بخشی از مقاله
چکیده :
در این مقاله مفاهیمی از توپولوژی ویجسمن پائینی، توپولوژی ویجسمن بالایی و توپولوژی ویجسمن از فضای متریک فازی براساس نظریات کراموسیل و میکالک معرفی و بررسی میکنیم. به طور کلی متریک پذیری و شبه متریک پذیری این توپولوژیها مورد بررسی قرار میگیرد. به کمک متریک فازی از این روش نتایجی مشابه برای توپولوژی ویجسمن از یک فضای متریک فازی حاصل میشود.
کلمات کلیدی: توپولوژی ویجسمن پائینی، توپولوژی ویجسمن بالایی، شبهمتریکپذیری،متریک پذیری ،پیوستگی
مقدمه :
ویجسمن نوعی همگرایی برای دنبالههایی از زیرمجموعههای ، است که به استفاده از مجموعههای بیکران کمک میکند همگرایی ویجسمن نیاز به معرفی و مطالعهی یک توپولوژی روی مجموعه از تمام زیرمجموعههای بسته ناتهی یک فضای متریک را به وجود میآورد که به توپولوژی ویجسمن معروف است. توپولوژی ویجسمن از فضای متریک ضعیفتر از توپولوژی فاصله هاسدورف است، زیرا از یک طرف بسیاری از ریاضیدانان همگرایی ویجسمن را به عنوان نقطهای از فاصله جبری در نظریه مدرن همگرایی مجموعه در نظر میگیرند و از طرف دیگر چون یک نظریه متریک هاسدورف برای فضاهای متریک فازی وجود دارد، تعمیم مفاهیم توپولوژی ویجسمن به یک فضای متریک فازی و بررسی، تعیین ویژگیها و بررسی ارتباط آن با توپولوژی حاصل از متریک فازی هاسدورف با مشکلاتی روبرو میشود.
تعریف .1 .1 یک شبه متریک روی مجموعه تابع است به طوری که به ازای هر بر اساس این تعریف میتوانیم تعمیمی از شبه متریکها و مزدوج آن را نیز تعریف کنیم، در این حالت برای تعمیمی از شبه متریکها شرایط و برقرار است بجز اینکه فرض میکنیم . منظور از یک فضای شبهمتریک دوتایی است به طوری که یک مجموعه و یک شبه-متریک یا شبه-متریک تعمیم یافته روی باشد. با فرض یک شبهمتریک تعمیم یافتهی روی مجموعه ، تابع تعریف شده روی به صورت نیز یک شبهمتریک تعمیم یافته روی است. البته و یک شبهمتریک و یک متریک هستند.
.2 توپولوژی ویجسمن از یک فضای متریک فازی:
تعریف .1 .2 پیرو مطالعات پیشین، توپولوژی ویجسمن پائینی از فضای متریک که با نشان داده میشود ضعیفترین توپولوژی روی با تابع که برای هر از بالا نیمهپیوسته است در نظر گرفته میشود. به طور مشابه توپولوژی ویجسمن بالایی که با نشان داده میشود ضعیفترین توپولوژی روی است که تابع برای هردارای نیمهپیوستگی پائین است. توپولوژی ویجسمن نیز که با نمایش داده میشود، ضعیفترین توپولوژی روی است که تابع به ازای هر پیوسته است. نکته .2 .2 توپولوژیهای، و همیشه موجودند زیرا تابع از بالا و پائین نیمهپیوسته و لذا پیوسته برای توپولوژی مجزا روی است. از طرف دیگر داریم : .
تعریف.3 .2 فرض کنید یک فضای متریک فازی باشد. ضعیفترین توپولوژی روی به طوری که برای هر و هر تابع باشد بهصورت زیر تعریف میشود: برای تمام ، که نیمهپیوسته پائینی است توپولوژی ویجسمن پائینی نامیده میشودکه با نمایش میدهیم. به طور مشابه ضعیفترین توپولوژی به طوری که برای هر و هر تابع نیمهپیوسته بالایی باشد توپولوژی ویجسمن بالایی نامیده میشود و آن را با نمایش میدهیم. ضعیفترین توپولوژی روی به طوری که برای هر و هرتابع پیوسته باشد توپولوژی ویجسمن نامیده میشود و آن را با نمایش میدهیم. نکته .4 .2 توپولوژیهای ، و همیشه وجود دارند و داریم . نکته .5 .2 یک زیرپایه برای تمام شامل تمام مجموعههای به شکل استکهو و . در حالیکه یک زیرپایه برای تمام شامل تمام مجموعههای به شکل است که وو . از دو تذکر قبل این طور برداشت میشود که یک زیرپایه برای شامل تمام مجموعههایی به شکل و کهوو .
یادآوری .6 .2 فاصله هاسدورف روی از فضای متریک تعمیمیافتهی متریک روی است که به صورت تعریف میشود وو به صورت زیر تعریف میشوند برای تمامدر حقیقت و شبهمتریکهای تعمیم یافته روی هستند. تحدید ومجموعه از تمام مجموعههای ناتهی بسته و کراندار، شبهمتریکها هستند و لذا یک متریک روی است،که متریک هاسدورف نامیده میشود. گزاره .7 .2 فرض کنید یک فضای متریک فازی باشد، آنگاه برای هرو هر تابع نیمهپیوسته پائینی روی فضای شبهمتریک فازی است. اثبات. فرض کنید و موجود باشد که از آنجائی که روی نیمهپیوسته پائینی نباشد، آنگاه و یک دنباله در هست به طوری که: از آنجائیکه و از چپ پیوسته است، وجود دارد که بهطوری که برای تمام حال برای هر ، را در نظر میگیریم به طوری که از فرض داریم که ، از آن داریم که به ازای تمام بنابراین: از آنجائی که به ازای تمام یک زیردنبالهی از وجود دارد که موجود است، آنگاه: که با فرض به ازای هر متناقض است.همانطور که در بالا گفتیم در یک فضای متریک تابع روی نیمهپیوسته پائینی است.
