بخشی از مقاله
چکیده
یکی از نیروهاي وارد بر جسم در هنگام عبور از هوا و یا هر محیط سیال دیگر نیروي اصطکاك است. با توجه به ماهیت نیروي اصطکاك که بر آیند اندازه حرکت هاي مخالف وارد شده در واحد زمان به جسم توسط ذرات محیط می باشد، غالبا بصورت تابعی خطی از سرعت جسم در نظر گرفته می شود. در سرعت هاي بالا گاهی شکل تابعی این نیرو متناسب با مجذور سرعت نیز تخمین زده می شود. .در این مقاله قصد بر این است که در یک فرایند معکوس، فرم تابعی نیروي اصطکاك ، و در نتیجه ضریب اصطکاك، را با در دست داشتن موقعیت مکانی جسم متحرك به روش عددي تفاضل محدود تعیین نماییم..
مقدمه
و واکنش ظاهر می شود. نیروي کند کننده وارد به جسم متحرك یکی از قوانین بنیادي فیزیک کلاسیک قانون دوم نیوتن میمعادل با جمع تغییر تکانه هاي همه ذراتی است که در واحد زمان باشد. با استفاده از این قانون می توان حرکت یک جسم را در فضا با جسم متحرك برخورد دارند. این نیرو با سطح مقطع جسم پیش بینی کرد مشروط بر آنکه نیرو هاي وارد بر آن در هر لحظه متحرك متناسب است. نیروي باز دارندگی براي جسمی که از یک معلوم باشد. هنگامی که یک جسم در فضا حرکت می کند، علاوه محیط غلیظ عبور می کند با تعمیم همین اصل براي همه ذراتی که بر نیروي گرانش، نیروي اصطکاك نیز بصورت یک نیروي کند تغییر تکانه اي را احساس کرده اند می توان توصیف نمود. آنچه کننده بر جسم اثر می کند و سرعت جسم را در هر سه امتدادي که که در همه این وضعیتها مشخص است نیروي بازدارندگی محیط بر مولفه سرعت وجود دارد کاهش می دهد. اساسا وقتی که یک روي حرکت جسم است. با توجه به اینکه شکل تابعی این نیرو از جسم در یک محیط در امتداد خاصی حرکت می کند، با ذرات آن طریق روش توصیف شده در بالا امکان پذیر نمی باشد از این رو محیط بر هم کنش می کند. این بر هم کنش بصورت نیروي کنش تنها گزینه، بررسی تاثیر این نیرو بر روي موقعیت جسم متحرك می باشد. امروزه تعیین موقعیت یک جسم توسط سیستم هاي پیشرفته الکترونیکی امري ساده می باشد. بنابراین با استفاده از این داده ها و انجام کمی محاسبات کامپیوتري می توان شکل دقیق نیروي مقاومت را تعیین نمود. آنچه که در ادامه می آید توصیف این شیوه می باشد.
معادلات حاکم بر حرکت
حرکت یک جسم به جرم m که تحت تاثیر نیروي F قرا گرفته است با معادله دیفرانسیل - 1 - بیان می شود که در آن a شتاب جسم است. براي جسمی که در فضا حرکت می کند، نیروي F علاوه بر نیروي گرانش، شامل نیروي اصطکاك است که معمولا بصورت تابعی از سرعت، f - v - ، ظاهر می شود. این بدین معنا است که نیروي اصطکاك همواره باعث کاهش انرژي کل جسم شده و تاثیر آن تا زمانی که سرعت جسم به صفر نرسیده است ادامه می یابد. با توجه به این نکته، معادله ي حرکت جسمی که در دو بعد x-y حرکت می کند، توسط معادلات زیر بیان می شود: با در نظر گرفتن مقاومت هوا به صورت تابع خطی از سرعت، حل تحلیلی معادلات دیفرانسیل حرکت به صورت زیر است :[1] حال اگر فرض کنیم که داده هاي تجربی ما همان داده هایی باشد که از معادلات 4 تا 6 بدست می آیند، آنگاه در روش پیشنهادي ما، تابع مقاومت f - v - و ضریب اصطکاك، c، قابل محاسبه می باشد.
شیوه محاسبه تابع مقاومت
در این مقاله، هدف اصلی تعیین شکل تابعی نیروي اصطکاك F - v - است. براي تایید درستی روش پیشنهادي، داده هاي تجربی مورد نیاز است. به همین منظور چند تابع مقاومت خاص در نظر گرفته شد و در معادله - 2 - جایگذاري گردید. کد ode45 که قادر به حل معادله - 2 - است، مقادیر مکان را در هر لحظه به ما می دهد. بنابراین یکسري داده هاي عددي براي تست کردن روش پیشنهادي بدست آمد. از توابع مقاومت خاص مانند cv ، cv2 ، cv2 و c sinθ′ تنها جهت تعیین نقاط مسیر حرکت، y، در هر لحظه استفاده گردید. با توجه به اینکه معادلات کلی حرکت، همان معادلات - 2 - و - 3 - می باشند، بنابراین جهت تعیین تابع مقاومت F - v - ، لازم است کمیت y′′ را براي هر فاصله زمانی t محاسبه کنیم. براي تعیین y′′ ، ابتدا تفاضل اول y، y ، و سپس تفاضل دوم y، 2 y ، را براي همه نقاط داده ها بدست می آوریم.[2] سپس کمیات محاسبه شده با استفاده از روابط - 7 - و - 8 - را به ترتیب بر بازه ي زمانی - - t و - t - 2 تقسیم می کنیم تا مقادیر مشتقy′ و y′′ بدست آیند. با جایگذاري مقادیر y′ و y′′ در معادله ي - 2 - ، داده هاي مقاومت براي هر لحظه می تواند از طریق یک محاسبه ماتریسی تعیین گردد. با برازش کردن این داده ها بر حسب سرعت - y′ - ، تابع مقاومت تعیین می گردد. ملاحظه گردید که نمودار تابع مقاومت بر حسب سرعت، با تابع مقاومتی که براي تعیین داده هاي اولیه در نظر گرفته شد، همخوانی کامل دارد که تاییدي بر روش پیشنهادي ما می باشد.
روش انجام کار
در روش پیشنهادي ما، براي تعیین شکل تابع مقاومت و ضریب اصطکاك، داده هاي مربوط به مکان جسم در هر لحظه نیاز است. بدین منظور، در ابتدا، معادلات دیفرانسیل حرکت براي مقاومت خاص cv - با در نظر گرفتن یک مقدار ثابت 0.2 براي - c با استفاده از معادلات - 4 - ، - 5 - و - 6 - به روش تحلیلی حل گردید و با رسم نمودار مکان-زمان، داده هاي مکان جسم در هر لحظه بدست آمد - شکل . - a-1 با جایگذاري مقادیر y′ و y′′ در معادله ي - 2 - ، داده هاي مقاومت براي هر لحظه محاسبه گردیداز. آنجا که F - v - =cv است، شیب نمودار تابع مقاومت بر حسب سرعت، ضریب مقاومت c، در هر لحظه را می دهد. مقدار بدست آمده براي c نشان می دهد که همان ثابت فرض شده ي اولیه براي c یعنی 0.2 ، است.
روش تحلیلی تنها براي مقاومت خطی قابل حل می باشد. برايمقاومت هایی از درجات بالاتر، روش تحلیلی آشکاري وجود ندارد.از آنجا که مقاومت تابعی از سرعت است، چند مقاومت خاص به صورت cv 2 ، cv 2 و c sinθ′ - در حرکت نوسانی مانند یک آونگ ساده، مقاومت می تواند بصورت تابعی ازθ′ ، مثلا sin θ′ باشد. - و یک حالت با داده هاي کاتوره اي - - cv rand در نظر گرفته شدند و با استفاده از کد ode45 نرم افزار MATLAB معادله ي دیفرانسیل حرکت براي این مقاومت ها رسم گردید و داده هاي مکان جسم در هر لحظه با نام y45 - :,1 - بدست آمدند. از y45 - :,1 - ، که ما از آن به عنوان داده هاي تجربی نام خواهیم برد، با استفاده از دستور diff، دیفرانسیل اول و دوم گرفته می شود: در نهایت داده هاي بدست آمده براي مقاومت، بر حسب سرعت نیز رسم شد. در تمام توابع مقاومت خاص، ثابت فرض شده ي اولیه براي c، 0.2 می باشد.
