيع تنش ندارد ولي بر خلاف تنش مماسي با دور شدن از راس مخروط ، تنش شعاعي کاهش مي يابد.به عبارت ديگر هرچه پوسته ،جدار نازک تر شود مرتبه و اهميت تنش شعاعي کمتر ميگردد.
شکل (۳) براي تنش مماسي ،بيانگر دونکته است :اولاً براي پوسته هاي مخروطي يکسان که فقط ضخامت آنها با هم فرق دارد،ضخامت تاثيري بر توزيع تنش ندارد.ثانياً،با دور شدن از راس مخروط (کاهش نسبت )تنش به شدت در پوسته
مخروطي افزايش مييابد.علت آن است که در واقع معياري است که هرچه کوچکتر شود رفتار پوسته ،به پوسته جدار نازک نزديکترشده و تنش مماسي به شدت افزايش مي يابدو توزيع آن در پوسته يکنواخت تر ميشود. بنابر اين نقاط بحراني از نظر تنش بيشينه ، نقاط واقع بر قاعده بزرگتر مخروط ناقص مي باشند.نکته ديگر آنکه ،به خصوص براي هاي کوچک مرتبه تنش مماسي بسيار بزرگتر از تنش شعاعي ميباشد (اصولا در استوانه هاي جدار نازک ،از تنش شعاعي در
مقايسه با تنش مماسي صرف نظر ميشود).
شکل ۲-:بررسي اثر ضخامت t و نسبت شعاع خارجي به داخلي در تنشهاي شعاعي
شکل ۳-:بررسي اثر ضخامت tو نسبت شعاع خارجي به داخلي در تنشهاي مماسي
شکل (۴) نشان ميدهد که با افزايش n تنش شعاعي افزايش اندکي دارد ولي به طور کلي مي توان گفت تنش شعاعي به شدت تغييرات خواص در ماده ،خيلي حساس نيست .
در شکل (۵) اثر شدت تغيير خواص ماده n به خصوص بر روي تنش مماسي جالب ودرخور توجه است . ،هر چه خواص با شدت بيشتري تغيير کنند،تنش در نواحي نزديک به سطح داخلي افزايش مي يابد و در عوض در نواحي نزديک به سطح خارجي کاهش مييابد.نکته جالب در مورد تنش در مواد FG همين مطلب است که تنش به شدت به خواص ماده وابسته است .بر خلاف مواد همگن که تنش تنها به هندسه و شرايط مرزي بستگي دارد.
شکل ۴-تاثير شدت تغيير خواص ماده n در تنشهاي شعاعي
شکل ۵-تاثير شدت تغيير خواص ماده n در تنشهاي مماسي
شکل (۶) نشان ميدهد که زاويه راس مخروط اثر قابل توجهي بر تنش شعاعي ندارد.
شکل ۶- تاثيرزاويه رأس مخروط در تنشهاي شعاعي
شکل (٧) اثر زاويه رأس مخروط را نشان ميدهد.همانگونه که در شکل مشهود است ،کاهش زاويه رأس مخروط در نقاط نزديک به سطح داخلي سبب افزايش تنش مماسي و در نقاط نزديک به سطح خارجي سبب کاهش آن ميشود.پس تنش مماسي در سطح داخلي يک پوسته استوانه اي FG از تنش مماسي در سطح داخلي يک پوسته مخروطي مشابه آن بيشتر،ودر سطح خارجي کمتر است .
