بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله روشی برای حل عددی معادلات انتگرال ولترا-فردهلم ارائه شده ا ست. در این روش با ا ستفاده از چندجملهایهای متعامد کلاسیک، معادلات انتگرالی به یک دستگاه معادلات ماتریسی با نقاط هممکان تبدیل میشوند که حل این دستگاه منجر به حل عددی معادلات انتگرال میشود.
واژه های کلیدی:معادلات انتگرال ولترا-فردهلم، چندجملهایهای متعامد کلاسیک، نقاط هممکان.
مقدمه
بسیاری از مسائل فنی و مهندسی با معادلات انتگرال مدلسازی میشوند. از این رو این گونه معادلات توجه بسیاری را در آنالیز و محاسبات عددی جلب کردهاند .[1, 4, 5, 8, 13, 15] لذا حل این معادلات اهمیت ویژهای پیدا میکنند. اغلب به دلیل عدم وجود روش تحلیلی برای این گونه مسائل روشهای عددی را به کار میگیریم. در طول سالهای گذشته مشخص شده است که روشهای طیفی، روش هایی معتبر برای به دست آوردن تقریبی از جواب م عادلات انتگرال ه ستند.[2, 6, 9, 12, 17, 18] ا ستفاده از توابع متعامد در حل مسائل تا جای ممکن رسیدن به جواب را ساده میکند..
روش هممکانی به عنوان یک روش عددی کارآمد با امکان بهبود خطا به اندازهی دلخواه برای معادلات انتگرال، شناخته شده است. روشهای هممکانی برای حل معادلات انتگرال ولترا با جواب متناوب، توسط بورانراو همکارانش ارائه شده است .[5]به طور خاص راشد [13, 14, 15]، روش هممکانی لاگرانژ را برای محاسبهی جوابهای عددی معادلات انتگرال خطی ولترا و فردهلم به کار گرفت. همچنین از این روش برای حل عددی معادلات انتگرالولترا-فردهلم ا ستفاده شده ا ست [3, 7, 10, 11] از این رو در این مقاله چندجملهایهای متعامد کلاسیک را برای حل ردهای خاص از معادلات انتگرال ولترا-فردهلم به کار میگیریم.
معرفی معادلات انتگرال ولترا-فردهلم مورد بحث
در این بخش ابتدا نوع خاصی از معادلات انتگرال ولترا-فردهلم را معرفی می کنیم و در ادامه به بحث دربارهی این معادله و ویژگیهای آن میپردازیم.معادله انتگرال مورد نظر عبارت است از:
در این م عاد له - , - و - , - توابع هس ته در بازهی و توابع و توابع معلوم تعریف شده در بازهی [ , ] هستند و - - تابعی مجهول است و ها، ها و و مقادیر حقیقی ثابت هستند.در این بخش به معرفی روابطی میپردازیم که در ادامه برای بیان روش مورد نظر، به آنها نیاز داریم.نظریهای که در پس روش انتگرالگیری گاوس قرار دارد به سال 1814بر میگردد ؛ زمانی که گاوس از توابع کسری پیوسته برای توسعهی انتگرالگیری استفاده کرد. در سال 1826 ژاکوبی نتایج گاوس را با استفاده از توابع متعامد بهدست آورد. تعبیر اصولی تابع وزن دلخواه - - در استفاده از چندجملهایهای متعامد به طور گستردهای در سال 1877 توسط کریستوفل بررسی شد. برای معرفی این چ ندجم لهای ها بازهی [ , ] را در نظر میگیریم. میتوانیم مجموعهای از چندجملهایها بیابیم بهطوری که - 1 برای = 0, 1, 2, …دقیقاً شامل یک چندجملهای از درجهی باشد. - 2 همهی آنها نسبت به تابع وزن دو به دو متعامد باشند.یک روند ساختنی برای یافتن چنین چندجملهایهایی، رابطهی بازگشتی زیر است:
