بخشی از مقاله
خلاصه
انتشار آلودگی در رودخانهها از مهمترین مسائل و مشکلات موجود در محیط زیست میباشد. معادله حاکم بر انتقال آلودگی در رودخانهها، معادله انتقال- پخش است که یک معادله دیفرانسیل جزئی میباشد. اگر در مسیر رودخانه یک ناهمگونی مثل پهنه ماندابی وجود داشته باشد، برای مدل سازی انتشار آلودگی باید اصلاحاتی در معادله انتقال و پخش کلاسیک اصلی ایجاد کرده و معادله را به نحوی تغییر داد که برای مسئله مذکور کمترین خطا را شبیه سازی ناحیه ماندابی داشته باشد. Fractional Calculus شاخهای از ریاضیات میباشد که عمل مشتق و انتگرالگیری را در مرتبه اعشاری میسر میسازد. امروزه این نوع از محاسبات کاربرد زیادی در مدل سازی مسائل مهندسی دارد. .بسیاری از مدلهای ریاضی را که براساس معادله دیفرانسیل جزئی معمولی با مرتبه اعداد صحیح بودهاند را میتوان با تجدیدنظر در مرتبه آنها بهینه و دقیقتر نمود. در معادله انتشارآلودگی کهترم مربوط به قسمت پخشیدگی آن را با در نظر گرفتن مرتبه اعشار بهینهتر ودقت مدل را افزایش داد.در این مقاله به تشریح روش FARDE و ارائه مدل عددی مناسب ، جهت مدل سازی انتشار آلودگی پرداخته و در نهایت با حل تحلیلی مدلMADE و دادهای مشاهداتی مقایسه و کالیبره شد.
کلمات کلیدی: انتقالآلودگی، پهنه ماندابی، مدل سازی، محاسبات کسرهای جزئی Fractional Calculus ، مدل
-1 مقدمه
مطالعه روی کیفیت آبهای سطحی از اهمیت ویژهای برخوردار است واین موضوع وقتی منبع تهیه آب آشامیدنی انسانها وآب لازم برای صنایع از رودخانهها تامین میشود وفاضلاب و پسابهای صنعتی که در رودخانه هاتخلیه میشود، نیاز به توجه بیشتری دارد. اگر مکانیسم انتقال وپخش آلودگی در رودخانهها با ژئومتری های مختلف مشخص شده باشد میتوان برای کاهش اثرات آلودگی بر سلامت عموم جامعه انسانها با اختلاط آبهاو تقویت قدرت خود پالایندگی رودخانه ها برنامه ریزی نمود - ریاحی مدواروایوب زاده . - 1387 هنگامیکه یک منبع آلودگی به داخل آب رها میشود به علت حرکت مولکولی و تلاطم وغیر یکنواختی سرعت در سطح مقطع جریان، سریعاً در آب پخش وهمراه با جریان آب جابجا میشود.
مکانیسم پخش وحرکت آلایندهها در آب بخش مهمی از دانش محیط زیست است که تاکنون پژوهشهای زیادی در موضوعهای مربوط با آن صورت گرفته است - محمودیان شوشتری. - 1389 تخمین وانتشار آلودگی در رو دخانه ها به دو دسته کلی آزمایشگاهی وتئوری تقسیم میشوند. در هر دو روش نیاز به توسعه مدل برای پیش بینی رفتار پدیده انتقال وانتشارآلودگی در رودخانه ها میباشد. در روشهای تئوریک ازروشهای محاسبات عددی برای حل معادلات دیفرانسیل حاکم بر پدیده استفاده میشود که در نهایت منجر به تولید مدل های عددی ونرم افزارهای تجاری می شود. معادله حاکم بر انتقال آلودگی معادله انتقال-پخش کلاسیک است که معادله دیفرانسیل جزئی میباشد. این معادله کاربردهای فراوانی در شبیه سازی پدیده های مهندسی آب دارد که از جمله میتوان به شبیه سازی انتقال رسوب در رودخانه ها و انتشار آلودگی در آبهای زیر زمینی از معادله حاکمه معادله انتقال-پخش است - آشتیانی و حسینی . - 2005 کاشفی پور - - 2002
یک مدلی به نام Faster ارائه داد که برای تخمین پارامترهای هیدرولیکی به کار رفته در معادله انتقال-پخش استفاده شده است در این مدل معادلات سنت ونانت با استفاده از الگوی تفاضل محدود ضمنی مرکزی به همراه روش یک در میان اندازه شبکه و f - u - duمتغییر به صورت عددی حل شدهاند. وی در سال 1387 از روش ترکیبی UITIMATE QUICKEST و روش عددی صریح، ضمنی و یک روش جامع که از ترکیب سه روش فوق است استفاده نمود و مدلی را برای شبیه سازی انتقال وپخش آلودگی ارائه داد. مدل سازی ناحیه ماندابی مورد توجه بسیاری از محققان قرار گرفته است. مفهوم اصلی ناحیه ماندابی توسط سو و چونگ - - 2001 ارائه شد . - Singh,2009 - سیگ - 2002 - دریافت که مدل نگه داشت موقت - TSM - با فیزیک پدیده ناحیه ماندابی تطابق خوبی ندارد ودرسال 2003 مدل بهینه معادله انتقال وپخش - - MADE را پیشنهاد کرد.
دنگ و همکاران - Deng et all.,2004 - مدل معادله انتقال وپخش جزئی - FRADE - را برای مدل سازی اثر ناحیه ماندابی پیشنهاد دادند. سینگ سه مدل از مدل هایی که برای اصلاح معادله انتقال و پخش به کار میرود را برای دادههای سه رودخانه در ایلات متحده به کاربردند و نتیجه گرفتند که مدل بهینه معادله انتقال-پخش در مقایسه با مدل نگه داشت موقت و معادله انتقال وپخش جزئی دارای پارامترهای کمتری است و از لحاظ کاربرد نیز سادهتر است . - Singh, 2008 - زی و هان - 2009 - مدل مقیاسی را برای مدل سازی انتشار آلودگی را در رودخانه های با پهنه سیلاب پیشنهاد دادند. اگر در مسیر رودخانه یک ناهمگونی مثل پهنه ماندابی وجود داشته باشد برای مدل سازی انتشار آلودگی باید اصلاحاتی در معادله انتقال وپخش کلاسیک اصلی ایجاد کرده ومعادله را به نحوی تغییر داد که بری مسئله مذکور کمترین خطا را داشته باشد.در این مقاله به معرفی مدل FRADE که برای پیش بینی انتقال آلودگی در رودخانه های با پهنه ماندابی پیشنهاد شده است پرداخته میشود.
-2 محاسبات کسرهای جزئی - - Fractional Calculus
شاخهای از علم مربوط به حساب دیفرانسیل است که مشتق توابع را در حالت درجه غیر صحیح - اعشاری - تعیین مینماید. مثلا در حالت عادی ما مشتق واحد میگیریم حال اگر بخواهیم به اندازه نیم واحد مشتق بگیریم عمل مشتق گیری به چه صورت خواهد بود؟به همین خاطر است نام محاسبات مشتقجزئی Fractional Calculus را برای آن انتخاب کردهاند..همه ما با عمل مشتق و انتگرال گیری معمول توابع که با نمادهای Df ، D 2f که به ترتیب مشتق مرتبه اول ، دوم و انتگرال گیری مرتبه اول میباشد آشنا هستیم.حال اگر بخواهیم مرتبه مشتق گیری ما مرتبهای بهصورت عدد اعشاری - - half-order ویا عدد گنگ پی - _th-order - و حتی اعداد مختلطی مانند - - 3-6i - th-order - باشد. برای این منظور باید وارد مبحث Fractional calculus بشویم.
پیدایش محاسبات مربوط به - Fractional calculus در سیام سپتامبر سال1695 در نامهای که هوپیتال به لایبنیز نوشت رقم خورد. بعد از لایبنیز محققین دیگه ای ازجمله Leibniz - 1695 - ، Euler - 1730 - ، Lagrange - 1772 - ، Laplace - 1812 - ، Fourier - 1822 - ، Abel - 1823 - ، Liouville - 1832 - ، - Riemann - 1876،و اولین کنفرانس بین المللی مربوط به محساسبات فرکشنال در سال 1974در آمریکا برگزار شد.. - Podlubny 1999 - - - Fractional Calculus and its Applicationsامروزه مباحث مربوط به Fractional Calculusکاربرد زیادی در بهینه کردن و بالا بردن دقت مدلهای ریاضی ارائه شده برای مسائل مهندسی دارد. این نوع محاسبات جایگاه خود را در مسائل مهندسی آب پیدا کرده است. به عنوان مثال مدل های ریاضی که شبیه سازی مکانسیم پدیدهای نگه داشت موقت رها سازی را برعهده دارند را میتوان بااین نوع تکنیک بهینه تر نمود.
-3 مواد و روشها
شکل معادله دیفرانسیل انتقال پخش به صورت معادله - 1 - می باشد شود که اگر =2 باشد معادله - 1 - تبدیل به معادله انتقال پخش کلاسیک معروف می شود.معادله انتقال پخش از دو قسمت انتقال که وظیفه مدل سازی انتقال آلاینده - معادله - 2 و ترم پخشیدگی که وظیفه مربوط به شبیه سازی پخش لاینده را به عهده دارد تشکیل شده است را به عهده دارد - معادله. - 3با توجه به اینکه مکانیسم انتقال و پخش کاملا از یکدیگر جدا هستند پیشنهاد می گرددبرای مدل سازی عددی برای هر ترم به صورت جداگانه روش عددی مناسب در نظر گرفته شود برای ترم انتقال شمای عددی صریح مناسب و برای ترم مربوط به پخشیدگی شمای ضمنی مناسب است و به صورت جداگانه حل شوند و باتکنیک Time Splitting نتایج بایکدیگر ترکیب و نیجه نهایی از مدل عددی استخراج گردد.
-4 معادله انتقال وپخش کلاسیک
همانطور که ذکر شد اگر درجه مشتق ترم مربور به پخشیدگی برابر 2 باشد این معادله تبدیل به معادله انتقال پخش کلاسیک میگردد.در این معادله C غلظت آلاینده در مسیر رودخانه طولیDL، ضریب پخشیدگی، t مدت زمان سپری شده بعد از ترزیق آلودگی و Xفاصله از نقطه ترزیق آلودگی می باشدمعادله انتقال وپخش آلودگی از ترکیب معادله پیوستگی وقانون اول فیک بدست میآید. حل تحلیلی معادله - 1 - با انواع شراط مرزی موجود می باشدو منجر به یک توزیع نرمال گوسی میشود که به حل گوسی هم معروف میباشد ویژگی حل گوسی ونمایش پروفیل غلظت به صورت تابع توزیع نرمال این است که پیک غلظت باعکس مجذور زمان ومکان - فاصله - کاهش مییابد.همچنین حل تحلیلی معادله - 7 - با شرایط مرزی ترزیق آنی آلاینده به صورت زیر است - چانسون - 2004
