بخشی از مقاله
چکیده
در پژوهش حاضر به بررسی و تحلیل ارتعاشات وابسته به اندازهی الکتریکی- مغناطیسی و حرارتی نانوتیرهای الاستیک پرداخته میشود که ازمدل تیر اویلربرنولی استفاده شده است و از تئوری تنشکوپل بهره گرفتهشدهاست. معادلات حاکم و شرایط مرزی از قاعدهی وردش گیری و اصل همیلتونی استخراج میگردد. همچنین فرمولاسیون بدستآمده شامل معادلات خطی و غیرخطی نانوتیر پیزوالکتری ک وابسته به اندازه میباشند که برای بدست آوردن معادلات غیرخطی، کرنش ونکارمن در نظر گرفتهشدهاست. در یک مورد خاص، اثرات میدان الکتریکی و مغناطیسی بر روی خیز استاتیکی و ارتعاشات نانوتیرالاستیک ایزوتروپیک با شرایط مرزی دوسرگیردار مورد بررسی قرار گرفته است. برای حل معادلات بدستآمده از روش گالرکین استفاده شدهاست و تابعی فرضی برای خیز فرض شده است و در نهایت معادلات بدستآمده بر اساس تابع فرضی میباشند. نتایج حاصل و نمودارهای بدستآمده از این تئوری با تئوری کلاسیک در سایرمقالات مقایسه شده است.
واژههای کلیدی: نانوتیر، تئوری تنش کوپل، تیر اویلربرنولی، روش گالرکین
مقدمه
برای بررسی رفتار نانوتیرها غالبا مدلهای تئوری بهکارگرفته می شوند. تئوریهای مکانیک محیط پیوسته، راه حلی اثربخش برای بررسی مشخصات مکانیکی نانوتیرها - ارتعاشات آزاد و واداشته، خمش، کمانش و موارد مشابه - میباشند . تئوریهای مکانیک محیط پیوسته کلاسیک در پیشبینی رفتارهای مکانیکی وابسته به اندازه ناتوان هستند و در تعیین رفتار ارتعاشی و استاتیکی مدلها در فضای مقیاس نانو قابل اعتماد نیستند و این نقص پژوهشگران را برآن داشت تا با ارائه تئوریهای اصلاحشده، این مشکل را مرتفع سازند. بنابراین طی سالیان گذشته تئوریهای غیرکلاسیک مرتبه بالای محیطهای پیوسته مثل تنش کوپل، گرادیان کرنش و غیرموضعی الاستیسیته برای پیشبینی رفتار مدلها در ابعاد نانو و میکرو توسعه و مورد بررسی قرار گرفته است که توانایی در نظر گرفتن اثرات وابسته به اندازه را دارا میباشند..[3,2,1]
تئوری تنشکوپل شامل دو پارامتر مادی اندازه طول به همراه ثوابت کلاسیک برای مواد الاستیک ایزوتروپیک میباشد. تئوری تنشکوپل اصلاح شده نیز شامل یک پارامتر مادی اندازه طول در جمع ثوابت مادی میباشد. تئوری گرادیان کرنش اصلاح شده حاوی مجموعه جدیدی از معادلات تعادل درکنار معادلات تعادل کلاسیک و پنج ثابت الاستیک، دو ثابت کلاسیک و سه ثابت غیرکلاسیک میباشد .[ 4 ] ردی1 و هکاران به بررسی ارتعاشات مدل تیر تیموشنکو وابسته به میکروساختار براساس تئوری تنشکوپل پرداختند.که این مدل شامل پارامتر اثراندازه مواد برای لحاظ کردن اثرات میکروساختاراست. همچنین خمش استاتیکی و ارتعاشات آزاد تیربا شرایط مرزی دوسرگیردار با استفاده از مدل تیرغیرکلاسیک بررسی شده است .[5] آکگوز2 و همکاران به بررسی پاسخ ارتعاشات غیرهموژن و غیر یکنواخت میکروتیر یک سرگیردار با استفاده از تئوری تنشکوپل و مدل تیر اویلربرنولی پرداختند. همچنین از روش ریلی ریتز برای بدست آوردن حل تقریبی مساله ارتعاشات عرضی آزاد استفاده شده است .[6]
اصغری و همکاران به بررسی فرمولاسیون ارتعاشات آزاد و اثراندازه تیر تیموشینکو بر اساس تئوری تنشکوپل که یک تئوری پیوسته غیرکلاسیک است و میتواند اثرات اندازه را درنظربگیرد پرداختند. همچنین معادلات حاکم را با استفاده از اصل همیلتون بدست آوردند.[7] سیمسک3 و همکاران به بررسی خمش و ارتعاشات میکروتیر مدرج با استفاده از تئوری تیر مرتبه بالا و تئوری تنشکوپل اصلاحشده پرداختند. معادلات حاکم و شرایط مرزی را از اصل همیلتون بدست آوردند و برای حل شرایط مرزی دوسرگیردار از روش حل ناویر استفاده کردند .[8]
طادی به تحلیل و بررسی اثرات اندازه نانوتیر شامل کوپلینگ الکترومکانیکی نانوتیر پرداخت. همچنین مدل وابسته به اندازه، برای نانوتیر دی الکتریک فلکسوالکتریک توسعه یافت و از مدل تیر تیموشینکو به همراه تئوری تنشکوپل پیشنهاد شده توسط حاج اسفندیاری استفاده کرد. همچنین از اصل همیلتون برای بدست آوردن معادلات حاکم استفاده شده است .[9] اکنون در پزوهش حاضر به بررسی و تحلیل ارتعاشات وابسته به اندازه الکتریکی- مغناطیسی و حرارتی نانوتیرهای الاستیک پرداخته میشود و از تئوری تنشکوپل و مدل نانوتیر اویلربرنولی بهره گرفته و معادلات استخراج میگردد و از روش گالرکین برا ی حل معادلات و بدست آوردن پاسخ فرکانسی استفاده شده است. در ادامه به بررسی اثرات مغناطیسی و الکتریکی و حرارتی بر روی ارتعاشات و شکل مودها و فرکانسهای طبیعی و خیز نانوتیرهای الاستیک پرداخته میشود.
ترتیب نشاندهندهی تانسور ثوابت الاستیک، پیزوالکتریک، پیزومغناطیس،مدولحرارتی، ثابت الکترومغناطیسی، ثابت مغناطیسی، ثابت پیرومغناطیس، ثابت دیالکتریک، تانسور ضرایب کوپلینگ الکترومکانیکی مرتبه بالا، ثابت پیروالکتریک، تانسور گرادیانکرنش الاستیسیته میباشند. .1.1 مدل نانوتیر پیزوالکتریک در اینجا ارتعاشات و خیز نانوتیر اویلربرنولی باشرایط مرزی دوسرگیردار مورد بررسی قرار گرفتهاست. در این حالت طول تیرL وعرض تیرb و ضخامت آن h درنظر گرفته شده است. جابجاییهای نانوتیر اویلر برنولی در جهت محورهایx وy وz از روایط زیر بدست میآیند:
.2 معادلات حاکم و شرایط مرزی:
در این بخش معادلات و شرایط مرزی کلاسیک و غیرکلاسیک برای نانوتیر پیزوالکتریک با استفاده از تئوری تنشکوپل و استفاده از روش وردشگیری و بکارگیری اصل همیلتون بدست آمدهاند:
