بخشی از مقاله
چکیده
دراین مقاله بیلییاردهای دایره و استادیوم را در حالت کوانتومی و کلاسیک بررسی می کنیم. در حالت کلاسیک بوسیله مختصات نقاط برخورد با مرز بیلییارد و در حالت کوانتومی بوسیله مختصات نقاط برخورد منحنی های صفر تابع موج با مرز بیلییارد به محاسبه مرکز جرم می پردازیم. سپس نتایج به دست آمده در حالت کلاسیک و کوانتوم را آنالیز می کنیم. سرانجام مقایسه می کنیم نتایج به دست آمده مرکز جرم را برای حالات مشابه در حالت کلاسیک و کوانتوم و ارتباط بین نقاط برخورد ذره در حالت کلاسیک و مختصات نقاط برخورد منحنی های صفر تابع موج با مرز بیلییارد در حالت کوانتومی بررسی می کنیم.
واژه های کلیدی:بیلییارد، استادیوم، نقاط صفر تابع موج
.1 مقدمه
در یک بییلیارد کلاسیک حرکت ذره از نقطه ای از روی مرز شروع صنایع الکترونیک به عنوان یک از گسترده ترین و پر اهمیت ترین قسمت های صنعت همواره به دنبال افزایش سرعت و کاهش مصرف ابزارهای الکترونیکی بوده و هست، ساخت ابزار با ابعاد کوچکتر به علت مصرف مواد کمتر و قابل حمل بودن و اشغال فضای کمتر در سالهای اخیر شعار فن آوری شده است. این باعث گرایش دنیا به سمت دنیای ریزساختارها شده است تاجایی که اندازه بعضی اجزاء الکتریکی به حدود نانو متر رسیده است.بنابراین ما باید خصوصیات ذره ای را که وارد این محیط می شود بررسی کنیم تا با پیش گویی خصوصیات این ریز ساختارها وسایل مورد نیاز خود رابسازیم. نقطه شروع این بررسی بیلییاردها است
بیلییاردها سیستم های دینامیکی است که برای بررسی آشوب در حالت کلاسیکی وکوانتومی مورد استفاده قرار می گیرند. سیستم دینامیکی که با حرکت یک ذره نقطه ای آزاد در ناحیه مسطح و درون یک منحنی بسته بوجود آید بیلییارد نامیده می شود. چون برخورد کشسان و ذره آزاد است بنابراین پایستگی سرعت را بهمراه دارد و باعث می شود که در برخوردبا دیوار همانند یک پرتو نور هندسی زاویه تابش همواره با زاویه بازتاب برابر باشد. دینامیک بیلییاردها بستگی زیادی به هندسه مرز دارد. بیلییارد دایره از جمله سیستم های غیر آشوبی است و بیلییارد استادیوم به عنوان سیستم آشوبی در نظر گرفته می شود. بیلییارد استادیوم از دو نیم دایره به شعاع یک تشکیل شده که توسط دو خط راست به هم متصل شده است .پارامترaپارامتر مشخصه استادیوم نامیده میشود.
برای بررسی بیلیاردها، آنها را به دو دسته انتگرال پذیر و انتگرال ناپذیر تقسیم بندی می کنند:
ñ - بیلییارد انتگرال پذیر: سیستمی با n ثابت حرکت مانند بیلییارد چهار گوشه و بیلییارد دایره ُ
ò - بیلییارد انتگرال ناپذیر : سیستمی که در آنها تنها ثابت حرکت انرژی است. این نوع بیلییارد ها سیستم های ارگودیک و آشوبی هستند. بیلییارد سینائی و بیلییارد استادیوم نمونه ای از این بیلییارد ها هستند.
در مورد بیلییاردها در حالت کلاسیک ما می توانیم دو شرط اولیه زیر را در نظر بگیریم:
ٌ - زاویه شروع حرکت ذره - در واقع زاویه ای است که ذره با خط مماس بر دیواره بیلییارد می سازد -
ò - مکان شروع حرکت ذره - در واقع ما محیط بیلییارد دایره را به صورت زیر بیان می کنیم از صفر تا ٌ و برنامه طوری تنظیم شده که ما می توانیم ذره را از هر نقطه دلخواه و با هر زاویه دلخواه به حرکت در بیاوریم در مورد استادیوم با هر پارامتر دلخواه هم به همین صورت عمل می کنیم -
در یک بییلیارد کلاسیک حرکت ذره از نقطه ای از روی مرز شروع میشود و مسیر مطابق با معادلات دیفرانسیل توصیف کننده امتداد مییابد تا ذره در نقطه ای دیگر به مرز برخورد کرده و بازتاب نماید، این نقطه انتهایی مسیر حرکت قبلی و ابتدای مسیر حرکت جدید است، بنابر این با داشتن مختصات این نقطه میتوان مسیر حرکت را مشخص کرد و به نظر میرسد دیواره بیلییارد سطح مقطع مناسبی برای حرکت ذره میباشد، و آشوب یا غیر آشوب بودن بییلیارد را می توان با بررسی مسیر حرکت ذره در داخل بییلیارد مورد بررسی قرار داد زیرا مسیر حرکت ذره در بییلیارد غیر آشوبی منظم است ولی در حالت نامنظم مسیر حرکت ذره قابل پیش بینی نیست و با اندکی تغییر در شرایط اولیه ذره مسیر حرکت ذره تغییر زیادی می کند.
همانگونه که مشاهده می شود در بیلییارد دایره که یک بیلییارد غیرآشوبی است با تغییر شرایط اولیه حرکت ذره منظم است ولی دربیلییارد آشوبی استادیوم با اندکی تغییر در شرایط اولیه حرکت ذره حرکت ذره نامنظم می شود.در مکانیک کوانتومی اصل عدم قطعیت هایزنبرگ که نتیجه ای از رفتار موجی ذره است، مانع تعیین دقیق و هم زمان تکانه و موقعیت ذره در فضا می شود. بنابر این به نظر میرسد در گذار به مکانیک کوانتومی تعریف آشوب بر حسب مسیر ذره در فضای فاز جایگاه خود را حفظ نخواهد کرد.در مطالعه کوانتومی بیلییاردها توابع موج و ترازها مهمترین ابزارها بشمار میروند، یکی دیگر از پارامتر هایی که در مطالعه این دستگاهها مورد استفاده قرار میگیرد توزیع نقاط صفر تابع موج در بیلییارد است.
اگر بیلییارد دو بعدی بر روی صفحه xy قرار گیرد نقاط صفر تابع موج برروی این صفحه خطوطی تشکیل می دهند. با توجه به شکل تابع موج این خطوط می توانند به صورت خطوطی راست یا منحنی ظاهر شوند، این خطوط را منحنی های صفر تابع موج می نامیم.مطالعه برروی توابع موج در سال ٌَُُ توسط هلر و همکارانش شروع شد. آنها سعی کردند با جزئیات بیشتری به مطالعه ویژه حالتهای دستگاه استادیوم بپردازند. آنها ترازهای برانگیخته زیادی را محاسبه کرده و رفتار توابع موج دستگاه استادیوم را در ترازهای بسیار بالا مورد بررسی قرار دادند. در ترازهای بالا، ترازهایی وجود دارند که در این ترازها چگالی تابع موج در راستای مدارهای دوره ای کلاسیک به شدت افزایش می یابد و در مکان های دیگر سطح استادیوم تقریبا صفر است.
هلر این توابع موج را توابع موج زخم دار شده در راستای مدارهای دوره ای کلاسیک نامید ْ . در این مقاله قصد داریم با استفاده از نقاط برخورد ذره با مرز بییلیارد در حالت کلاسیک و نقاط برخورد منحنی های صفر تابع موج با مرز بییلیارد در حالت کوانتومی به بررسی حالات مشابه بپردازیم. بنابر این در قسمت دوم با تعریف مرکز جرم به بررسی عددی این کمیت در حالت کلاسیک و کوانتومی می پردازیم و در قسمت سوم به مقایسه مرکز جرم در یک چهارم استادیوم در حالات مشابه کلاسیک و کوانتوم می پردازیم و در قسمت چهارم به نتیجه گیری می پردازیم
مرکز جرم
اگر n ذره به جرمهای ,..., mn ٍ , m ٌm داشته باشیم که در یک صفحه باشند مرکز جرم به صورت زیر بدست می آید:
از آنجایی که در بییلیارد فقط یک ذره در نظر گرفته می شود بنابر این جرم تمام ذرات با هم برابر است که مقدار آن را یک در نظر می گیریم، بنابراین فرمول بالا به صورت زیر در می آید: بنابر این در حالت کلاسیک می توان با در دست داشتن مختصات نقاط برخورد مرکز جرم را بدست آورد. در حالت کوانتومی به دلیل وجود تابع موج برای بدست آوردن مرکز جرم از مختصات نقاط برخورد منحنی های صفر تابع موج با مرز استفاده می کنیم.بنابر این با توجه به مطالب بالا به بررسی حالتهای گوناگون در حالت کلاسیک پرداختیم و مشاهده می شود در حالتهای منظم به دلیل آنکه شکل منظم بوجود آمده نسبت به محورهای مختصات تقارن دارد بنابر این مرکز جرم در مرکز استایوم یعنی در نقطه ً y ,ً x قرار می گیرد در حالی که در اشکال نامنظم اینگونه نیست. در زیر نمونه ای از اشکال منظم و غیر منظم آورده شده است.
همانگونه که گفته شد در حالت کوانتومی مسیر حرکت قابل تعریف نیست و با تابع موج سرو کار داریم بنابر این برای بررسی مرکز جرم به سراغ نقاط برخورد منحنی های صفر تابع موج با مرز بییلیارد می رویم. ولی از آنجایی که این نقاط نسبت به محورهای x و y تقارن دارند بنابر این مرکز جرم در استادیوم کامل در نقطه مبدا یعنی ً y ,ً x قرار دارد.نکته قابل توجه در حالت کوانتومی این است که اگر ما به وسیله نقاط برخورد منحنی های صفرتابع موج با مرز در یک چهارم استادیوم را مورد بررسی قرار دهیم به نظر می رسد که مرکز جرم در نقاطی واقع می شود که چگالی تابع موج در آن نواحی بیشتر است. در زیر نمونه ای از محاسبات در یک چهارم بییلیارد با پارامتر یک آورده شده است.
. بررسی حالات مشابه در حالت کلاسیک و کوانتومی
در این مرحله ما اشکال منظم را در دو حالت کلاسیک و کوانتوم با هم بررسی می کنیم . همانطور که می دانیم در حالت کوانتوم به دلیل تقارنی که شکل بوجود آمده در استادیوم نسبت به محورهای x و y دارد مرکز جرم در وسط بییلیارد استادیوم قرار دارد در مورد شکل مشابه کلاسیکی هم به همین صورت است. ولی ما در اینجا یک چهارم استادیوم را در نظر می گیریم و در دو حالت کلاسیک و کوانتنومی مرکز جرم را با توجه به تعداد و مختصات نقاط برخورد ذره با مرز در حالت کلاسیک و نقاط برخورد منحنی های صفر تابع موج با مرز در حالت کوانتومی مورد بررسی قرار می دهیم.
در زیر سه نمونه از اشکال منظم در حالتهای کلاسیکی و کوانتومی را مورد بررسی قرار داده ایم که همانطور که ملاحظه می شود در حالت کلی مرکز جرم اشکال در مرکز استادیوم قرار دارد ولی ما اگر یک چهارم استادیوم را در نظر بگیریم و مرکز جرم را در این قسمت حساب کنیم به نتایج زیر دست یافتیم.البته لازم به ذکر است این حالتها را برای اشکالی تعریف کرده ایم که در یک چهارم استادیوم یک شکل بسته و یا نیمه بسته تشکیل داده اند. همان گونه که از اشکال بالا مشاهده می شود هر اندازه که حالت کلاسیک و کوانتومی به هم شبیه تر باشند مقدار عددی مرکز جرم محاسبه شده نیز به هم نزدیکتر است.
نتیجه گیری
همانگونه که مشاهده شد اصل تطابق را توانستیم برای حالتهای کوانتوم و کلاسیک در انرژی های بالا در مورد مرکز جرم اثبات کنیم. در واقع هرچه اشکال بوجود آمده در دو حالت کلاسیک و کوانتوم به هم شبیه تر باشند مقدار عددی مرکز جرم در دو حالت به یکدیگر نزدیکتر است.
