بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله نشان دادهSایم که در مدل جبری P ernarowski از سلول های بتای پانکراس، جواب های burstingمتقارن از نوع F old − SuperHopf و SuperHopf − Homoclinic دیده م شود.
واژهdهای کلیدی: Bursting Symmetric, model Pernarowski, Bifurcation
١مقدمه
پدیدهbursting در سیستم های تند-کند مشاهده م شود که در آن سیستم تند با تغییر متغیر کند به عنوان پارامتر سیستم، رفتار س ون و پتانسیل عمل متناوب از خود نشان م دهد. انشعابی که سیستم تند را از حالت س ون به پتانسیل عمل سریع م رساند و انشعابی که آن را از حالت پتانسیل عمل سریع به وضعیت س ون بر م گرداند مشخص کننده نوعbursting است [5] ،.[6] پدیده bursting در زمینه گسترده ای از نورون ها و سلول ها مانند [1] HippocampalP yramidal، نورون های [2] T halamic و سلول های بتای پانکراس [3] دیده شده است.سلول های بتای پانکراس مسئول ترشح انسلین، هورمون که در منظم سازی سطح گلوکز خون ضروری است، میباشند.
مدل های مختلف
برای رفتار این سلول ها وجود دارد . [4] در مرجع [4]، انواع مدل های بیولوژی که رفتار این سلول ها را توجیه م کنند آورده شده و درنهایت ی مدل جبری ساده که رفتاری مشابه رفتار مدل های واقع دارد به نام مدل P ernarowski برای تحلیل راحت این سیستم هابیان شده است. این مدل همانند مدل F itzHugh − Nagumo میباشد که ی مدل ساده شده از مدل Hodgkin − Huxley است
و جریانات ال تری در آ کسون عظیم الجثه squid را توصیف م کند. در این مدل رفتار bursting متفاوت وجود دارد که بعض از آنهادر [4] آورده شده اند. در این مقاله نشان داده ایم رفتار دینامی bursting متقارن در این مدل مشاهده میشود.جواب های bursting متقارن به دسته ای از جواب گفته میشود که در آنها سیستم بین دو نقطه جاذب دو بار با انشعابی ی سان شروع به
پتانسیل عمل میکند و سپس با دو انشعاب ی سان از وضعیت پتانسیل عمل به وضعیت س ون بر م گردد[7]، . [8]
در این مقاله نشان دادهایم که در سیستم P ernarowski جواب های bursting متقارن از نوع F old − SuperHopf و SuperHopf − Homoclinicمشاهده م شود.مدل P ernarowski ی مدل سه بعدی است که به صورت تند-کند در نظر گرفته میشود. سیستم تند در این مدل دو بعدی است ومتغیر سوم به عنوان پارامتر سیستم تند تغییر م کند. رفتار سیستم به گونه ای است که با تغییر پارامتر کند، با انشعاب F oldcycle دومدار تناوبی به وجود م آید که مدار بیرون دافع و مدار داخل جاذب است. دینامی مورد علاقه ما داخل مدار تناوبی بیرون مشاهده میشود. در حالت اول یعن bursting متقارن از نوع F old − SuperHopf با افزایش پارامتر کند مدار تناوبی جاذب داخل کوچ میشود و برای ی مقدار از پارامتر با انشعاب SuperHopf از بین م رود و نقطه بحران داخل آن جاذب م شود. لازم به ذکر است که منیفلد بحران سیستم ی منحن −S ش ل است که شاخه وسط آن متش ل از نقاط زین و دو شاخه بالایی و پایین در محدوده ای از نقطه تاخورده جاذب و در بقیه نقاط دافع هستند.
مدار تناوبی جاذب با انشعاب Hopf در شاخه پایین از بین میرود و در شاخه بالایی با ی انشعاب SuperHopf ی مدار تناوبی جاذب دیر به وجود م آید که در نهایت با افزایش پارامتر کند با ی انشعاب F oldcycle بامدار تناوبی دافع بیرون از بین میرود. جواب هایbursting متقارن از نوع SuperHopf − Homoclinic به این صورت مشاهده میشوند که مدار تناوبی جاذب داخل ابتدا با ی انشعاب هموکلینی به ی نقطه زین برخورد کرده و از بین میرود سپس مدارها جذب نقطه جاذبی میشوند که با انشعابsaddle − node به وجود می آید. با افزایش پارامتر کند با یانشعاب هموکلینی دی ر حول نقطه بحران دافع ی مدار تناوبی ایجادم شود که با SuperHopfاز بین م رود. در شاخه پایین به طور متقارن انشعاب SuperHopf روی میدهد و مدار جاذب بهوجود آمده با هموکلینی از بین میرود و سپس با ی انشعاب هموکلینی دیر مداری به وجود می آید که حول هر سه نقطه بحران قراردارد. این مدار جاذب در نهایت با مدار دافع بیرون با ی انشعاب F oldcycle از بین م رود. چون در این حالت دو انشعاب هموکلینیدر ابتدا و دو انشعاب هموکلینی دی ر در انتها وجود دارد . جواب های bursting متقارن پیچیده تری میتوان مشاهده کرد.معادلات این مدل به صورت زیر است :[3]
همان طور که دیده م شود، در حالت ϵ = 0 سیستم تند دارای نقاط بحران م عبی است که مستقل از تغییرات پارامترهای سیستم است. این منیفلد بحران دارای دو نقطه تاخورده در نقاط - u, c - = - −1, 1 - , - u, c - = - 1, 5 - است. از طرف چون تابع G - u, c - مستقل از پارامترهای سیستم است، پارامترهای تابع F مشخص کننده انواع جواب های bursting است. نمادهای - a, ˆu, η , β , ¯u, ϵ - پارامترهای سیستم هستند که ϵ پارامتر تکین است. برای انتخابی از این پارامترها به صورت:
